量子世界中的贝叶斯法则

最小变化原理

我们对某件事情发生的可能性的判断，取决于我们对背景情境的“信念”——这正是贝叶斯法则背后的核心概念。

贝叶斯法则是一种计算概率的数学方法，它得名于英国数学家托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）。在1763年的一篇论文中，贝叶斯首次定义了这一用于描述条件概率（conditional probability）的法则。根据这一法则，某事件发生的概率，取决于与之相关的先验信息。它的核心用途之一，就是根据新证据（数据）来更新信念。

在经典统计学中，贝叶斯法则可以从“最小变化原理”（principle of minimum change）推导出来。这一原理指出，更新后的信念，必须与新数据保持一致，同时要尽量少偏离原有信念。简单地说，这表示每当获得新信息时，人们应以与事实相符的最小幅度调整自己的信念。从数学上讲，最小变化原理通过最小化初始信念与更新后信念的联合概率分布之间的距离来实现。

贝叶斯法则的量子版本

科学家一直相信，量子世界中应当存在贝叶斯法则的对应形式，因为量子态本身就定义了概率。例如，一个粒子的量子态给出了它在不同位置被测得的概率。理想情况下，我们希望确定整个量子态，但在进行实际测量时，粒子只会在一个位置被观测到——这一新的信息就会更新信念，提高在这个位置附近观测到粒子的概率。

几十年来，人们已经提出过贝叶斯法则的各种量子类比。但从最小变化原理出发的推导方法此前从未被尝试过。直到近日，在一项发表于《物理评论快报》的研究中，物理学家首次完成了这一尝试——从最小变化原理出发，推导出了严格意义上的量子版贝叶斯法则。

量子保真度

在这项新的研究中，研究人员使用了量子保真度（quantum fidelity）这一概念来量化“变化”。在量子物理学中，保真度用于衡量两个量子态之间的接近程度，其取值范围为0到1，值越大表示两个量子态越相似（若为1则完全相同）。这一概念已在量子信息理论中得到广泛应用。

在新研究中，研究人员将保真度用于衡量正向过程（系统从输入到输出的演化）与反向过程（系统从输出回溯到输入的逆向推断）之间的统计相似性。他们发现，当最大化两个过程之间的量子保真度时，便可自然地推导出量子版的贝叶斯法则。这一结果与经典情形相对应：在经典统计中，贝叶斯法则可通过最小化联合输入输出分布之间的若干距离来得到。由于最大化保真度等价于最小化变化，因此这一推导符合最小变化原理。

他们发现，在许多情况下，他们的结果与Petz转置映射（Petz transpose map）相吻合。该映射由Dénes Petz在20世纪80年代提出，长期被视为是量子版贝叶斯法则最有力的候选形式之一。它建立在信息处理原理之上，这些原理不仅对人类推理至关重要，对机器学习中参数更新的机制同样关键。

面向未来的量子推理工具

这一研究成果有望帮助改进量子机器学习与量子计算中的量子纠错。研究人员表示，这是一项非常具有启发性的结果，它能在许多情形下确实重新得到Petz转置映射，但并非在所有情况下。这意味着，这项工作是一项重要的进展，但并非终点。如果他们的定义方式是正确的，那么先前那些基于类比的构建虽然在多数情况下是对的，但并非总是成立。

目前，研究团队正继续完善他们的量子贝叶斯法则，并探索其潜在应用。除了机器学习之外，这一法则在推断领域也可能非常强大——不仅能预测未来，还能从结果反推出过去的状态。这在量子通信中具有直接应用价值。研究人员表示，他们希望利用这些结果，开发出更高效、数学上更稳健的量子计算与推理方法。

#参考来源：

https://news.nus.edu.sg/probability-theorem-gets-quantum-makeover/

https://physicsworld.com/a/bayes-rule-goes-quantum/

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/5n4p-bxhm

#图片来源：

封面图&首图：Centre for Quantum Technologies