北京
说起波动率模型，我们往往会想到类似ARCH和GARCH这种自回归条件异方差模型。这类模型虽然一定程度上揭示了波动率的结构特征，但只用到了资产本身的信息。
在期权的语境下，所谓的波动率模型往往需要和期权价格的变动结合起来，因此还是沿着隐含波动率的思路，只不过相较于BS模型放松了更多假设。接下来介绍的局部波动率模型和随机波动率模型（SVI，SABR，Heston），就是这类模型中比较常见和常用的几种。
▍局部波动率模型[1]
在BS模型中，资产价格被假设为恒定波动率的几何布朗运动。从理论上来说，这一波动率不应随着到期时间和执行价格的变化而变化，但是这和市场观察到的波动率微笑、倾斜并不相符。
为了更加准确地刻画波动率的这种特征，一个自然的想法是假设波动率是价格和时间的确定性函数，即随着时间推移和价格变化，波动率大小也会改变。而且这里的波动率只是代表了某个时刻、某个价格下的瞬时波动状态，从理论上来说和其他时刻、其他价格没有关系，所以它是“局部”的。
▍SVI模型[2]
SVI模型是一种参数化的波动率建模形式。通俗来讲，参数化就是指整个模型的构建过程没有直接的市场含义，只有经验的提炼和规律的总结。原始SVI模型的具体形式如下：
其中σimp是隐含波动率，T是到期时间，K是执行价格，F是标的的远期价格，而其他的参数连带整个模型形式都没有任何直接的经济含义，它们对曲线形态的影响如下表所示。
从模型的介绍中可以看得出SVI的思路：它根本不关心BS的假设，也不关心随机分析的结果，只关心期权的隐含波动率能不能用一个数学公式拟合出来。SVI虽然过程简单粗暴，但由于计算便捷，输出直观，在期权交易中运用广泛。
▍SABR[3]和Heston[4]模型
SABR模型和Heston模型的想法有一些共通之处，即除了对标的价格的变动进行建模之外，还对价格的波动率进行了建模。其中，SABR模型假设波动率本身服从几何布朗运动（左图），而Heston模型假设波动率服从带有均值回归特性的随机过程（右图）。为了更直观地体现均值回归的特点，右图中的波动率均值设置为21%，而起始点是20%，所以可以看到波动率中枢比较明显的上移，最后停留在21%附近的位置。
建模思想虽然不复杂，但是模型的求解还是比较困难的。目前SABR模型可以得到隐含波动率的近似解，而Heston模型则只能得到关于香草期权价格的半显示解。尽管如此，比起BS模型以及前述两种波动率模型，SABR和Heston模型对现实世界的刻画更加细节，因此也被广泛使用。
本文源自：中证报价投教基地
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