传奇数学家生前最牵挂的谜题终获解

2024年底，两位数学家肯定地回答了传奇数学家让·布尔甘关于高维凸形状的“简单”问题。值得一提的是，他们的工作建立在中国数学家关庆扬近期的突破之上。另一方面，对于凸几何体截面的研究历史，或许要追述到400余年前欧洲一位传奇贵族的赌约。

撰文 | 嘉伟

鲁珀特问题：立方体穿洞

Prince这个英语单词，现在有不分语境统统翻译成王子或亲王的趋势，其实很多情况应译成（地方的）邦君一类。不过马上要介绍到的Prince Rupert，则是货真价实的普法尔茨的鲁珀特亲王（Prince Rupert of the Rhine, Duke of Cumberland）。

这位400年前的欧洲贵族是一位发明家、艺术家，也是一位战功彪炳的战士，几乎能流利使用欧洲所有主要国家的语言，在数学方面也有两把刷子。

普法尔茨的鲁珀特亲王，军人、政治家、私掠船船长和科学家丨图源：Prince Rupert of the Rhine - Wikipedia

鲁珀特亲王在17世纪提出了一个至今仍被津津乐道的几何问题。这个问题的由来颇具传奇色彩：他曾与人打赌，声称可以在一个立方体上开一个洞，然后让另一个同等大小的立方体穿过这个洞。

当时的人们普遍认为这不可能实现，直觉告诉我们，一个立方体怎么可能穿过一个同样大小的立方体上开的洞呢？然而，鲁珀特亲王最终赢得了这笔赌金。（至少故事是这么讲的，但历史上是否确有其事还存有疑问。实际上，这个开洞模型所需的加工精度，以当时的技术似乎无法做到。）

立方体穿过等大小立方体上的洞。| 图源：科幻作家格雷格·伊根

问题的核心在于对“洞”的理解。由于立方体是一种简单凸多面体（“凸”是指构成几何体的点集合中任意两点连线，线段上的点也完全包含在该集合中），我们可以从投影入手：设想在正午阳光的垂直照射下，立方体的边缘轮廓会在地面投下影子，能否调整立方体方向，使影子可以容纳足够大的内接正方形呢？正方形截面与“内方块”穿过的直线运动方向正交，截面本身就是打洞的轮廓。理解这一点是解决问题的关键。

不妨假设，当投影面积最大时，更容易找到正方形截面。此时投影沿立方体的体对角线方向，影子是一个正六边形。可以从这一方向穿越立方体的最大正方形（也就是可穿过的立方体的侧面），就巧妙地“隐藏”在这个正六边形内部。

我们还可以进一步提问：等大的立方体可以穿过，更大的立方体行不行？对于单位立方体，可穿过的立方体最大能有多大？

历经一个多世纪，上述问题才得到解决。第一个在书面上提到这个谜题的是约翰·沃利斯（John Wallis），他在1685年发行的《代数论著》（De Algebra Tractatus）中收录了

荷兰数学家彼得·纽兰德（Pieter Nieuwland，1764—1794）给出。纽兰德证明，只要从单位立方体的四条棱上各取距顶点3/4的位置作四点，这四点恰好形成一正方形，沿此正方形的法向挖通孔道，就是问题的最优解。这个答案是在纽兰德过世后的1816年，由他的老师扬·亨德里克·范·史温登（Jan Hendrik van Swinden）在整理他留下的论文集时意外发现的。

纽兰德的最优解 ｜ Wikipedia

数学家不会满足于仅仅解决一个具体的问题，他们推广出更普遍的几何概念——“鲁珀特性质”（Rupert property）。“鲁珀特”变成了一个形容词：一个几何体如果能被一个同等或更大尺寸的自身副本穿过，那么它就是鲁珀特的。这个概念将鲁珀特亲王最初的立方体问题推广到了更广泛的多面体乃至高维空间。

目前我们知道，柏拉图多面体（凸正多面体）都具备此性质，所有n维超正方体也是如此。

到2019年，数学家证明截角四面体是鲁珀特的。

截角四面体是将一个正四面体的四个顶点切去得到的形态。| 图源：Truncated tetrahedron - Wikipedia

截角四面体属于阿基米德多面体（Archimedean solids）。后者是几何学中一类非常优雅的凸多面体，它们的面都是正多边形，且每个顶点的邻接方式完全相同，但与柏拉图多面体不同的是，它们的面可以由多种不同类型的正多边形组成。共有13种阿基米德多面体，而已知其中9种都是鲁珀特的。

另外，根据数学家理查德·盖依（Richard Guy）与理查德·诺瓦科斯基（Richard Nowakowski）的研究结果，能够穿过4维超正方体的最大超正方体，其边长为1.007434 775…，即1.014924…的平方根，1.014924…也是一元四次方程4x^4-28x^3-7x^2+16x+16=0的最小实根。

有人推测所有凸多面体都是鲁珀特的，没有例外。但我想证明一定非常难。

数学巨匠让·布尔甘的猜想

400年前的鲁珀特问题，本质上就是探究多面体可能的最大斜截面。20世纪的数学家则从完全不同的角度来思考体积固定，但形状可变的高维凸几何体的最大截面的一致下界。

在1980年代研究最大函数（maximal function，现代分析学中的工具）的背景下，数学家让·布尔甘（Jean Bourgain）提出了一个关于高维形状的“简单”问题，这便是著名的“布尔甘切片问题”：是否存在一个常数c>0，使得对于任何维度n和任何体积为1的凸体K，都存在一个超平面H，使得K ∩ H的(n-1)维体积至少为c？

简单来说，这个问题问的是：如果一个凸体的体积是单位体积，那么它是否一定存在一个“足够大”的低一维切片？

乍一看，和略反直觉的鲁珀特问题不同，布尔甘猜想似乎是显然的。毕竟，如果几何体的形状在各个方向都非常细，它怎么可能占据足够的空间来形成一个体积单位呢？“得了吧——这能有多难？”高维几何学家罗南·埃尔丹（Ronen Eldan）回忆起第一次听说这个问题时的想法：“可你越思考，就越能体会到它其实有多么精妙。”

让·布尔甘被誉为传奇数学家，这源于他在多个数学核心领域做出的深远而变革性的贡献，以及他独特的研究风格和影响力。作为数学界的最高荣誉——菲尔兹奖（Fields Medal）的获得者，他以非凡的问题解决能力而闻名。数学家陶哲轩曾评价说：“我的早期工作可以概括为——读让的论文，学会他的技巧，尝试做些改进。”

Jean Bourgain于1980年代拍摄的照片丨图源：IHES

然而，即使是这样一位卓越的数学家，也未能在有生之年完全解决自己提出的关于高维凸体切片的问题。

特拉维夫大学的维塔利·米尔曼（Vitali Davidovich Milman）是以色列数学界的重量级人物，在凸几何、泛函分析和高维空间理论方面作出了奠基性贡献。他曾写道：“让告诉我，他在这个问题上投入的时间和付出的努力，比他研究过的任何其他问题都多。”

布尔甘于2018年去世。就在去世前几个月，他还询问米尔曼，这个问题是否有进展。“他想在离开之前听到答案。” 米尔曼回忆道。

直面古怪的高维世界

高维世界里物体的行为方式往往违背我们人类在低维宇宙里养成的直觉。如高维质量集中现象：高维球的体积集中在它外围很薄的一层球壳上，高维立方体的体积集中在它的一堆角上（微积分求极限可得），高维的高斯正态分布从球面坐标看，它的质量集中在一层半径较大的薄薄的球壳上（用变分法可得）。

后一结论在概率论和实际应用上非常有价值，从此我们在高维情形下只需要考虑距离原点1-ε到1+ε的一层球壳就可以了，因为其余部分的概率近似为0。

借助这些结论可以立刻推知一些原本难以计算的概率极限。

比如说，n维立方体里随机两点，随着n增大取极限，随机两点的距离小于1的概率极限为0。

为什么呢？因为如前所述，点都集中在超正方体的角上，也就是n越大，立方体内的点越接近超正方体的顶点。这就导致所谓任意两点的距离，非常接近两个顶点之间的距离。而超正方体两个顶点间的距离最小就是1。

四维超正方体示意图丨Tesseract - Wikipedia

再提供一个与切片猜想相关的问题——Busemann–Petty问题。这也是凸几何中的经典问题，提出于1956年。它探讨的是高维空间中截面体积与整体体积之间的关系，看似直观，却在高维中展现出极大的复杂性：设有两个中心对称的凸体（即关于原点对称），如果一个凸体的所有经过中心的截面都比另一个大，那它的整体体积是否也更大？

在二维到四维空间中，这个直觉是正确的。然而令人惊讶的是，这个结论并不适用于五维及以上维度！这意味着，在五维及以上的空间中，存在这样一种反直觉的可能：一个凸体的所有中心切面都比另一个小，但它的总体积却更大。

正是高维的复杂性使得布尔甘切片问题远非表面上那么简单，这也是高维几何的美妙之处。可以说，布尔甘的切片猜想是“驯服”古怪高维世界的一次尝试：至少在某些方面，高维几何形状也应顺应我们的直觉。

此外如同前面提到的高维正态分布，高维几何的核心应用之一就是借助几何视角赋予多元概率直观的形象，简化期望、方差等数据特征的计算；反之，概率论提供了一种理解高维几何的新方式——利用概率工具来估算几何对象的度量属性（面积、体积等），是现代几何学的重要研究方法。布尔甘则是这种研究传统的开创者之一。他的“切片猜想”，这个朴素且看似明显的问题为高维几何学确立了新的方向。

米尔曼评价说，自布尔甘提出这个问题以来，它已成为学者理解高维凸体诸多问题的“敲门砖”。高维凸体不仅是纯数学家关心的对象，也吸引了统计学家、机器学习研究人员以及其他需要处理高维数据集的计算机科学家的广泛兴趣。

里程碑式的突破

2024年12月，以色列魏茨曼科学研究所的博阿兹·克拉塔格（Bo’azKlartag）和法国普瓦捷大学的约瑟夫·勒埃克（Joseph Lehec）撰写了一篇论文“Affirmative resolution of Bourgain's slicing problem using Guan's bound”，宣告这一长期悬而未决的问题，获得了肯定的解答。

论文标题里提到的“Guan's bound”，是指中国科学院的数学家关庆扬得到的一个结论。关庆扬的工作建立在一种名为随机局部化（stochastic localization）的技术之上。该方法最初由罗南·埃尔丹在其博士论文中提出，并在后续由其他学者进一步完善。

这种几何方法也可以用物理学中的热流解释。该技术涉及在凸性假设下，运用随机分析方法，对定义在n维欧氏空间中的概率测度的热流演化过程给出精确估计。

埃尔丹凭借此项工作拿到2023年新视野奖。同年获奖者还有解析数论领域的领导者之一、菲尔兹奖得主詹姆斯·梅纳德（James Maynard）。

现代学者几乎不直接考虑高维凸体所有截面的面积/体积，转而研究一个名为凸体迷向常数（Isotropic Constant）的量：这是衡量凸体“大小”的另一种方式（“迷向”意思是分不清方向）。简单来说，原本是证明最大可能切片存在下界，此时则变成证明不同维度的凸体迷向常数有一个上界。同时虽然该定义具有更复杂的形式，但也因此具备了信息和概率意义。我们能够直接对它应用信息论和概率论中的理论工具。

克拉塔格和勒埃克作为高维凸体切片猜想的权威，对这一问题有深刻的理解。他们立刻意识到，关庆扬的结果就像是一把钥匙，能打开解决切片猜想的最后一扇门。实际上，看到关的论文后，克拉塔格和勒埃克仅用几天就解决了之前40年未能攻克的难题。克拉塔格指出：“很幸运，因为我们知道关庆扬的结果正是我们所需的要素之一。”

他们结合米尔曼的M-椭球理论、随机局部化技术以及关庆扬最新得到的参数上界，利用Eldan-Mikulincer的Shannon-Stam不等式稳定性估计，最终确立了凸体迷向常数有界（与维度n无关）的关键定理，一举证得布尔甘的切片猜想。（M-椭球理论大致上是说，对于任何凸体K，都存在一个椭球E，使得二者在某种意义上相互“覆盖”得很好。）

Bo’azKlartag对这个猜想、它的历史、证明的一些成分以及仍然悬而未决的相关猜想进行了精彩的演讲。未来甚至有可能确定常数c的精确值。|图源：Qingyang Guan, Joseph Lehec and Bo’az Klartag Solved The Slice Conjecture! | Combinatorics and more

克拉塔格半开玩笑地表示：“要是相信所谓的‘维度诅咒’，我们可能早就放弃了。好在，我和勒埃克属于不同的学派。”

维度诅咒，从机器学习的角度来看，是指随着数据集维度的增加，要想在不过度拟合的情况下对数据进行精确建模（即不记忆样本的具体细节），所需的数据量会增长得非常快。因为即使数据集非常庞大，最终也只能覆盖极其稀疏的整体可能性空间。举例来说，用100个平均分布的点采样一个单位区间，相邻点距离不超过0.01；而当维度增加到10后，如果以同样的间距采样一单位超正方体，则需要1020个采样点。

如今，理论上的突破不仅为高维几何学带来了新的理论基础，也为处理高维数据集的统计学、人工智能的机器学习和计算机科学等应用领域提供了更深刻的理解和新的工具。

比如说，当我们讨论凸几何体的截面时，是不是会让人联想起医学影像和地质勘探中的断层扫描？实际上，“几何层析成像”正是一门通过分析几何对象在各个平面上的投影（阴影）或横截面数据，来重建其整体形状的数学方法。

此外，为了解决切片问题，以及更强的KLS（Kannan–Lovász–Simonovits）猜想，数学家发展出一整套的概率方法。它们已经开始反哺统计学和信息科学，并在现实中发挥威力：这些研究告诉我们，在凸形空间中，即使用最朴素的随机游走，也能在显著更少的步数内把行走位置分布逼近均匀；这为所有基于随机游走的高维算法提供了坚实、可量化的性能下限，帮助计算机科学家在各种随机采样技术之间确定优先级——弄清楚什么时候最基本的随机游走就已足够，何时则应选择更复杂、计算成本更高的算法以获得更佳性能。

最后，我想每个人都会同意，布尔甘会对这一结果感到欣慰。

后记

虽然博阿兹·克拉塔格是凸几何领域里的世界级权威学者，长期研究高维对称结构，此前从未正式涉足晶格/格点理论（Lattice Theory）领域。然而，晶格其实一直是他渴望去研究的对象。

就是在证明了布尔甘的切片猜想之后，他意识到：“我已经47岁了，我一生都想研究格，如果我现在还不去做，那就永远不会去做！”

随后克拉塔格开始了自己的“圆梦之旅”。在今年4月，他以局外人未受到既有研究局限的视角，凭借对凸几何的理解与随机过程的掌握，在离散几何领域又迅速得到了一个里程碑式的成果。不过，那就是另一个故事了。

参考文献

[1]Rupert property of Archimedean solids. The American Mathematical Monthly, 125(6), 497–504.

[2]The n-Cube is Rupert.The American Mathematical Monthly, 125(6), 505–512.

[3]The truncated tetrahedron is Rupert. The American Mathematical Monthly, 126(10), 929–932.

[4]Affirmative resolution of Bourgain's slicing problem using Guan's bound. arXiv preprint arXiv:2412.15044.

[5]A note on Bourgain’s slicing problem. arXiv preprint arXiv:2412.09075.

[6]Bourgain’s slicing problem and KLS isoperimetry up to polylog. arXiv preprint arXiv:2203.15551.

[7]Qingyang Guan, Joseph Lehec and Bo’az Klartag Solved The Slice Conjecture! | Combinatorics and more

[8]EricaKlarreich, Statistics Postdoc Tames Decades-Old Geometry Problem

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