李曙光：现代复合材料多尺度数值表征方法——代表性体元与单胞的概念、理论及应用

多尺度分析在现代物理科学和工程领域已是一个备受关注的方法论，代表性体元(RVE)与单胞(UC)也已成为众多的科技期刊和会议文献中常提及的分析手段，全球年产的所有博士论文中有相当的数量会或多或少、或隐或显地含有从代表性体元与单胞得出的结果。然而，这些文献中的绝大多数关于代表性体元与单胞的陈述都有如下通病：不太完整。文献的科学性的衡量标准之一是，如果他人独立地按照文献中所给出的方法、步骤，应该能够重现文献中所发表的结果。对于代表性体元与单胞应用的一个反常现象是，所发表的结果不可能如法重现，因为文献中所提供的信息中常常缺乏一要素，即边界条件。即便是那些提供了边界条件的文献，所提供的边界条件常常缺乏根据，以致对错难辨，事实上，大部分都不那么正确。前面已经提及，建立代表性体元与单胞的目标就是要在数学上把相应的边值问题清清楚楚地提出来。一个边值问题，如果连边界条件都不清不楚，那无异于无稽之谈。这是笔者多年潜心致力的一大部分工作的背景，现在应该是给该问题一个完善而又明了的结论的时候了……

那是1995年，我在英国参加一国际会议，其中有一报告引起了我的注意，显然不是因为所研究的高深的材料问题，因为现在我已不记得任何这方面的内容了，让我好奇的是报告人所采用的微观力学单胞，其取之于六边形排列的纤维增强复合材料，形如梯形，不过那条倾斜的边呈一S 形曲线，报告人未解释何故，收入在会议文集中的文章也未提及缘由，于是，疑问只能搁置于脑中了。当天中午排队取午餐时，该报告人恰巧排在我前面，于是我便借机询问曲边的缘由。“若要保证该边两端与邻边的角为直角的话，必须如此。”他答道。但我仍不解，为什么要是直角呢？“否则的话，那两角点处会有应力奇异。”我心中立即毫无悬念地断定，边界条件一定错了。

▲ 各种胞元及其导出的单胞

会议之后，我查阅了能找得到的涉及单胞的有关文献，惊讶地发现，该领域的现状，正如本书的第5 章所剖析的，居然是如此不堪。于是，我花了大约两年时间写成了自己在单胞问题上的第一篇文章，又花了几乎两年时间才发表于英国皇家学会的期刊，心想尘埃就此落定。

不久，我觉得这个问题可以表述得更系统，于是，又写成了两篇文章，一篇关于二维问题的单胞，一篇关于三维问题的单胞。这下真的搞定了。

没多久，我又开始深感不安了，文献中的单胞绝大多数都不给出所采用的边界条件，似乎一个单胞就是某个几何形状而已。于是，我设计了若干单胞，有一些看上去形貌大相径庭，但边界条件相同，结果表明它们对应着同一种材料；另有一些，形貌完全相同，但边界条件不同，结果表明它们代表着截然不同的材料。

故事依序渐进，在为Comprehensive Composite Materials II (Ed. C. Zweben and P. Beaumont), Vol 1: Reinforcements and General Theories of Composites 撰写关于代表性体元与单胞的那一章而不得不回顾自己在这方面的工作时，我才认识到在单胞和代表性体元这一主题上自己已经发表了近30 篇文章，还不包括自己在诸多国际会议上有关的报告，有些与合作者共著，都见于声誉较高的专业杂志，一章的篇幅远不足以涵盖已有的内容，于是我意识到是时间给自己在这方面的工作一个交代，画个句号了，至少，希望如此。

荟萃了三十多篇论文的内容，本书主题是代表性体元(RVE)和单胞(UC)，在对该领域作了系统的综述后，着重介绍关于RVE和UC的基本概念和理论，特别是对称性的识别和利用，建立了一个在逻辑、数学、力学意义上严谨的理论框架，为多尺度分析这样典型的边值问题提供正确的边界条件，以确保RVE和UC的代表性。本书还提供了所建立的理论在若干典型工程领域的应用范例。

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在我的有关单胞的主要论文发表后的许多年里，我常收到有关的求助电邮，显然，仅仅寄去一份相关的论文还远远不够。正确建立的单胞，其相关的边界条件，如果仅用一个字来描述，而且不是太消极的话，那就是：繁。虽然繁，但又相当有序，于是我做了一系列的模板，以帮助运用我所建立的单胞的研究人员，这一尝试的确行之有效。

在2010 年前后，我的一位博士后Laurent Jeanmeure博士提出，那些模板，其中的所有操作都可以用Python scripts 编成程序，作为现在商用有限元软件Abaqus/CAE的二次开发而予以自动化。在他当时的课题的有限时间内，他展示了此举的可行性。之后更系统的开发是在遇到了潘青博士之后。那时，他还是一位南京航空航天大学刚入学不久的硕士研究生，他无疑是极具天赋的编程好手，不久他便把我以往所建的单胞都一一自动化了，这就是后来被命名为UnitCells©的软件。潘青后来被诺丁汉大学录取，在我的指导下取得了博士学位，其间，我们又有机会将UnitCells©的内容大幅度地充实，特别是对三维纺织复合材料的应用，从而使UnitCells©真正地成为了一个复合材料多尺度数值表征的虚拟试验平台，从单向纤维增强的复合材料到由它们所构成的层合板，从粒子增强到织物预制体增强，其最新版本及前述模板，作为本专著英文版的附件，由Elsevier 以开源形式公布于特定设置的网站，供读者们下载使用。提供如上如实的发展记录是为了借此机会表达对我这两位在单胞问题上的合作者的真诚的谢意。

代表性体元与单胞的用户们知道，其中最需要劳神的方面就是建立恰当的边界条件，使得所建立的代表性体元与单胞能够如实地反映材料构形并真正具有代表性。

此中文版除了借机更正英文版中的大量笔误与疏忽之外，对标题也稍作更动，这样可以更接地气——应用。除此之外，还增添了第15 章，篇幅虽然不大，但是相信其对全书是一个相当到位的、多方面的补充。首先，所论述的是逆问题，相对于其他章节的内容，无论是在数学意义还是在物理意义上，可谓背道而驰；其次，不再以建立在变分原理基础之上的有限元法为求解器了，也是一反常态。希望能够有助于部分读者，抑或略有启发，也当十分欣慰。平心而论，此中文版不是从英文版翻译过来的，而是根据英文版的内容，用中文重新写作的。

希望本书有助于材料科学与工程界的诸多领域的研究人员，但它显然不适合作为教科书，即便如此，本书中的有些内容，特别是对称性、材料分类、边值问题中正确的边界条件的重要性等，应该可以给各个层次的大学生、研究生们提供一些补充知识，理想境界是，学生们应该已经在他们的课程的适当部分被系统地传授了这些知识，但是实际情况则不然，在很多人的知识体系里，这些知识至今尚是空白，甚至有人都不愿意承认缺乏这些知识这一事实。

本文摘编自《现代复合材料多尺度数值表征方法：代表性体元与单胞的概念、理论及应用》（李曙光著．北京：科学出版社，2023.11）一书“英文版前言”“中文版序”“第1 章 引言——背景、目标及基本概念”，有删减修改，标题为编者所加。

ISBN 978-7-03-076664-9

责任编辑：陈艳峰 孔晓慧 郭学雯

本书适用于从事航空、材料、机械、土木、建筑等领域的研究人员，特别是从事相关课题的研究生，部分章节，如对称性问题，也可以作为大学高年级本科生、硕士和博士研究生的参考读物。

（本文编辑：刘四旦）

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