震惊数学界的“希尔伯特计划”差点就成功，竟被哥德尔搞黄了

两个天才的

Battle

19世纪末到20世纪初，数学正处于空前兴旺发达的时期。

但是，事物的发展都具有两面性，表面看上去越是繁荣昌盛，背后就越容易隐藏着危机——第三次数学危机。

集合论作为数学的最重要的基础之一，已经渗透到众多的数学分支，但是却有人在集合论中找到致命的悖论。它直接冲击了以严谨著称的数学和逻辑学科，动摇了传统的数学概念、数学命题和数学方法的可信性标准。

就好比突然有一天，我们被告知，从小开始背的乘法口诀可能全是错的。

其中最具代表性的就是罗素于1919年提出的“理发悖论”了。

某村理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。 悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。

为了捍卫数学的严谨性和科学性，一位巨人站了出来——希尔伯特。

戴维·希尔伯特，德国著名数学家

希尔伯特被称为“数学界最后一位全才”。他最擅长的“非构造性证明”和“排中律”是数学界最具特色也是最具争议性的证明方法之一。

举个栗子：

“非构造性证明”：一个教室里有100个座位，但只坐99名学生。可以断定的是，一定还有一个空位，但是我们却无法确定那个空位具体在哪个地方。

而“排中律”就更好理解了：一件事要不是真的，要不就是假的。

希尔伯特就是受到“非构造性证明”和“排中律”的启发，于1920年提出了著名的“证明论计划”，又称为“希尔伯特计划”。

“希尔伯特计划”有点类似于程序员编码时使用的C语言，欲把所有数学形式化——所有数学表述都应该用一套具有统一标准的数学语言，并且按照一套严格的规则来使用。

而且，无论多深奥、多复杂的数学猜想，只要我们按照这个方法来做，“真相大白”只是时间问题而已。

超模君说了那么多，希尔伯特计划到底意义何在？

第一，舍弃了自然语言之后，数学表述变得更加严谨。 比如：“存在一个集合是空的” → 。 第二，数学具有完备性。换句话说，只有这个数学陈述是正确的，我们就一定可以用这个方法来证明它的真伪性。 第三，数学具有一致性。也就是说，不会出现自相矛盾的数学陈述，这就确保了，我们在不违背逻辑的前提下获得的结果是有意义的。不会出现一个陈述，它既是真的又是假的。

希尔伯特的最终设想其实就是，找到一个合理的算法，就可以套用这个方法来判定所有数学表述的真伪性。

这听上去，好像的确是一个不错的计划，而实际上，希尔伯特却是“搬起石头砸自己的脚”。

1900年8月8日，希尔伯特在第二届国际数学家大会上作了一个被称为“20世纪数学至高点”的演讲，演讲中，希尔伯特提出了23个数学问题。

当全世界的数学家们都在致力于解决这“23个数学问题”时，哥德尔却仍惦记着希尔伯特计划，最让人惊讶的是，他居然把“希尔伯特计划”给推翻了。

库尔特·哥德尔，数学家、逻辑学家和哲学家

可以说，哥德尔就是因为希尔伯特才开始喜欢捣鼓数理逻辑的。

他读完希尔伯特的《数理逻辑原理》后，干脆就从论文中选了一个话题当作他的博士论文主题——“在形式系统中，真的命题是否都是可证明的？”

哥德尔这篇博士论文的结论便是鲜为人知的“哥德尔完全性定理”——一阶谓词演算是完备的。但是这个定理却有个致命的缺点：一阶逻辑的局限性过高，甚至它连自然数都定义不了，就更别说做算术了。

哥德尔发现这个问题后，用了一年的时间来做更深层次的研究，却得到了一个完全相反结论——哥德尔不完全性定理。（其中包含了第一定理和第二定理）

第一定理：任意一个包含一阶逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。

也就是说，要是我们能在一个数学系统中做算术的话，那么要么这个系统是自相矛盾的，要么有那么一些结论，它们是真的，我们却无法证明。

第二定理，如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。

说得通俗点就是，哥德尔在希尔伯特的方法证明数学陈述时，产生了逻辑矛盾，得到了一个又真又假的的悖论，否定了希尔伯特提出的一致性。

那为什么说希尔伯特有种“搬起石头砸自己的脚”的感觉呢？

因为哥德尔推翻希尔伯特计划和证明这两个定理的过程当中，运用的就是希尔伯特计划提及的：形式化。而且哥德尔还完美的解答了希尔伯特提出的“23个数学问题”中的第二个问题。

首先，哥德尔按照希尔伯特的思路，他将所有的数学陈述用严格的符号表达； 然后再把它们全用自然数来代替（哥德尔数化）； 最后再通过数学归纳法的递推性来加以证明； 然而哥德尔发现他得到的结果仍是一个自然数。

说白了就是，这个数学陈述陈述了它自己——自指。

超模君给模友们举一个很简单的例子，“这句话是错的”，那它到底是对的还是错的？

同理，引起第三次数学危机的“理发悖论”也是一个逻辑爆炸的自指过程，这也代表着哥德尔成功推翻了希尔伯特计划。

“理发悖论”的数学表达：如果存在一个集合A={x | x∉ A }，那么A∈A是否成立？如果它成立，那么A∈A，不满足A的特征性质； 如果它不成立，A就满足了特征性质。

不得不承认，天才就是天才。哥德尔巧妙地利用了“自指悖论”，构造了一个其自身就不可证明的命题，从而得出这几个结论：

一、如果它是真的，那么我们得到了一个真的而又不可证明的命题，则系统不具备完备性。 二、如果它是假的，那么存在一个它的证明，这样它应该是真的，说明系统是自相矛盾的、不一致的。 三、最后，我们假设系统是一致的，但这样又会与上述的“命题的不可证明性”相互矛盾。

这就是哥德尔不完全性定理第一定理的思路，前两点（第一定理）针对解答了希尔伯特计划中指的完备性，第三点（第二定理）则是关于一致性的解答。

哥德尔这波神一般的操作，不仅把人们从“23个数学问题”中吸引了过来，还彻底粉碎了“希尔伯特计划”，如果我们假定数学不会自相矛盾的话，我们就必须承认数学是不完备的，也就是说有这么一些数学命题是不可判定的：我们既不能证明它们为真，也不能证明它们为假。

但当时仍有不少数学家认为，虽然“希尔伯特的梦”破碎了，这并不威胁数学的正常发展。这是一本会改变你对数学看法的书，推荐阅读《数学和数学家的故事》

因为希尔伯特在他的退休的那一刻给后辈们留下了一句永恒的真理。

Wir müssen wissen, wir werden wissen.

我们必须知道，我们必将知道。

超模君 说

看到最后

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作者简介：超模君，数学与交叉科学教育自媒体博主，中大数学博士，有俩崽崽和一洁癖的太太。爱分享有用的数学建模知识，爱深挖有趣的交叉科学人物故事，爱为靠谱的现代教育、提升幸福感的产品打call。著有 《芥子须弥·大科学家的小故事》、《数学之旅：闪耀人类的54个数学家》、《漫画数学：闪耀人类的54个数学家》、《一份钟数学》 （已售罄）、《薛定谔的猫：漫画大科学家的小萌宠》（已售罄）、 超模君幽灵魔方、超模君丙烯马克笔 等广受大人与孩子们喜爱的作品。

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