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数学里魔术:揭开无效证明的神秘面纱(一) 解答篇

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[遇见数学]小编:数学是一个严谨而细致的学科,它的美在于其精确性。证明是人们建立数学事实真实性的主要工具。需要小心的是,有一类错误的证明,乍一看似拥有正确的推理过程,但实际上包含逻辑或规则错误之处,数学家称之为无效证明,或者数学谬误。

这种证明中的错误,无论是故意还是无意的,特别适合用来考验是否牢记数学规则。以下是[遇见]从维基百科的「无效证明」中选取的一些例子,大家可以一起来考考自己,看看到底是哪里出现了问题,才导致了如此荒谬的结论。

例子 I:证明 1 是最大的正整数

Q.E.D.

整个证明过程的问题出现在最初的假设中,也就是假设存在一个最大的正整数。所以,这个证明的基础假设就是错误的,因此整个证明都是无效的。

例子 II:证明 -1 等于 1

Q.E.D.

第三步出现了问题。在实数范围内,不能对负数开方,这是一个无效的操作。

例子 3:证明 1 等于 2

Q.E.D.

在第五步出现了问题。由于假设里是 ,。在数学中,不能除以0,所以这一步是不允许的。

例子 4:证明 4 等于 5

Q.E.D.

问题出现在第6步,对等式的两边同时开方,但是忽略了可能的正负根。

例子 5:证明 1+1=0

Q.E.D.

这个证明过程的问题出现在第3步。在这里,错误地将 分解为 。虽然这在 和 都为正数时是正确的,但在它们为负数时是不正确的。在实数范围内,我们不能对负数开方。

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