换个角度看问题——准晶体与非周期镶嵌（非周期密铺）

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AIM SQuaRE的准晶体谱理论研究项目团队结合非周期镶嵌（非周期密铺）与图论，借助图拉普拉斯算子探究准晶体特性，成果丰硕，还引出了待解的镶嵌图案谱特性问题。

作者：Michelle Manes（米歇尔・梅恩斯）

AIM（美国数学研究所）副主任 2026-1

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-4-11

美国数学研究所（AIM）的 SQuaRE 项目 “准晶体谱理论”，于2022年1月至2024年10月间共召开三次研讨会。研究团队 —— 成员包括莱斯大学的戴维・达马尼克（ David Damanik ）、弗吉尼亚理工大学的马克・恩布里（ Mark Embree ）、得克萨斯农工大学的杰克・菲尔曼（ Jake Fillman ）、加州大学欧文分校的安东・戈罗捷茨基（ Anton Gorodetski ）以及丹尼森大学的梅・梅（ May Mei ） —— 力求开发新的工具、技术与思路，以加深对准晶体数学模型的理解。该SQuaRE项目成果丰硕，三次研讨会期间产出了12篇预印本与正式论文，另有至少3篇研究成果正在撰写中。

准晶体（quasicrystals）是一类具备奇异材料特性与数学特征的新型物质。我们熟知的晶体（如钻石、食盐）的原子排列呈三维网格结构：原子在三个独立方向上呈规则间距分布。此外，这类晶体在原子层面具有二次、三次、四次或六次旋转对称性。准晶体与上述晶体有部分共性，即其对称图案可铺满整个空间。二者的区别在于：准晶体中原子的排布仅为近似规则，而非完全规则；同时，准晶体可具有五次、十次或十二次旋转对称性。

准晶体是介于无固定原子结构的非晶态固体（如玻璃）与具有规则原子晶格的晶体（如钻石）之间的物质。它硬度高、摩擦小、导热导电性差，广泛用于不粘锅、手术器械、LED 等产品，独特性质使其在量子力学等领域极具应用潜力。 丹尼森大学官网2026.3.3报道—— 数学系教授梅梅参与准晶体研究，准晶体数学模型有望推动量子力学系统等领域的应用

1982年，美国国家标准与技术研究院（NIST）的科学家丹・谢赫特曼（Dan Shechtman）在研究铝锰合金时，观测到了令人意外的衍射图案，他在实验记录本上针对其中一项观测结果写下 “十次对称？？？” （10 fold???）的疑问。

丹・谢赫特曼在美国国家标准与技术研究院（NIST）的实验记录本中，记载了首次观测到具有十次对称性晶体的相关数据。

图源：丹・谢赫特曼

该衍射图案表明材料具有十次旋转对称性，但当时学界普遍认为，晶体不可能存在这种对称性。（谢赫特曼日后凭借这一发现荣获诺贝尔化学奖。）

1985年于美国国家标准与技术研究院（NIST）召开的研讨会上，谢赫特曼（左）正在阐释准晶体的原子结构。

图源：Wikimedia

几乎在同一时期，物理学家保罗・斯坦哈特（Paul Steinhardt）提出了存在五次对称准晶体的假说，最终他发现了两种天然准晶体 —— 二十面体准晶与十边形准晶。2023年，多伦多大学与麻省理工学院的研究人员成功制备出超导石墨烯准晶体。

鉴于准晶体的物理起源与潜在应用价值，学界对与其相关的量子力学系统产生了浓厚兴趣。在数学层面，这一研究方向对应谱（spectral）问题的探究，这类问题与化学家用于分析物质结构的衍射图案具有相似性。谱问题的研究范畴广泛，每一类谱问题都对应一种自伴算子（self-adjoint operator）的选择。

上文提及的准晶体均为三维物质，但深入理解一维与二维准晶体的数学特性，是研究三维准晶体的重要中间步骤。该 SQuaRE 项目团队从一维准晶体入手，通过研究算子的遍历族及其谱隙展开探索 —— 这是一个已活跃多年且成果显著的研究方向。团队的一项重要新贡献，是对以平面非周期镶嵌（即不具备平移对称性的镶嵌图案，aperiodic tilings of the plane，镶嵌也称密铺、平铺）为模型的高维准晶体展开研究。

1961年，王浩首次提出了平面非周期镶嵌的概念。1970年代初，罗杰・彭罗斯（Roger Penrose）提出了一种极具影响力的非周期镶嵌方案，该方案仅需两种不同的瓷砖即可实现平面镶嵌。尽管这两种瓷砖本身可用于构造周期性平面镶嵌，但通过为瓷砖间的拼接方式设定匹配规则，就能强制形成非周期镶嵌结构。（值得一提的是，这些严谨的数学描述，其实早于伊斯兰装饰图案中出现的类似非周期镶嵌设计 —— 相关链接：https://www.sciencenews.org/article/ancient-islamic-penrose-tiles-0 。）彭罗斯镶嵌是一种二维结构，它与自然界中发现的准晶体有诸多共性，其中就包括五次旋转对称性。将准晶体的数学研究从一维拓展至二维是一项极具挑战性的工作，因为适用于一维研究的诸多工具在二维场景下不再适用。

2024年，该SQuaRE项目团队在《实验数学》Experimental Mathematics期刊发表论文《彭罗斯镶嵌与阿曼 - 宾克尔镶嵌对应的拉普拉斯算子的积分态密度间断性》Discontinuities of the integrated density of states for Laplacians associated with Penrose and Ammann–Beenker tilings https://arxiv.org/abs/2209.01443，研究了多种彭罗斯镶嵌（以及知名度较低的阿曼 - 宾克尔镶嵌）所对应的图拉普拉斯算子（graph Laplacian）。

准晶体的构造方法

构造彭罗斯镶嵌的方法之一是运用替代规则。以菱形彭罗斯镶嵌为例，构造过程从 0 级开始：将五个 “厚菱形” 拼接成星形结构。

随后反复应用两条替代规则：

当出现 “厚菱形” 时，按特定结构将其替换为三个厚菱形与两个薄菱形；

当出现 “薄菱形” 时，按特定结构将其替换为两个厚菱形与两个薄菱形。

通过不断迭代这些替代规则，平面上的镶嵌图案会逐步扩展。我们可以设想持续这一过程，在极限情况下，整个平面将被非周期镶嵌图案完全覆盖。

1级与2级镶嵌结构

镶嵌百科全书中详细记载了这些替代规则的具体内容，相关链接：https://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution/penrose-rhomb/ 。最早对这类结构展开研究的数学物理学家团队由Takeo Fujiwara、Masao Arai、Tetsuji Tokihiro、Mahito Kohmoto组成，他们于1988年在《物理评论 B》期刊发表论文《二维彭罗斯晶格中电子的局域态与自相似态》Localized states and self-similar states of electrons on a two-dimensional Penrose lattice，阐述了相关研究成果。 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.37.2797

利用图论研究非周期镶嵌

该SQuaRE项目团队将每一种镶嵌图案与一个图相对应，这一方法使他们能够运用图论领域的强大工具展开研究。构造镶嵌图案对应图的规则如下：将镶嵌图案中的每个多边形视为图的顶点；当两个多边形共享至少一条边时，就在对应的两个顶点之间连接一条边。下图展示了0级、1级与2级镶嵌图案分别对应的图结构。

0级、1级与2级镶嵌分别对应的图结构

图论中有一个著名的自伴算子（self-adjoint operator），即图拉普拉斯算子（graph Laplacian.）。将该算子作用于函数f时，其计算结果为函数f在每个顶点处的取值，与该顶点所有相邻顶点上函数f取值平均值的差值之和。这一算子是在图结构中求解 “波动” 问题的离散化对应工具。

更严谨的数学定义如下：设Γ=(V,E)为一个图，其中V为顶点集，E为边集；若顶点u与v相邻，则记为u∼v。那么图拉普拉斯算子ΔΓ​的定义为：

图拉普拉斯算子的实用价值在于，我们能够通过该算子的特性 —— 尤其是其特征值与特征向量 —— 推导图的结构信息。例如，著名的 “听鼓辨形” 问题，在数学上可转化为：两个平面区域若具有相同的拉普拉斯算子特征值（即相同的谱spectrum），那么这两个区域是否在几何结构上完全一致？（研究结果表明，答案是否定的。）

该 SQuaRE 项目团队通过对无限图进行有限层级截断（例如，前文所述的每一级镶嵌图案都对应一个有限图），进而研究无限图的拉普拉斯算子。在团队发表的论文中，作者给出了这些截断拉普拉斯算子的特征函数（eigenfunctions） —— 这类定义在图上的函数，经拉普拉斯算子作用后仅表现为简单的缩放变换。令人略感意外的是，这些特征函数具有局部支撑性（locally supported），即它们仅在图的一个局部小区域内取非零值，而在图的绝大多数顶点上取值均为零。这一特性与二维鼓面的振动模式形成鲜明对比：鼓面被敲击后，除了被称为节线（nodal lines）的特定曲线外，其余区域均会产生振动。

以前文所述的菱形彭罗斯镶嵌为例，若在现有镶嵌层级基础上再迭代两次，得到5级镶嵌结构，此时可得到四个具有局部支撑性的特征函数。如下图所示：特征函数在深蓝色瓷砖对应的顶点上取值为 +1，在深红色瓷砖对应的顶点上取值为 -1，在浅蓝色瓷砖对应的顶点上取值为 +1/2​，在浅红色瓷砖对应的顶点上取值为 -1/2​，在所有未着色瓷砖对应的顶点上取值为 0。上述每个特征函数对应的特征值（能量值）均为E=6。

5级结构、能量值为6的局部支撑特征函数

该论文融合了理论分析与数值计算方法，作者在论文中指出：“这些研究结果引出了一系列关于非周期镶嵌拉普拉斯算子谱特性的问题，我们已将这些问题整理归纳在论文末尾。” 研究团队未来还有大量有趣的工作亟待开展，他们将继续围绕这些问题，以及其他镶嵌图案的谱特性展开深入探索。 https://arxiv.org/pdf/2209.01443

术语与专有名词标注说明

AIM SQuaRE：美国数学研究所（AmericanInstitute ofMathematics）的研讨项目，全称为StructuredQuartetResearchEnsemble

quasicrystal：准晶体（一种不具备平移对称性但具有长程取向有序的固态物质）

aperiodic tiling：非周期镶嵌（无法通过平移变换重合的平面 / 空间填充图案）

graph Laplacian：图拉普拉斯算子（代数图论与谱图论的核心算子）

self-adjoint operator：自伴算子（希尔伯特空间中与自身伴随算子相等的线性算子）

integrated density of states：积分态密度（描述固体电子态密度随能量变化的累积函数）

substitution rule：替代规则（构造分形、非周期镶嵌的核心方法之一）

locally supported：局部支撑性（函数仅在定义域内有限区域取非零值的特性）

参考资料

https://drive.google.com/file/d/1KwaDsFdQK4AXIOuB3eHAvyfAI3N7brou/view

https://aimath.org/aimnews/newsletter/

https://arxiv.org/abs/2209.01443

https://www.sciencenews.org/article/ancient-islamic-penrose-tiles-0

https://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution/penrose-rhomb/

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.37.2797

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