数学与逻辑的交响曲：莱布尼茨与德摩根

第一位试图把逻辑和数学这两门学科结合成一门“普适数学”的人，就是杰出的德国数学家戈特弗里德· 威廉· 莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716），他同时也是著名的理性主义哲学家。

传统观念认为，逻辑处理的是概念与命题之间的关系问题，以及从这些关系中提炼出正确推论的过程。举一个简单的例子，有这样一个推论：每个 X 都是 Y，一些 Z 是 X，因此一些 Z 是 Y。此时，只要前提是正确的，这一推理就自动地成立，并确保结论真实。例如，“每个传记作者都是作家，有些政治家是传记作者，因此，有些政治家是作家”，这一推理过程得出的结论就是正确的。然而，“每个 X 都是 Y，一些 Z 是 Y，因此有些 Z 是 X ”，这一推论却不一定正确，我们可以举出一些反例。这些反例的前提是正确的，但结论却是错误的。比如，“所有人都是哺乳动物，一些有角的动物是哺乳动物，因此，一些有角的动物是人”，这个推论得出的结论就很荒谬。

只要遵循一些规律，论证的正确性就与陈述的主题无关。例如：

这位百万富翁要么是被他的男管家谋杀了，要么是被他的女儿谋杀了；

他的女儿没有杀他；

因此，他的男管家谋杀了他。

上述例子得出了一个正确的推论。这一论证合理与否与我们对男管家的态度无关，也与百万富翁和他女儿的关系无关。在这里，这个推论的正确性是由命题的一般形式“如果不是 p 就是 q，既然不是 q，那么一定是 p”的逻辑正确性来保证的。

你也许注意到了，在前面两个例子中，X、Y 和 Z 所扮演的角色与数学公式中的变量非常相似，它们标明了插入语句的位置，而在代数式中，变量的值就是以同样的方式插入其中的。同样，推论的一般形式“如果不是 p 就是 q，既然不是 q，那么一定是 p”的真实性使人联想起欧几里得几何学中不证自明的公理。尽管如此，关于逻辑的思考持续了近两千年之后，数学家们才开始认真关注这种推理。

第一位试图把逻辑和数学这两门学科结合成一门“普适数学”的人，就是杰出的德国数学家戈特弗里德· 威廉· 莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716），他同时也是著名的理性主义哲学家。莱布尼茨最初学习的是法律，他利用自己的业余时间研究数学、物理和哲学。他一生中最为人们所称道的功绩是，他几乎与牛顿同时独立、系统地阐述了微积分的基础理论。随后，究竟是谁第一个发现了微积分，还引发了一系列激烈的争吵。在一篇据说是莱布尼茨在 16 岁时就已经开始构思的文章里，他设想了一种通用的推理语言，即万能算学（characteristica universalis）。

莱布尼茨将之视为一种终极的思考工具，他想用符号代表简单的概念和观点，再用这些基本符号的组合代表更复杂的思想。莱布尼茨希望仅通过代数运算，就能在任何学科中都计算出任何陈述的真实性。他预言，利用适当的逻辑演算，哲学中的争论将可以通过计算解决。遗憾的是，莱布尼茨在他所开创的逻辑代数这条路上并没有走出很远。除了“思考符号”这条原则外，莱布尼茨还有两个主要贡献，一个是明确提出什么时候应当把两件事平等对待；另一个是指出同一种陈述不可能既是正确的，又是错误的——在某种程度上，这似乎是显而易见的。莱布尼茨的这些思想尽管充满智慧，但它们几乎完全被忽视了。

在 19 世纪中叶，对逻辑的研究又重新活跃了起来，似乎在一夜之间涌现出了众多关于逻辑的重要著作。最早的著作来自奥古斯都·德摩根（Augustus De Morgan，1806—1871），随后有乔治·布尔（George Boole，1815—1864）、戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege，1848—1925）和朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano，1858—1932）等人的大作。

在这些人当中，不能不重点提一下德摩根。他是一位成果颇丰的数学家，其著述多得让人难以置信。他一生共发表了数千篇文章，还出版了不少专题著作，主题涵盖了数学、数学史和哲学的诸多方面。在他那些不同寻常的作品中，讲述了近一千年来满月的历书，还有各种各样稀奇古怪的数学问题。

曾经有个人询问他的年龄，德摩根回答说：“到 x² 年，我就 x 岁。”你可以仔细考虑在1806 和 1871（德摩根出生和去世的年份）之间的所有数，并找出他说的那个平方数，结论将会是 43。德摩根最富创意的贡献可能还是他在逻辑学领域中的研究。他极大地拓展了亚里士多德三段论的范畴，同时详细分析了用代数方式进行推理的过程。本质上讲，德摩根是一位代数学家，这使他更侧重于以代数方法研究逻辑，但尤为可贵的是，他又能用逻辑学家的眼光来分析代数。在他的一篇文章中，德摩根描写了从不同视角分析问题时带来的全新认识：“我们必须为代数寻找最习惯的逻辑用法……代数学家一直生活在三段论构成的更高层的环境之中，生活在各种关系永不停息的组合之中，而以前，人们并不承认存在这种环境。”

德摩根在逻辑学上最重要的成就之一是“谓词的量化 ”。其实，这个名字有点夸张了，它指的是古典时期逻辑学家的一个令人吃惊的疏忽。亚里士多德学派已经正确认识到了，从诸如“一些 Z 是 X ”和“一些 Z 是 Y ”这类前提出发，X 和 Y 的关系并不是绝对的。举例来说，就“一些人吃面包”和“一些人吃苹果”这两个前提来说，关于“吃面包”和“吃苹果”这两类人之间的关系，得不出任何必然的结论。

然而直到19 世纪，逻辑学家还认为，不论这些 X 和 Y 之间必然遵从怎样的关系，中项（如上所述的 Z ）一定在一个前提中是“普适”的，也就是说，这一段一定包括“所有 Z ”。德摩根则证明了，这种观点是错误的。在他 1847 年出版的《形式逻辑》一书中，德摩根指出，诸如“大多数 Z 是 X ”和“大多数 Z 是 Y ”这类前提，必然遵循“一些 X 是 Y ”。例如，从“大多数人吃面包”和“大多数人吃苹果”这两个前提中，必然得出“一些人既吃面包又吃苹果”。

实际上，德摩根走得更远，他甚至用精确的量化形式来表达他提出 Z 的三段论。想象一下，Z 的总数是 z，同样也是 X 的 Z 的数量是 x，同样也是 Y 的 Z 的数量是 y。在上面的例子中，如果总人数是 100（z ＝ 100），其中有 57 人吃面包（x ＝ 57），且有 69 人吃苹果（y ＝ 69）。这时，德摩根注意到，一定至少有（x ＋ y - z）的 X 同样也是 Y，也就是说，至少有 26 人（57 + 69 - 100 ＝ 26）既吃苹果也吃面包。

不幸的是，这种量化谓词的巧妙方法却使德摩根陷入了一连串令人不快的争议。苏格兰哲学家威廉·哈密顿（William Hamilton，1788—1856）——请不要与爱尔兰数学家威廉·罗恩·哈密顿（William Rowan Hamilton）混为一谈——就公开指责德摩根剽窃了他的成果，因为哈密顿在德摩根发表文章的几年前，就已经出版了相关问题的专题著作，其中的某些思想与德摩根的非常相似，只不过没有德摩根那么精确。哈密顿对待数学和数学家的态度一贯如此，因此他的指责不足为奇。哈密顿曾经说过：“过度地研究数学绝对会使哲学和人生所必需的思维活力丧失。”哈密顿对德摩根的指责可谓言辞刻薄，如果说这些指责有什么正面效果的话，那就是，他在不知不觉间促使了代数学家乔治·布尔转而研究逻辑。布尔在后来的《逻辑的数学分析》一书中详细描述了这一转折过程：

“在那年春天，我逐渐开始关注哈密顿爵士与德摩根教授之间的争论。这激发了我的兴趣，并开始重拾一些几乎已被忘掉的线索来解答以前的疑问。对我而言，尽管逻辑与量化思想有关，但它还有一种更深的关系系统。如果通过数这种媒介把逻辑本身与人类对时间和空间的直觉联系起来，这样从外审视逻辑是合理的，那么，认为逻辑是建立在另一种秩序的事实基础之上，而这些事实在思维的构建过程中有其固有的位置，这样从内审视逻辑也是合理的。”

这段文字十分谦逊，却描述了对后世产生巨大影响的符号逻辑思想。

上文转自图灵新知，节选自《最后的数学问题》，作者马里奥•利维奥，【遇见数学】已获转发许可。

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作者：[美] 马里奥•利维奥译者：黄征

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