小乐数学科普：数学的罗塞塔石碑——译自Quanta Magazine量子杂志|黎曼|韦伊|数论

小乐数学科普：数学的罗塞塔石碑——译自Quanta Magazine量子杂志

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1940年，安德烈·韦伊 (André Weil，1906 - 1998) 给他的妹妹西蒙 (Simone Weil，1909 - 1943) 写了一封信，概述了他在三个不同数学领域之间进行转换的愿景。八十年后，它仍然推动着该领域许多最激动人心的发展。

图源：Kristina Armitage/Quanta Magazine

作者：Kevin Hartnett 量子杂志特约作家 2024-5-6

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号） 2024-5-7

1940年，安德烈·韦伊 (André Weil) 在法国鲁昂的一间监狱里写下了 20 世纪数学界最有影响力的信件之一。他因拒绝加入法国军队而服刑，他的部分时间是通过给他的妹妹西蒙写信来度过的，西蒙是一位住在伦敦的多才多艺的哲学家。

在之前的一封信中，西蒙要求安德烈告诉她他的工作。由于战争无处不在，安德烈开始谨慎地回答，警告他的妹妹，过了某一点“你将不会明白接下来发生的事情。”在接下来的 14 页中，他概述了数学“罗塞塔石碑”的想法。效仿著名的同名雕刻——一种三语文字，通过翻译成古希腊语，使西方读者能够清晰地阅读古埃及文字——韦伊的罗塞塔石碑将数学的三个领域联系起来：数论、几何，以及位于中间的、有限域的研究。

其他数学家也提出了这个方向的想法，但韦伊是第一个阐明精确愿景的人。他的信预示了朗兰兹纲领，这是当代数学研究的一项重大举措。

斯坦福大学的布莱恩·康拉德 (Brian Conrad) 表示：“三个世界并不直接相互交流，但它们有某些共同特征，经验表明，一方面的一些问题可以在另一方面得到适当的解释。”

韦伊的罗塞塔石碑的第一面是数论，它是数千年来数学探究的魅力核心。数论的核心关注点是整数，即正整数和负整数，以及基于它们的函数。数论学家试图使用从各种深奥数学分支中提取的工具来证明诸如素数如何分布之类的结果。他们还研究称为数域（number field）的数学世界，数域推广了整数的一些重要性质。

安德烈·韦伊 (André Weil) 和他的妹妹西蒙 (Simone Weil) 合影时，他16岁，妹妹西蒙13岁。两人长大后都成为有影响力的知识分子。

图源：ARCHIVIO GBB/Alamy

韦伊的罗塞塔石碑的另一面是几何学。他特别关注球体、甜甜圈和多孔椒盐卷饼等形状。这些形状是具有两个变量的某些方程的解集，例如 y² = x³ − x。这些解可以被视为“复数”，它们既有“实数”部分（人们在日常生活中使用的数字类型），也有“虚数”部分，即实数乘以-1的平方根（写成i）。

因为这些形状是多项式方程解的几何具体表现，所以它们具有可以使用复分析（微积分的一种形式）技术来探索的结构。这种结构允许使用更丰富的超越了数论学家随即可用的定理证明工具。

这对19世纪的数学家来说是很清晰的，这促使他们想象，如果能证明“黎曼曲面”（韦伊感兴趣的形状）的定理，并将其转化为数论中的定理，那该多好。但很多事情都是美好但不正确的，韦伊向他的妹妹承认，黎曼曲面理论“与数论相去甚远。如果两者之间没有一座桥梁，人们就会完全受阻。”

然后他在信中提到了的要点：他正在建造这样一座桥梁。他写道：“就像上帝打败魔鬼一样：这座桥是存在的。”

韦伊提出的桥梁是对有限域的研究——类似于实数的小数系统，具有加法和乘法等两种平稳运行的运算。他们通过采用时钟上的圆的形式来实现这一点，其中小时数为素数。假设你有一只上面只有11个小时的时钟；从10点开始，加上两个小时，就是1点种。（时钟上的小时数必须是素数，才能进行指定的除法。）

有限域是数论和几何开始融合的地方。

罗伯特·朗兰兹（在一张未注明日期的照片中）给韦伊写了一封信，为一代数学研究奠定了方向。

图源：IAS高等研究院档案馆

要了解如何实现，请看一个有限域，它只包含两个元素：0和1。你可以在该域中写出多项式（对固定指数的加法和乘法进行组合的函数）。它们的系数（变量前面的数字）必须为0或1，如这两个多项式所示：

示例 A：0x³ + 1x² + 0x + 1

示例 B：1x³ + 1x² + 1x + 0

这些多项式可以只用它们的系数来表示，这些系数形成一串0和1。整数也可以编码为由0和1组成的字符串，即所谓的二进制形式，即表示为2的幂和。数字1等于2⁰ ，2 等于 2¹ ， 3 是 2¹ + 2⁰ ，依此类推。因此，在二进制中，前三个整数是 00、01 和 10。

在具有两个元素的有限域上，多项式的系数和整个多项式都被编码为由0和1组成的字符串。因此，示例 A 中的多项式对应于数字 5，因为其系数 0101 是以二进制形式表示的数字 5，而示例 B 中的多项式对应于数字 14，因为 1110 是用二进制形式表示的数字 14。

它们还有其他相似之处。有些整数是素数，这意味着它们的唯一因数是 1 和它们本身，而另一些整数是合数，这意味着它们是多个素数的乘积。素数和合数之间的这种区别也适用于多项式。某些多项式可以分解为本身无法分解的较小多项式的乘积。这些较小的多项式，称为不可约多项式（irreducible polynomial，也称为既约多项式），是多项式世界的“素数”。碰巧的是，不可约多项式的系数形成了编码素数的二进制字符串。多项式与几何思想密切相关，但在具有两个元素的有限域上，它们的算术变得与整数的算术大致相似——从而开启了在这种情况下，视觉直觉可以应用于数论中的问题的可能性。

韦伊在写给他妹妹的信中宣称，“与数域的类比是如此严格和明显，以至于算术中的证明和结论都不能几乎逐字翻译到函数[或有限]域。”不过，他承认黎曼曲面和有限域之间的距离更大。多项式可以在有限域上表达以及因式分解，但将复分析的一整套机制导入有限域则是另一回事。然而韦伊自信地断言，“这种距离并没有大到使得耐心的研究教不会我们从一个领域转到另一个领域的艺术。”然后他描述了自己的宏伟抱负：

我的工作包括破译三语言文本（参见：罗塞塔石碑）；对于三列中的每一列，我只有不同的片段；我对这三种语言都有一些想法：但我也知道，不同列之间的含义存在很大差异，对此我没有提前做好准备。（上述括号蓝色文字是这段话的译者Martin Krieger从法语翻译成英语时所加。）

那是在1940年。在接下来的十年里，韦伊开发了精确的方法来破译他的大片罗塞塔石碑。他还对数论与几何之间的关系提出了一系列猜想。其中最大胆的是黎曼假设的有限域版本，这是数学中最重要的开放问题之一，其中涉及素数如何分布。（他证明了这个版本的一维情况。）

加州大学伯克利分校的爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）说：“当你将直觉转化为有形的东西时，它就变得有价值了。”

在 20 世纪 50 年代末和 1960 年代初，亚历山大·格洛滕迪克 (Alexander Grothendieck) 在追求韦伊猜想的过程中为代数几何领域做出了基础性贡献。1973年，皮埃尔·德利涅 (Pierre Deligne) 使用格洛腾迪克 (Grothendieck) 的技术证明了韦伊 (Weil) 在更高维度上的有限域版本的黎曼假设。

皮埃尔·德利涅 (Pierre Deligne，1944 -) 于1973年证明了韦伊猜想中关于数论和几何之间关系的最重要的猜想。

图源：IAS高等研究院档案馆

韦伊的罗塞塔石碑还指导了朗兰兹纲领的进展，这是一个统一不同数学领域的宏伟计划。该项目始于1967年，当时其创始人罗伯特·朗兰兹 (Robert Langlands，1936 -) 在给韦伊的一封信中描述了他的想法，表达了将数论本身的不同研究分支联系起来的愿望。后来，在1980年代初，亚历山大·贝林森 (Alexander Beilinson，1957 -) 和弗拉基米尔·德林菲尔德 (Vladimir Drinfeld，1954 -) 定义了朗兰兹纲领的几何版本，扩展了朗兰兹纲领的愿景，涵盖了数论和几何之间的联系。

在过去的几年里，朗兰兹纲领中一些最重要的进展涉及罗伯特·朗兰兹最初的数论愿景和后来的几何版本之间的转换。这些翻译遵循韦伊的罗塞塔石碑中规定的方法。

2021年，Laurent Fargues（洛朗·法格斯）和 Peter Scholze（彼得·舒尔茨）最终完成了 Fargues-Fontaine 曲线的工作，该曲线提供了朗兰兹纲领的几何版本和数论版本之间的第一个直接翻译（转换）。近几个月来，Frenkel（弗伦克尔）、Pavel Etingof（帕维尔·埃廷戈夫）和David Kazhdan（大卫·卡兹丹）加深了这两个版本之间的联系 https://arxiv.org/abs/2311.03743 。他们重新定义了几何朗兰兹纲领，使其更符合朗兰兹最初的设想，从而在两者之间产生了更准确的转换。

对于弗兰克尔来说，韦伊的罗塞塔石碑的影响概括了数学的发展方式。有些新想法是作为已知事物的逻辑产物而出现的。但其他的新想法——通常是最重要的——是完全原创的。

“这些想法似乎是凭空而来；它们不是有形的，也不容易追踪，”弗伦克尔说。但韦伊指出，他的想法不仅仅是一个梦想。“每个人都有一个梦想，”弗兰克尔说。“韦伊不仅在信中阐明了这个梦想，而且还将这个梦想变成了具体的东西。”

参考资料

https://www.quantamagazine.org/a-rosetta-stone-for-mathematics-20240506/

https://arxiv.org/abs/2311.03743