自然数原理讲义（第一节）

自然数原理讲义（第一节）

作者：李铁钢

1引言

在我们这个宇宙里，有两样东西就像房屋的骨架一样重要。一个就是数，另一种就是几何图形。而数字和几何图形，在远古人类智慧的初期阶段，由于宗教和生产的需要，就已经开始使用和研究了。

早在公元前300年左右，古希腊数学家欧几里得就把前人使用的几何经验，总结整理上升到了理论的高度，写了一部书名字叫《几何原本》。

自然数在几千年来，人类虽然不断地研究探讨，但是始终没有一个工具用“初等的研究方法”对自然数的规律进行理论的研究和探讨。

近300年来世界级的大数学家们也对自然数进行了艰难地探索，虽然早就有了一门古老的数学分支叫《数论》，就是研究自然数里面规律的，但是它的研究方法过于高深和复杂了，以至于许多问题一般人都无法学习和研究。对于一些古老的猜想，也没有办法解决。

我在这里给出一个初等的方法，研究自然数里面的规律。这个方法里面有几个重要的理论和公式，可以对自然数进行深入的探讨和研究。

2自然数基本公式

2.1 研究自然数规律的起因

2001年我下岗后，在2002年的上半年我没有去打工，而是开始闭门写科幻小说了。打算靠挣稿费来养活自己。当然结果是费了不少的稿纸，花了不少的邮费（那时我没有电脑，上网也不普及），一篇文章也没有被发表。最后坐吃山空，失业金什么都没有狼狈不堪。

由于写小说的需要看大量的科普书籍。这些科普书籍里面往往提到“数论”里面一些有趣的问题。于是我就开始思考，“如果站在宏观的角度上，看自然数本身有什么规律？找到了这个规律这些所谓的数论问题不就解决了吗？”于是我就不分昼夜的冥思苦想这个问题，那时就是整天关在家里都不出门。

有一天晚上在卫生间里解手，看着墙上的瓷砖发呆。忽然眼前的空间中似乎有一个亮点出现，像是来自高维时空一样，它在我眼前越变越大。我忽然有了灵感：“全部自然数可以用1、2、3三个自然数来表示。”

（图1）

这就是研究《自然数原理》的起因。

2.2 自然数基本公式

全部自然数只需要用1、2、3三个数，用三个等差数列组成一组的公式来表示即可。如下。

（图2）

这个公式我们把它命名为自然数基本公式。

2.3 一个推论

用这个公式我们可以建立一个表格，如下。

（图3）

分析这个表格，我们可以看到一个在自然数里的规律，

推论，自然数依据数的性质和我们研究使用的需要，可以用不同数量的等差数列组成一组公式。

2.4 等差数列组概念在自然数里的推广

我们可以把每一组等差数列，都可以代表全部自然数。比如，6N+A的那一组，只有明确了等差数列是在哪一组里，研究它规律才是准确的。在这一组里6N±1这两个数列，包含了自然数里全部素数和由这些素数形成的合数。但是离开了“用数列组6N+A表示全部自然数”这个前提条件，这个结论就毫无意义。

每一组等差数列都有自己的特点和特性，可以分别进行研究，依据不同场合需要，我们可以分别选择使用。

把这个概念推广，就类似“复数”的形式。每一个当差数列就是平面上的一个点，等差数列前后两个数就是一个“数对”。这个数对我们可以命名叫“等差数”。等差数也可以类似《复变函数》一样进行运算和解析分析，不同的是结果得出的“等差数列”，可以带到它所在的等差数列区里去研究。

这部分内容我们不研究，这是一个未知的新领域。

2.5 举两个等差数列组的例子

2.5.1 五的等差数列组

图5

在这个等差数列组里，素数分别分布在除5N等差数列外的其它四个数列里，所以单纯说6N±1包含了自然数里的全部素数和它们形成的合数是不准确的。

这四个含素数数列，也可以写出合数项方程来。

2.5.2 七的等差数列组

图6

这组数列里面的素数分布也是除了7N数列外，其它6个数列里都有，仔细分析里面也有特殊的规律，这个我就不讲了。比如，素数都是出现在一定的项数N上。

2.6 使用数对的概念

在研究复数时有“数对”的概念，使用“数对”对处理一些数学问题很简便。我们这样定义数对：两个有一定关联的数，我们称之为数对。用（a,b）来表示。数对在平面上就是一个点坐标。

3自然数分类公式

注意，以下的研究都是在6N+A这个数列组代表全体自然数的前提下进行的，A是这个数列组里的初始位置。

由自然数基本公式可知，项数N就有奇、偶性，代入公式得到下面的由六个等差数列组成一组的自然数分类公示（这也可以直接从等差数列组里获得）。

图7

这个公式我们称之为“自然数分类公式”。

由这个公式建立一个数表如下图，

图 8

分析这个数表，我们可以把自然数分成四大类。

1、 数列6（n-1）+1和6（n-1）+5都是奇数，但是他们包含了自然数里的全部素数和由这些素数形成的合数。

2、 数列6（n-1）+2和6（n-1）+4都是偶数。

3、 数列6（n-1）+3里面都是3的倍数。

4、 数列6（n-1）+6是偶数，是2或3的倍数。

这个“自然数分类公式”它对学习自然数和理解自然数的性质有用。最大的好处在于它包括了自然数里面所有的数，每一个自然数都有一个唯一的公式和项数N相对应。

这个公式最大的特点是“包含了全部自然数”。

4仰韶公式

把“自然数分类公式”用一种特殊的形式来表示，对研究自然数里面的规律就很方便了。

它的来源是受西安半坡遗址，一个残破陶片上图形的启发而发现的，主要是对称和谐和美。

如下图。

本图片来自《西安半坡》1982年第一期杂志。

图9

仰韶公式如下，

图10

用这个公式写一个表格如下，

图 11

4.1仰韶公式的基本性质

4.1.1这6个等差数列除1、2、3外包含了全部自然数，它们的周期为6，除前六个数外，每一个数的再次出现，都是其中某一个等差数列的，数的重复出现。

4.1.2数列6N±1里面包含了除2、3外的全部自然数里的素数和这些素数形成的合数。重要的是不论素数和合数，它们都有唯一的项数N相对应，从而形成了函数关系。

4.1.3知道项数N就可以得到数列6N±1上相对应的这个数。反过来讲，判断了一个数属于数列6N±1上的一个数，可以求出项数N，用查表法或“合数项公式”法可以判断出，相对应项数N的这个数是合数还是素数。

4.1.4观察这个表会看到素数出现的原因和形成合数的原因。

比如，在数列6N+1里面，项数N=1时，数列是7。当N=8时，就出现了7的第一个合数49。用公式表示就是，7K+1 K=1、2、3…… 比如 K=1时，N=8从第8项开始第17项，第22项一直下去都是7的倍数的合数。

以此类推有，13K+2、19K+3等等都是出现一个素数后，到了自身倍数的项后，后面都是出现这个素数的合数项。

也就是说项数N是连续的取值，当出现一个素数后，到这个素数出现平方数值而消失的这段距离里，它前面的素数都是周期函数，无法填满每一个项数N，而这些空着的N的位置，必须与由的素数填满。

4.2 偶数与素数的关系。

4.2.1数列6N+2、6N-2和6N都是自然数里的偶数。

数列6N+3是3的倍数的合数。

数列6N±1包含着素数和它们所形成的合数。

注意我们的前提条件，我们是在6N+A数列组代替全部自然数时进行的研究。

4.2.2我们观察这个数表可以看到一个规律。

比如，在偶数数列6N+2里找一个项数N，N=15，相对应的偶数是92。

而，92=7+85=13+79=19+73=25+67=31+61=37+55=43+49

如果我们把这些两两相加的数看成一个数对，那么在偶数数列里，每取一个项数N，在相对应的数列6N+1或6N-1里，总会有一组数对相对应。

偶数列6N±2是数列6N±1首尾相加。

偶数列6N是数列6N±1，两数列上下首尾交差相加。

随着项数N的增大，这个对应的数对组里的数对也在增多。关键问题是，这些数对有这几种情况：素数与素数、素数与合数、合数与素数、合数与合数。

我们知道素数在自然数里是有无穷多的，在数列6N+1和6N-1里素数也是有无穷多的。

5含素数公式

5.1含素数公式

图12

从“仰韶公式”可以直观地看到，这个公式包含了自然数里除2、3以外的全部素数，当然这个里面也包含了由素数形成的合数。

用这个公式做一个表格，如下

图 13

我们详细的分析这个表格，一步一步的做

5.1.1这个表格上面是项数N，它是全体自然数1、2、3……直到无穷。它是连续的不间断的，这一点很重要。

5.1.26N+1是一个特殊型的等差数列，取不同的项数N就会出现一连串的数。比如，7、13、19……它们相差6。

5.1.36N-1 同上。

它们的共同点就是包含了自然数里面除2、3外的全部素数，也有这些素数形成的合数。

5.2合数项方程的产生

5.2.1我们看在数列6N+1里面的合数是如何产生的？

7X7=49、7X13=91、7X19=133、7X25=175……

13X13=169、13X19=247、13X25=325、13X31=403……

19X19=361、19X25=475、19X31=589……

后面的数以此类推，可以用公式表达。

6N+1=（6a+1）(6b+1)

整理化简后就是，N=a(6b+1)+b(公式5.1 )

N是项数，取值范围是1、2、3…… 全体自然数，它是连续的不间断的。

a是第一个数所在的位数，取值范围是1、2、3…… 全体自然数。

（6b+1）的取值范围就是数列里的数7、13、19、25……

b是（6b+1）所在的位数。

举例，a =1 就是 7 ，b=3 就是19。

a(6b+1)+b = 1X19+3 =22 N=226N+1=6X22+1=133

若a=2 b=2a(6b+1)+b=2X13+2 =28 6X28+1=169

这是数列6N+1里面的数，自身相乘产生的合数。

5.2.2还有一类是数列6N-1里面的数相乘后，在数列6N+1里面成生的合数。

（6c-1）(6d-1) =6N+1化简整理后，得

N=c(6d-1)-d(公式5.2)

5.2.3在数列6N+1 的项数 N 减去这两个合数方程的N后，留下的那些项，就是素数项。 设，Sk是数列6N+1相对应的素数项。N是数列6+1的项数，N′和N″

是两个合数公式的项，那么有，

Sk = N-N′-N″ = N- a(6b+1)-b-c(6d-1)+d

=N-a(6b+1)-c(6d-1)-(b-d)(公式5. 3 )

这就是在数列6N+1里面的“素数项”公式，虽然可以精确地描述合数的位置，但是也可以看到素数产生的原因和素数的分布规律。

注意，它是“素数项”公式，不是直接描述的素数。转换成素数需要代入6N+1里面去。

5.2.4下面我们探讨一下在数列6N-1里面合数分布的情况。

就是数列6N-1里面的每一个数，分别与6N+1里面的每一个数相乘的结果。

如，5X7=35、5X13=65、5X19=95……

11X7=77、11X13=143、11X19=209……

用公式表示 就是（6e-1）（6f+1）= 6N-1 或 （6e+1）（6f-1）= 6N-1

这两个公式如果不考虑数字的前后位置，可以用一个公式表示就够用了。但是必须注意与上面的公式1、2不同。后面的数必须与6+1全部数相乘。比如

11X7=77、11X13=143、11X19=209…… 不能11直接与13相乘。用公式表示就是6N-1里面的每一个数（包括合数）必须与6N+1里面的每一个数相乘。

化简整理后得到，

N=e(6f+1)-f(公式5.4 )

N=g(6h-1)+h（公式5.5）

5.2.5同样，数列6N-1的素数项公式，是

Sk =N-N′-N″= N-e(6f+1)-g(6h-1)-(f-h)(公式5.6 )

5.3 合数方程有无解得判定式

5.3.1设Sk是数列6N-1里面的素数项，合数方程和它们有无解的判定式。

分析这4个“合数项方程式”就可以知道，项数N是连续取数，是1、2、3……的自然数，而产生的合数却有周期性。那些不被合数项覆盖的项数N就是素数项。代入数列6N±1里面就可以得到一个素数。

5.3.2这4个“合数项方程式”可以有4个“判定式”，来判别这4个“合数项方程式”有没有解。有解相对应的数就是一个合数，无解相对应的数就是一个素数。判定式如下

在数列6N+1里面

（N-b）/ (6b+1) =K (公式5.7)

（N+d）/ (6d-1) =K （公式5.8）

在数列6N-1里面

（N+f）/ (6f+1) =K (公式5.9)

（N-h）/ (6h-1) =K （公式5.10）

K必须是正整数，方程才有解。

从这4个判定式中我们可以看到，取一个项数N后，这个N所对应的数，如果是前面“根素数”的合数，那么方程就有解。否则就无解，就是一个新出现的素数。

那些使判定式成立的N，都是6N±1里面的“根素数”形成的合数。而使判定式不成立的N所对应的数，就是一个新的素数。

根素数是指5、7、11、17…….。

5.4 使用合数数列在数列6N±1中筛选出合数

在数列6N±1中，由素数5、7、11、13、17、19……形成的合数。找见每一个素数的合数，第一次出现在数列里的初始位置很重要。这样在数列里就会有以这个素数的值，形成的合数的周期N，形成一个合数数列。

这个问题也可以这样思考，四个合数方程组都是二次双曲线方程，积分后就是四组线性直线方程簇了，我们可以使用三个就够用了。

5.4.1素数在数列6N-1里面，而合数在数列6N+1,有

5K-1

11K-2

17K-3

SK-A

S为数列6N-1上的一个素数， K为自然数，取1、2、3……

A是这个素数的初始位置。

5.4.2素数在数列6N-1里面，而合数在数列6N-1,有

5K+1

11K+2

17K+3

SK+A

S为数列6N-1上的一个素数， K为自然数，取1、2、3……

A是这个素数的初始位置。

5.4.3素数在数列6N+1里面，而合数在数列6N+1,有

7K+1

13K+2

19K+3

SK+A

S为数列6N+1上的一个素数， K为自然数，取1、2、3……

A是这个素数的初始位置。

未完待续

下一部分讲“仰韶公式”的应用、《自然数原理》的扩展和未来的可能发展方向。

“仰韶公式”的应用包含了证明“勒让德猜想”、“孪生素数对猜想”和“哥德巴赫猜想”等五、六个数论里的古老问题了。

我用讲义的形式，把这二十多年的研究结果放出去，也算完成了我的一件使命。

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2023年9月10日 于保定市