大家好！本文和大家分享一道2009年江苏高考数学真题，见下图。本题考查的是等差数列的通项公式及前n项和，第一问的难度不大，大部分学生都能正确做出来，但是第二问却难住了不少的学霸。接下来我们一起看一下这道题。
先看第一问：求数列的通项公式及前n项和。
不管是求等差数列的通项公式还是前n项和，都只需要求出该数列首项和公差即可。题干中告诉了两个关系式，只要充分利用这两个关系式就可以求出a1和d。
先观察一下，由于四项之间的关系是二次，如果直接代入a1和d计算量比较大，所以可以先对这个关系式进行处理。
比如将a4移到左边，a3移到右边，然后就可以用平方差公式进行分解，再利用等差数列两项之间的关系就能化简，从而得到-(a2+a4)=a5+a3。然后根据等差数列的性质，可以得到-2a3=2a4，即a3+a4=0。
又S7=7，所以7a4=7，即a4=1，所以a3=-1，则d=a4-a3=2，a1=a4-3d=-5。接下来求an和Sn就简单了。
还有，对这个二次关系式的处理并不只是上面一种方法，还可以将a5移到左边，将a3移到右边，可以得到-3(a2+a5)=a4+a3。又因为a2+a5=a4+a3，所以同样可以得到a3+a4=0。
另外，求出a3+a4=0且S7=7的情况下，也可以直接用a1和d表示出来，构成一个关于a1和d的二元一次方程组，解出这个方程组即可。
当然，如果没有想到对这个二次关系式进行处理，那么直接硬算也是没得问题的，只是计算量大一些。不过，只要计算不出错，难度还是不大的。
再看第二问：求参数的值。
第一问已经求出了数列的通项公式为an=2n-7，代入表达式ama(m+1)/a(m+2)，得到(2m-7)(2m-5)/(2m-3)。得到的式子比较复杂，那么可以先通过换元法进行化简，如设2m-3=t，则可以化简得到：t+8/t-6，所以只需要t+8/t-6是数列{an}中的项即可。
由于m为正整数，那么t=2m-3就应该是奇数。又因为an=2n-7也是整数，所以8/t也应该是整数，即t为8的因数。在8的因数中，为整数且是奇数的只有±1，所以t的可能取值就是±1。
当t=1时，m=2，t+8/t-6=3，而数列{an}中a5=2×5-7=3，此时满足题意。
当t=-1时，m=1，t+8/t-6=-15，数列{an}中最小的项a1=-5，此时不满足题意。
综上，m=2。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
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