强力拆解法国神父特鲁谢的密铺手稿

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

特鲁谢在1704年的论文表明，通过在不同方向上拼装半彩色拼块，可以产生无穷多种图案。它体现了组合理论和包括颜色对称在内的晶体对称原理的早期表现。

1 介绍

很少有地方比拼块图案的制作和分析更能使艺术家和科学家的方法更加紧密地结合在一起。恩斯特·贡布里希在《秩序感：装饰艺术心理学研究》一书中复制了多明我会修士Douat的一本书中的一些图案，这本书于1722年在巴黎出版，现在非常罕见[2]。Douat的书包含72个雕刻设计，其中一个复制在图1中，以及近190页的表格，列出了四个字母A、B、C和D的所有可能的排列和组合(以不同的顺序排列，以表示水平、对角和垂直并列的单元拼块的方向，最后是4 X 4阵列的256种排列可能性)。这本书对18世纪的欧洲装饰艺术产生了一定的影响。

尽管Douat的书为手工艺人提供了一个很好的模式来源，但其背后的知识灵感完全来自于一位多明我会牧师塞巴斯蒂安·特鲁谢（Sebastien Truchet,1657 - 1729)。他是一位对数学和艺术感兴趣的工程师，本文就是为了纪念他。1704年，特鲁谢在《皇家科学回忆录》上发表了一篇文章《组合回忆录》。本文对他的文章和手稿进行拆解。

图1：Douat [2]于1722年绘制的拼块图案。(由巴黎国家图书馆提供)

2.塞巴斯蒂安·特鲁谢神父的“组合论”

我上次奉殿下之命去奥尔良运河时，在奥尔良这边四里外的一个叫莫特圣莱特的城堡里，我发现了几块拼块，用来铺一个小教堂和其他几间公寓的地板。它们是正方形的，被一条对角线分成两个彩色部分。为了能够通过这些拼块的排列形成令人愉快的设计和图案，我首先检查了这些拼块成对连接在一起的方式的数量，它们总是排列成棋盘阵列。

我发现，有64种不同的方式将这些拼块成对排列(在一个矩形边框内)，这样就有64种组合：这似乎令人惊讶，因为两个字母或两个数字通常只组合两次，因为它们只有在一条线上一个接一个地顺序放置时才会改变位置，基础总是保持不变。然而，在两个拼块的排列中，一对拼块中的一个可以占据四个不同的位置[相对于较大的正方形框架的角]，在每个位置中，第二个拼块可以改变16次[在位置和方向上]，给出[总共] 64种组合。这些在表I[图2]中用数字表示和识别。

图2：特鲁谢的表1，显示了他的双色砖和它们在不同方向上的成对组合。

表一的解释

图2中显示了64种组合，这64种组合可以由对角线分成两个彩色部分。

图板从上到下有4列，每列分成五个方块。在每一列的第一个方块中，代表一个单独的大方块，每个方块的放置[和取向]不同，如四个字母ABCD所示，这四个字母ABCD总是标记每个方块的相同边(即A和D是两个彩色边，B和C是两个白色边)，这样，在第一列的所有方块中，较暗的方块总是显示为好像水平放置在A边上。

在第二列中，[深色拼块]位于B面，在第三列中，位于C面，而在第四列中，位于D面。

在构成第一列的四个方格中，字母A在中间，说明了两块拼块的16种组合，其中一块，即较深的一块，始终保持A面水平：这块拼块的颜色较深，以区别于改变方向的那块。

其他三列也遵循同样的顺序：每一列的方块都用同一个字母标记，第二列是B，第三列是C，第四列是D。在每一列中，为了避免混淆，四种组合被分成四个[不同方向的角]。

然后，我们注意到在这64个组合中有相似的图案，我们可以缩减到32个不同的图案，因为每个图案在相同的位置重复两次，这两个图案仅通过较暗的拼块的换位而彼此不同，如表2所示[图3，顶部]，它们都成对显示，并以与第一个表相同的方式编号。

图3：特鲁谢的表2和表3显示了表1中许多结构的等效性。

表2的解释

这张表[图3]是为了显示将第一张表的64个组合[缩减为相关的子组，形成]32个出现相似和相同情况的模式。它首先被分成两大列，每列16行，每行又被细分为四个：第一列列出数字，以识别减少的分组；第二列记录了表一中相似[但颜色被移位]的图案的数字；第三列和第四列显示了相同的一对图案，它们的区别仅仅在于深色瓦片的移位。

第二大列[表的右半部分]与第一列的不同之处在于，标识组的数字放在最后一列。

表3的解释

第三张表[图3]显示，我们可以将第二张表的32个图案进一步缩减为10个图案，这些图案彼此相似，但有四个不同的方向。这一点我们可以在每一行中看到，因为每一行首先包含了识别该组的数字，然后是相似的组合的数字，最后是这些组合的模式，并按照第一张表中给出的方式进行概述。

我们还发现，如果不考虑它们的位置[与边界的关系]和相同的视角，这32种不同的图案可以简化为10种类似的图案，类似的图案只因它们四边的位置不同而不同，这一点在表3[图3底部]可以看到，它们的图示和编号与表1和表2[5]相同。

在研究了两块拼块的组合之后，我们可以在这里探讨用3、4、5块拼块可以做出的组合；但由于这个细节会很长，而且我们还不满意我们在这方面所做的工作，我们将把这一条推迟到另一篇论文中。

我们查阅了关于民用建筑的书籍和那些处理组合的书籍，以寻找是否有人已经做出了相同的研究，但我们没有发现任何接近的东西。

接下来，我们试图通过将这些图案连接在一起形成设计和隔间，总是呈棋盘式排列。我们发现数量太多，无法一一报告，于是只选择了其中的100个进行公平的复制，这样每个人都可以用自己的眼睛来判断我们所说的真实性和这些组合的丰富性，但这些组合的起源却非常简单。在这些设计中，只有30幅是为这次出版而雕刻的，以免使这本书太厚[见图4-10]。每个图案的旁边都有解释，描述了它是如何根据表一构建的，表一可以作为一本字典，用于查找用于形成这些图案的组合。它们都是通过将两块拼块放在一起，按照每块板的顺序排列而成的。

图板1的六种设计的构造

一般说明：为了构建图版I[图4]和下面的图[图5-10]中的所有设计，有必要参考第一张64种组合的表格，其中所有使用的组合都用数字表示，并取那些被标记的组合来组成每一行的设计，把它们从左到右一个接一个地放在普通书写的每一行的字母中。

图4：特鲁谢的图板1，展示了由方块边界内不同方向的拼块组合而成的最简单的图案。平行带C和棋盘d的对称性最高。

第一个图案，标记为A[见图4]，是用组合2[图2]反复构建的，每一行都是重新开始的。

第二个图案，标记为B，是通过用组合2做整个第一行，然后用数字34做第二行来形成的。这两行重复构成了整个设计。

第三个图案，标记为C，将通过交替使用第12种组合的第一行和第10种组合的第二行来形成。

第四个图案，标记为D，由连续重复的第6个组合的第一行和同样重复的第40个组合的第二行交替形成。

第五个图案，标记为E，用交替放置的两个组合24和14构成第一行；第二排与第22和第16也交替；第三行具有与第一行相同的两种组合，但将第14行放在第24行之前；最后是第24个，与第二行相似，但顺序相反，将第16行放在第22行之前。

第六个图案，标记为F，通过在第一行交替放置连续重复的第24个组合，在第二行放置类似重复的第16个组合而制成的。

图板2的六种设计的构造

.图5：特鲁谢的图版2

第一个图案，标记为G[图5]，在第一行中连续重复第42个组合，第二行中同样重复第10个组合。第三行和第二行一样；第四和第五行和第一行一样。

第二个图案，标记为H，在第一行连续重复28、26和50三个组合；然后在第二行重复26、50和28；最后在第三行重复50、28和26。

图6-10中其余每个图案的组成都同理，不再赘述。我们直接跳到最后一页，这是最复杂的。

图6：特鲁谢的图版3

图7：特鲁谢的图版4

图8：特鲁谢的图版5

图9：特鲁谢的图版6。注意方向和颜色对称性在梅花状排列交替中的结合。

图版7的两个设计的构造

第二幅设计中的第一行，标记为6[图10]，由16和8各一次，然后22两次，接着是40和16各一次；第二行由34、6、50、2、38和18各一次；第三行由12、8、26、10、40和28连续组成，各一次；第四行由28、6、10、26、38和12各一次；第五行由50、8、34、18、40和2连续组成；第六行由24和32各一次，接着14连续两次，28和24各一次。第七行由22和40各一次，然后16连续两次，8和22各一次；第八行由2、38、18、34、6和50各一次；第九行由10、40、28、12、8和26连续组成；第十行由26、38、12、28、6和10也连续组成；第十一行由18、40、2、50、8和34各一次连续组成；最后，第十二行由14和38各一次，24连续两次，6和14各一次。

图10：特鲁谢的图版7

3.讨论

关于密铺图案

特鲁谢的论文具有相当重要的意义，因为它实质上是对组合学的图形化处理，在帕斯卡、费马和莱布尼茨的影响下，这个学科在当时处于数学的前沿。特鲁谢说，他是在奥尔良附近的一座城堡里看到用于铺设公寓的瓷砖时得到这个想法的。他机智地看到，除了方向性，工匠可以用一个简单的单元制作出几乎无限的图案，他的原则可以被看作是几乎任何图案或结构的基础，特鲁谢对闭合的层次结构特别着迷，他展示的简单模式利用了亚结构的方向和位置自由，这些自由更多地与颜色对称、超晶格和非周期晶格的拓扑结构有关，而不是与19世纪晶体学家[6]的传统对称有关。

特鲁谢的图案从表面上看与伊斯兰建筑中非常突出的马赛克拼块的构造相似，其构造和理念是基于不同半径的圆的交集，Keith Critchlow[7]对其进行了很好的处理，但其原理更为根本。在几何学和直线之下，可以看到特鲁谢利用了不同尺度的颗粒之间的方向性相互作用的特质，利用了正负之间的反转，利用了密度和稀有性之间的平衡，利用了场和地的相互排斥性。他的方法与其说是几何学，不如说是拓扑学，图案的质的方面优先于度量的方面。他的原则为万物中的分离和联系的层次提供了一种隐喻。

伊斯兰图案通常利用不同形状的直边拼块的组合（图11）[8]，而凯尔特人的设计，如《林迪斯芳福音书》和《凯尔斯书》中的设计（图12）[9]，本质上是连续的封闭丝带的交织，据说象征着永恒。而特鲁谢使用的是单一的多边形形状——直角等腰三角形，有的有颜色，有的没有颜色的内部区分，仅通过方向就能获得多样性。所有拼块都能产生大量的图案，人的眼睛在其中发现局部的相似性和区域的差异而感到高兴，因为它们的感知既锻炼了对图案的感官享受，也锻炼了分析的智力需求。

图11：一种伊斯兰马赛克拼块图案，来自Bourgoin [8]。根据等式2，二价和四价顶点与具有4、6、7、8、10或24条边的多边形相关联。

图12：Bain重新绘制的《凯尔斯书》中的图案[9]。除了动物形象外，整个设计(原来只有1.2英寸宽)是由三条相互交织的连续线条组成的。

特鲁谢提供了一个框架，在该框架中，仅通过改变分辨率和失真的尺度而不改变拓扑特征，就可以生成其他类型的图像。任何拼块都可以用来说明重要的数学原理，但特鲁谢的图案使用最小的多边形作为单一的结构单位，该多边形可以由以不同方向排列的直线组成，在其价度不超过8的顶点处连接。但是，有一种颜色的颜色子结构，它不影响总颜色数组。尽管它们能够产生棋盘一致性，但这些拼块暗示着偏离了通常强调的几何或通过三角函数和倒数进行分析，并邀请采用更简单的拓扑方法，这种方法独立于比例和理想化的规则和罗盘对称。它既不涉及无穷小，也不涉及负数或无理数——这在许多计算中非常重要--只需要记录区域内和定义子结构区域关联的边界上的连接的奇偶整数的简单和的平衡。

所有密铺都结合了进度线和循环闭合的各个方面，但它们在相对强调内部或边界平衡方面有所不同：图案更多地取决于方向的整个层次，而不是任何可定义的多边形与其直接邻居的适配度。眼睛享受对边界的交替感知，这些边界包围或排除，或者本身就是内部结构被记住的区域，不需要进一步分析。

特鲁谢和Douat的插图具有高度的对称性。也许更有趣的是图13和图14中的那种不对称性，虽然不那么赏心悦目。前者是一个阵列，其中拼块的方向和颜色都是随机的；在后者中，在这个背景中引入了螺旋秩序。(这让人联想到雷纹，这也许是有史以来最令人愉悦的平面填充纹理，用于中国的礼器青铜器，尤其是商代晚期的青铜器）。图15是一个包含类似于固态物理学中晶格缺陷的配置的阵列。人们将注意到四价和八价顶点之间的五轴平衡，以及代表位错的五价顶点的位置自由。

图13. (a)一个随机定向的特鲁谢拼块阵列。(b)同上，省略颜色以显示拼块连接处的价位。

图14：在图13的随机场中，由拼块的成对方向产生的螺旋形图案。

图15：特鲁谢拼块的排列产生了类似于固态物理学中的晶格位错、空位和间隙的结构性"缺陷"。注意五价顶点的位置自由以及四价和八价顶点的梅花桩排列关系。

在图16中，一些简单的、局部互锁的配置被显示在背景中，其中拼块没有预先确定的方向，两半显示为同样的灰色。请注意，在四块拼块的组内，有直的、弯的或钩的终端配置，以及对角线的吻、漏吻和剪切吻。黑白之间的共同边界总是可以作为一条直线在单一方向上无限延伸，甚至跨越横向的中断，就像中国《易经》中的平行线形成的八卦图一样。物理学家可能会注意到两个方角之间的对角线连接与费曼图的相似性。图16右下角的图显示了凸和凹之间关系的最简单基础。两个边界长度为6和4的单元结合起来，得到一个边界为6的单元。(想一想拉丁文的说法：图中显示了字母X和Y的形状以及染色体的联合和分裂之间的关系，这纯粹是巧合吗？）

图16：局部互锁特鲁谢拼块的各种图案嵌入一个区域，其中的拼块没有预先确定的方向，两半显示同样的灰色。

正如特鲁谢的对称构图的任何部分都可以被切除并插入另一个方向或位置一样，任何随机或特殊的阵列也可以被嵌入到一个有序或随机的环境中。此外，黑白区域可以在不改变局部顶点价值或边界对比和平均密度的性质的情况下被倒置拍照。此外，只要顶点既不分离也不结合，任何局部的扩张、收缩、弯曲或其他扭曲都不会改变拓扑关系和对比度。密度和方向都是相对的，只有在交界点才能进行比较。

四、结论

特鲁谢的图表乍一看非常对称，说明了不对称的根本基础。将三个层次的结构分开，它们依赖于拓扑而不是几何体。它们具有一种内在的生存性，与环境有着一种近乎超然的关系。在精神上，它们更接近笛卡尔的粒子哲学，而不是取代它的原子论，但它们完美地证明了这两种方法的必要性，如果我们要理解自然界模拟边界等级的产生，而不需要内部结构的同一性。

必须记住，在将数字与模式以及物质本身的结构联系起来方面，最重要的因素是拓扑学。只要在任何图表中代表连接和分离的线条保持它们的特性（即使在最高分辨率下界面可能是模糊的），整体就可以以任何方式变形而不影响可检测到的连接点的数量和价值。因此，图20（a）和（b）在拓扑学上是相同的，尽管前者是一个完全由等腰直角三角形组成的几何图，而后者是由曲率和长度可变的线条组成的不规则的混乱图。

图20：两幅图都是由53条线在6个三价顶点和22个四价顶点处相遇，形成24个有3条边的多边形和一个有15条边的多边形，都在一个有16个顶点的边界内。无论变形如何，这两张图都必须符合方程2。

图21显示了由特鲁谢拼块形成大圆的许多模式之一。它说明了三角学在亚结构拓扑学中的起源，并暗示了一些关于物质的弹性和可塑性。基本的特鲁谢三角形可以被组合和浓缩到空间的构造收缩的节点中，以得到任何复杂程度的三维网。

图21：在只有两个方向的特鲁谢拼块组成的边框内，从正方形到圆形的过渡。其他许多宏观上的圆形组合都是可能的，但都有四倍旋转对称的成对特鲁谢拼块在方形和斜方形并列或在四价顶点简单对立。

请注意，"线 "和 "单元 "只是标志着将模糊性浓缩为一个或三个维度的特征，这种隔离必须涉及方向性的冲突和平衡。我们所说的维度就是方向性，除了作为密度各向异性的结果之外，是无法检测的。数学家的线条和顶点对应于各向异性的分辨率的极限；尽管它们忽略了物质的次级结构。它们在概念上取决于电子场之间方向性差异的调和，因为它们在不同尺度上建立了局部平衡，细胞的亚结构冲突被解决为细胞的宏观结构。

对特鲁谢模式的详细分析触及了数学形式主义和物质世界结构之间关系的最基本问题。密度不同的区域之间的分离要求没有什么比什么更重要，并且两者的大细胞和小细胞必须共存。在界面上方向区别的单一选择的集合是所有存在和成为的根源。量子理论的成功表明，存在一个结构相互作用的尺度，在这个尺度之下，时间的单一脉动使得方向比较不可能，或者至少没有外部意义。在时间和空间的中间尺度，复杂的结构在历史上形成，并因其组成部分的短暂性而稳定。

人类对拼块形成的图案的反应和对音乐声音的反应之间有一个有趣的区别。虽然两者都是在探索密度和方向之间的关系时产生的，并且对两者的欣赏都涉及经验和记忆结构之间重复的莫尔式比较，但人类记忆的作用是完全不同的。在观看视觉艺术时，记忆可以通过反复的、更详细的检查来刷新和提高；时间在某种程度上是可以逆转的。在听音乐时，时间是单向的，对细节的追溯比较只能作为整个体验的感觉来实现。音乐作曲家将听众的注意力引导到一个确定的序列中的各个部分，并决定允许欣赏每个闭合边界的时间，而视觉艺术家将注意力吸引到结构的许多尺度上，但并不指示它们的关系被欣赏的顺序。短期和长期记忆能力在不同的艺术中有很大的不同。

参考文献

1 Ernst Gombrich. The Sense of Order: A Study of rhe Psychology of Decorative Art (Ithaca, NY: Cornell University Press, 1979).

2 Douat, Methode pour faire une infinite de desseins differents aver des carreaux mipartis de deux couleurs par une ligne diagonale: ou observarions du Pere Dominique Douat Religieux Carme de la Province de Toulouse sur un memoire inserk dans I'Histoire de I'Acadkmie Royale des Sciences de Paris I'annhe 1704, presentk par Ie Reverend Pere SEBASTIEN TRUCHET religieux du mime ordre. Acadkmicien honoraire (Paris, 1722). Copies can be found in the Bibliotheque Nationale (Paris)and in the Smithsonian Institution Library (Washington, D.C.). The latter copy has a second engraved title page spelling the author's name Doiiat and bearing the name of the printer: Jacques Quillau. Imprimeur Jure de I'Universite. Mark Wilson, P.O. Box 23, West Cornwall, CT 067976, U.S.A.. can supply a computer program based on Douat's permutations which dynamically generates spectacular patterns. with and without color, in innumerable combinations.

3. Sebastien Truchet, "Memoir sur les Combinaisons", Memoires de I'Acadkmie Royale des Sciences, 363-372 (1 704).

Plates 12-20are reproduced as Figs 2-10. This translation has been prepared by Pauline Boucher from the copy in the collection of the Burndy Library, Norwalk, Connecticut.

4 A place named La Motte aux Taurins is on modern maps, just south of the village Coulmiers, 17 km west of Orleans.

7 Keith Critchlow, Islamic Patterns: An Analytical and Cosmological Approach (London: Thames and Hudson, 1976).

8 J. Bourgoin, Arabic Geometrical Pattern and Design (New York: Dover, 1983).

9 George Bain, Celtic Art: The Methods of Construction (Glasgow, 1951; reprint, New York: Dover, 1973).

10. Bourgoin [8].

11. The derivation of these relations and some general discussion of symmetry in art and science are given in C.S. Smith, A Search for Structure (Cambridge, MA: MIT Press, 1960), chapters 1 and 14. The possible application of these equations to the map-color problem and to some problems in solid-state physics and thermodynamics is suggested in a paper by C.S. Smith in Nicholas Metropolis, ed., New Directions in Physics (Boston: Academic Press, in press, 1987).

12. Gardner [6].

13 Cyril Stanley Smith, Pauline Boucher, The Tiling Patterns of Sebastien Truchet and the Topology of Structural Hierarchy

青山不改，绿水长流，在下告退。

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