余继光——印象深刻的“数学经典题”拾零

印 象 深 刻 的“数 学 经 典 题”拾 零

余继光 ( 柯桥中学，浙江 绍兴 312030)

1 什么是数学经典题?

1) 什么样的数学题是经典题? 具有教育文化 内涵的、教学长期应用的、教师普遍认同的问题，可 以称之为经典题．在基础数学教育教学中具有上述 特征的数学问题称之为数学经典题．

2) 印象深刻的落脚点在哪里? 学生在数学学 习中、教师在数学教学中接触到大量的数学题，其 中一看就给人心灵以震撼、进入脑海中难以忘怀、 问题表达简洁易记、概念理解有极大帮助的数学问 题，正是印象深刻的落脚点．

3) 数学经典题的本质是什么? 数学经典题的 最本质的内核是问题的数学思想丰富、数学模型规 范、教学意义深刻．长期从事数学基础教育的教师， 在自己的教学生涯中都会遇到这样的数学经典题．

2 数学经典题欣赏

2．1 解三角形中的一个经典 浙江教育出版社《数学精编》曾经有一道题:

经典解读:1) 一个空间二面角的模型蕴含着 丰富的数学基础知识，即融立体几何知识、解三角 形知识、平面几何知识于一体，综合中渗透着数学 思维的巧妙联结．

2) 在解三角形问题中，每一个等号都至少涉 及到一个重要的数学知识点，而且正弦定理、余弦 定理、诱导公式运用联结地如此紧密．

3) 解决此问题后，不论从形的角度还是从数 的角度，都让人印象深刻，回味无穷，每一位接触过 的学习者，无不为此感叹．

4) 从二面角到二面角的平面角，原来点到面 的距离转化为点到线的距离，在一个四边形中两个 垂直关系暗示着点 O， A， P， B 共圆，而所求 OP 的 长恰好是圆的直径，求解中一个重要的思维转化就 是点 O， A， P， B 所共的圆就是△APB 的外接圆．

5) 此问题的教学理念可谓是从宏观到微观、 从综合到分解、从空间到平面、从几何到代数、从代 数到三角……从数学思维角度来看，教会学生不仅 要整体把握问题的要害，而且也要学会从多个角度 审视同一个问题．

2．2 最大视角中的一个经典

经典解读:1) 此空间模型是一个经典．因为通 过它可以将立体几何的位置关系与度量关系问题 融入其中，不仅可以训练学生的空间想象能力，而 且可以引领学生开展数学研究性学习［2］．

2) 在图 7 中，直线与平面的垂直关系、平面与 平面的垂直关系较多，用正向或逆向推理方式训练 或表述这些垂直关系，使学生迅速掌握直线与平面 垂直、平面与平面垂直的判定定理与性质定理非常 有效．

3) 在图6 和图7 中，可以检测学生的空间想象 能力与逻辑推理能力，比如数一数直角三角形的个 数、直线与平面垂直的线面对数、平面与平面垂直 的面面对数; 再如找一找异面直线所成角、直线与 平面所成角、二面角及二面角的平面角，这些立体 几何的基础训练是非常有必要的．

4) 在此模型的训练下，开发与拓展学生的想 象力，这是锻炼学生提出问题、解决问题的好机会． 问题 3 就是学生在课堂上提出的适合课后研究的 佳题，在教学测试中，面对 PB 与平面 PAC 所成角 函数，求其最大值，是大多数学生的思维障碍与痛 点．

5) 此模型是一个空间图形思维平台，任何人 包括教师与学生，都可以施展数学思维想象，提出 或创作新的有数学意义的问题，这无疑是培育学生 数学核心素养的经典模型．

3 数学经典题的教学意义

3．1 以点带面，全面构建知识体系

3．3 以景为趣，宏观把握模型结构

最大视角的问题背景都是十分有趣的生活场 景．用数学的眼光去欣赏、去审视，就能宏观上把握 模型结构，用最简洁的方法加以解决．问题 1 的几 何背景也是经典的，从四点共圆到三角形外接圆的 衔接，看似巧妙，实质上揭示了问题的本质特征．

3．4 以探为究，拓展学生思维层次

高考数学题中经常可以发现一些值得探究的 经典题，比如:

( 2017 年全国高考数学卷Ⅰ理科试题第 16 题) 以上问题引领着学生进行探究式挖掘，不仅可 以巩固数学基础知识，而且可以拓展学生的数学思 维层次，形成数学研究性学习习惯．

3．5 以养为育，还原教育本来面目

数学基础教育不能进入刷题境地，要给学生更 多的数学经典，在慢教育中培育学生的数学思维能 力，在经典的欣赏中培育学生的数学核心素养，让 学生在数学教学之后沉淀数学文化与数学经典，让 学生在数学高考之后，血液中还保留数学经典并传 承!

参 考 文 献

［ 1］ 余继光．“用数学的眼光看世界”的思考［ J].数学教学， 2019( 4) :35-39．

［ 2］ 余继光．一个空间模型中立体几何问题的教 学案例［J].数学教学， 2003( 4) :11-14．

［ 3］ 何晓禹，余继光．一道高考数学题引起的研究 性学习［J].数学教学， 2011( 3) :43-46．

［ 4］ 余继光．一道 2017 年高考数学题引起的研究 性学习［J].数学教学， 2018( 1) :31-33．

【注】 文章发表于《中学教研》( 数学) 2020 年第 2 期。转自：邹生书数学。

1954年出生的余继光是绍兴梅山人，从事教育事业45年，一直为教育研究殚精竭虑。1995年以来在《数学通报 》《数学教学》《数学通讯 》《中国数学教育》等刊物上发表168篇80万字文章，其中在核心期刊上发表35篇，10篇被中国人民大学的G35全文转载。

如今退休之后，他仍甘愿坐冷板凳，埋头从事数学基础教育教学研究，4年退休期间已发表文章50余篇。

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