柯西中值定理证明中值命题的基本思路与典型例题分析

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柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），数学家、物理学家、天文学家. 柯西的数学成就不仅辉煌，而且数量惊人。柯西全集有27卷，其论著有800多篇，在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家。他的光辉名字与许多定理、准则一起铭记在当今许多教材中。

一、柯西中值定理

条件：(1)f(x),g(x)在[a,b]上连续；

(2)在(a,b)内可导；

(3)g’(x)在(a,b)内处处不为零；

结论：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得

【注1】：公式右边分子、分母的ξ为同一个值，结论中的公式不能看成是两个函数应用拉格朗日中值定理相比得到的结果，因为对于两个函数应用拉格朗日中值定理对应的中值位置变量取值不一定相同.

【注2】：当作为分母的函数g(x)=x，则定理即为拉格朗日中值定理.

【注3】：柯西中值定理的结论可以认为是从拉格朗日中值定理的参数方程描述形式延伸得到.即任给两个函数f(t),g(t)，如果令y=f(t), x=g(t)，则构成一个参数方程描述的函数y=y(x)；从而对x=a,x=b，有参数t对应值α,β，满足a=g(α),b=g(β)，从而也有相应的函数值f(α),f(β)，由参数方程求导公式，有

所以也就有

由此更能理解柯西中值定理结论中公式中分子、分母的中值点的一致性.

二、使用柯西中值定理证明的题型分析

(1)如果中值等式中不含ξ的部分可以表示成两个不同函数在两点的函数值的差的比值，即

(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))

右边也正好可以写成这样两个函数在同一个中值点的导数的比值，则对于这类问题可以考虑使用柯西中值定理来推导验证.

(2)问题研究的是两个不同函数在两点函数值差的比值，或者可以转换为这种形式的问题，则可以考虑使用柯西中值定理来探索问题的解法.

【注】：同样，由于柯西中值定理由罗尔定理证明，所以一般能够用柯西中值定理证明的中值等式，都可以考虑罗尔定理来证明.但是如果是用柯西中值定理的结论来推导、验证的某些结论，则无法使用罗尔定理来替换，比如洛必达法则结论的推导.

三、使用柯西中值定理求解问题的思路分析

(1) 问题类型定位：根据题型分析，确定使用柯西中值定理为理论依据解决问题.

(2) 构造辅助函数：通过移项，将包含中值点的项移项到右侧，端点函数值与变量值移项到左侧，对比左右项，尝试性地对左边的函数的分子、分母求导，或对右边的分子、分母函数表达式(将中值点符号换成变量)求原函数(即导数等于讨论函数的函数)，然后变换、对比、分析左右两侧项的关系，寻求可能的函数表达式，包括加减乘除不影响中值结果的函数来构造符合条件的辅助函数.

(3) 验证条件，得出结论：注意在验证构造的辅助函数与条件验证时，在讨论的区间内分母的导数不能为0.

四、典型例题解析

例1 设函数f(x)在[a,b](0<a<b)上连续，在(a,b)内可导. 证明在(a,b)内存在一点ξ，使得

【题型分析】：由题目的已知条件无法得到有意义的解题提示，于是从结论的数学表达式出发. 由于

ln(b/a)=lnb-lna，

所以欲证明的等式等价于

对左边分子、分母的两个函数f(x)，lnx求导，则有f’(x)，1/x，变换右边表达式，有

所以该题可以使用柯西中值定理来验证.

另外，由于要证明的结论只是包含一个中值的一阶导数的等式，所以也可以考虑罗尔定理证明.

【解题分析】：(柯西中值定理)令

F(x)=f(x)，G(x)=lnx，

则两个函数在[a,b](0<a<b)上连续，在(a,b)内可导，并且lnx在(a,b)内导数1/x不等于0，所以由柯西中值定理有

即结论成立.

【解题分析】：(罗尔中值定理)根据罗尔定理验证中值等式命题的思路，将需要验证的等式变形后全部移项到左侧，于是有

于是令

则该函数在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且有

即F(a)=F(b)，所以F(x)满足罗尔定理的三个条件，从而可得，存在ξ∈(a,b)，使得

【注】使用拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明的命题，一般都在要证明的命题数学表达式中包含有函数值、自变量的取值项.同时，在考虑使用这两个定理证明中值等式时构造辅助函数的辅助程度并不会比使用罗尔定理证明时构造的辅助函数的复杂程度低，所以一般对于中值等式的证明我们考虑使用罗尔定理证明.

例2证明至少存在一点ξ∈(1,e)，使得

sin1=coslnξ.

【题型分析】：(1)由于要证明的结论只是包含一个中值的等式，并且为具体的函数，所以可以考虑零值定理来验证.

(2) 对于右边的中值项，如果看成是某个函数导数的取值，则可以考虑罗尔定理证明.

(3) 由于等式中包含有区间(1,e)点对应的函数值，并且如果把右边项看成是某个函数导数的取值，则可以考虑拉格朗日中值定理或柯西中值定理来验证.

【解题分析】：(零值定理) 移项，有

于是令f(x)=sin1-coslnx，则函数在区间[1,e]上连续，并且有

所以由零值定理，可得结论成立.

【解题分析】：(罗尔中值定理)要证明的等式中的项比较简单，不好做更多的变换，所以直接移项，得

要求一个函数的导数的项中包含有coslnx，则根据求导法则可知，直接可以知道，该函数表达式可以由sinlnx求导得到，但是在对sinlnx求导数时，式子多了一项1/x，即

这样，如果对于包含sin1的项求导也多一个1/x的话，则相当于等式两端乘以一个1/x，而(lnx)’=1/x，于是可得

由于在[1,e]的范围内1/x不等于0，不影响中值结果，所以导数等于0的点即为分子等于0的点，于是令

F(x)在区间[1,e]上连续，在(1,e)上可导，并且有

即F(1)=F(e)，满足罗尔定理的条件，从而可以验证结论成立.

【解题分析】：(柯西中值定理)由sin1=coslnξ，把左边看成是函数值的差的比值，右边看成是导数值的比值.由于coslnξ无法分割，并且要得到这个导函数的项，则原函数可以考虑sin(lnx)，这样它的导数值多了一项，即有

如果等式两边除以1/x，则有

而由于1/x=(lnx)’，所以上式等价于

为此尝试性考虑辅助函数

F(x)=sin(lnx)，G(x)=lnx.

计算上面两个端点值的差的比值，有

于是，由柯西中值定理知，存在ξ∈(1,e)，使得

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