2026.5.8菲尔兹奖得主蒂姆·高尔斯爵士实测ChatGPT 5.5 Pro后感慨“数学家冠名定理的时代或将落幕”

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钻研数学问题仍然非常有价值，但那种可以享受自己名字永远与某个定理或定义绑定的快感的时代，很可能即将结束。 ——英国数学家菲尔兹奖得主威廉·蒂莫西·高尔斯（William Timothy Gowers）

2026年5月8日，高尔斯在个人博客分享了一次对 ChatGPT 5.5 Pro 的实测体验。他在几乎不提供专业数学提示与思路引导的前提下，仅用时约一小时，就让模型完成了具备博士研究水准的数学原创成果。

此次测试围绕加性数论中的公开问题展开，模型不仅快速优化了已有研究的上界证明、给出全新构造方法，还在后续多轮对话中，逐步把原有指数阶结果改进为多项式阶结果。相关推导预印本经专业青年数学家核验，被判定论证逻辑基本成立、原创思路巧妙且具备学术价值。

高尔斯指出，AI 完成这类研究并非凭空创造，核心是对已有数学思想、证明技巧的高效重组与延伸，而人类数学史上大量经典成果，本质也源于现有知识与方法的组合创新。这也让数学科研的入门逻辑、研究范式，开始面临全新的改变。

图源：college-de-france.fr

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高尔斯博客文章梗概

我们不得不一次又一次，上调对大语言模型（LLMs）数学科研能力的认知边界。正如业内早已广泛报道的那样，如今的大语言模型，早已不再局限于做习题、解课本例题，而是具备了解决真正研究级公开问题的实力。托马斯・布鲁姆（Thomas Bloom）个人网站上 https://www.erdosproblems.com 收录的大量埃尔德什经典数论与组合公开问题，已有不少被大模型逐一攻破。起初，不少数学家还能以平常心自我宽慰：很多所谓 “AI 解法”，本质只是模型从海量文献中检索出现成答案，或是从已有已知结论里简单推导而来，算不上真正意义上的原创研究。

但随着模型能力持续迭代，这种自我安慰越来越站不住脚。越来越多深耕数论、组合、代数领域的学者达成共识：只要一道数学难题，本身存在某种人类研究者因为视野盲区、关注度不足、思路定势等原因而忽略的简洁论证，大语言模型大概率能够自主捕捉、整理并完整写出严谨证明。

还有一种普遍观点认为，人类数学灵感具备不可复制的独特性，AI 只是在拼接已有知识，没有真正的原创思想。但高尔斯点破了一个本质事实：人类数学史上大量传世的优秀成果，本身也并不是凭空天降灵感，绝大多数都是在整合、重组、融会贯通已有定理、技巧与论证思路的基础上延伸而来。从底层逻辑来讲，人类的原创与 AI 的组合式创新，并没有不可逾越的鸿沟。

一直以来，组合数学领域有一个非常良性的学术传统：很多前沿论文在完成核心研究后，会顺势提出一系列衍生、延伸型公开问题。这类问题数量繁多，作者往往没有充足时间逐一深入研究，整体难度梯度平缓，不存在过高的思维门槛。长久以来，这类公开问题都是刚踏入科研门槛的数学研究生、青年学者最好的练兵场 —— 独立解决一道学界公开问题，既能夯实科研能力，也能获得极大的学术成就感，是新人入门科研最珍贵的资源之一。

但大语言模型的崛起，彻底改写了这一格局。如今仅仅是 “人类尚未解决” 已经不足以成为研究选题，一道问题若难度平缓、思路朴素，很快就能被顶尖大模型独立求解。数学科研的入门门槛被被动抬高：新时代的数学研究，选题标准悄然变成了至少难住大语言模型，才有值得人类投入精力钻研的价值。

大约一周多前，高尔斯特意选取梅尔・内桑森（Mel Nathanson）在《加性数论中问题的多样性、公平性与包容性》https://arxiv.org/abs/2603.15556 一文里提出的系列公开问题，作为测试 ChatGPT 5.5 Pro 科研能力的试验场。内桑森是加性数论领域极具眼光的学者，他关注的问题、提出的猜想，后续往往都会成为学界热门研究方向，其编写的多部教材也因选题精准、时机恰当而影响力深远。

在这批公开问题中，核心围绕整数集合的和集性质展开。设 A 为整数集合，和集（sumset） A+A 定义为所有 a+b 构成的集合{a+b: a,b∈A}；对正整数 h，h重和集（h–fold sumset） hA 由 A 中 h 个元素相加构成{a₁+⋯+aₕ: aᵢ∈A}。内桑森重点研究固定集合基数 |A|=k 时，h重和集基数 |hA|=t 的所有可能取值，并定义集合 R(h,k) 囊括所有可行的基数 t。

当 h=2 时，人们早已清楚，|A+A| 可以取到 2k−1 到组合数 C(k+1,2) =(k+1)k/2之间的每一个整数；但推广到一般 h 的情形，R(h,k) 的完整刻画至今仍是公开难题。另一极具现实意义的衍生问题是：若限定集合基数与和集基数，整数集合 A 所需的最小直径是多少？

内桑森本人证明，对每一个可行的 t，都存在包含于 {0,1,2,…,2ᵏ-1} 的 k 元集合A实现对应和集大小（|A|=k，|A+A|=t），并提出能否改进 2ᵏ-1 这一指数型上界。

ChatGPT 5.5 Pro 仅用时十七分零五秒，就自主给出全新构造方式，将原有的指数上界优化为二次多项式阶，达到理论最优量级。模型最初给出的论证行文松散、口语化偏重，带有大模型典型的表述特征，高尔斯随即要求其按照数学预印本规范，改写为标准 LaTeX 文稿，仅两分二十三秒便完成输出，经人工逐行核验，论证逻辑完整、构造严谨无漏洞。

内桑森原有证明依赖归纳法 https://arxiv.org/pdf/2411.02365 ，内核思路本质是西顿集（Sidon sets）与等差数列的拼接构造，利用 2 的幂构成西顿集来调控和集大小；而 ChatGPT 的核心改进，在于选用更高效率的西顿集构造，直接把直径压缩到二次量级。这种思路本身并非晦涩难懂，但需要对原有归纳框架重新解构、重组视角，人类研究者往往需要反复推演才能想到，而大模型能够快速捕捉优化空间并落地完整证明。

紧接着，高尔斯又提出关联衍生问题：放弃普通和集，转而研究限定两元素互异的限制和集{a+b: a,b∈A,a≠b}，模型同样毫不费力独立完成求解，并按照要求将两项成果整合为一篇连贯研究笔记，避免内容重复冗余。 https://drive.google.com/file/d/11r-ggU__GMmHIrgEHQVULUIR1VxKSwmi/view

随后高尔斯进一步试探一般 h重和集的深层难题。h=2 的结论依托埃尔德什（Erdős）与塞梅雷迪（Szemerédi）的经典成果，有成熟结论作为支撑；一般 h 情形下 R(h,k) 尚无完整刻画，常规研究很难切入。内桑森曾在论文中引用麻省理工学院青年学者艾萨克・拉贾戈帕尔（Isaac Rajagopal）的工作，后者率先证明固定 h 时，R (h,k) 关于 k 呈指数依赖。

高尔斯本以为这一难题超出大模型能力范围，自己也未给出任何解题思路与技巧提示，完全零学术输入，只想测试模型能否在已有研究基础上做优化延伸。结果 ChatGPT 5.5 Pro 用时十六分四十一秒，成功将原有指数上界，改进为对任意 α>1/2，关于 kᵅ的指数阶；耗时四十七分三十九秒完成预印本格式排版。文稿难度较高，高尔斯无法快速通读核验，便转发给内桑森，再由其转给拉贾戈帕尔本人，青年学者初步审阅后，判定论证整体合理、逻辑自洽。

尝到优化成果后，高尔斯进一步让模型尝试冲击终极目标：从指数阶界直接推进到多项式阶界。模型十三分三十三秒给出研判，认为存在可行论证，但有若干关键技术命题需要逐一验证；九分十二秒完成全部命题核验，三十一分四十秒整理成完整预印本文稿。拉贾戈帕尔细读之后，给出极高评价：几乎可以确定结论与证明成立，且模型并非简单复刻已有思路，而是产出了具备原创性的核心研究思想。

更难得的是，拉贾戈帕尔专门撰文评析 ChatGPT 的贡献逻辑：模型不仅复刻了人类构造框架，还独创利用h²-分离集（h²-dissociated set）的思路，把几何级数集合的特性，压缩到多项式量级区间内，在保留原有和集关键性质的同时，大幅压低集合直径阶数。这种精巧构造，属于典型的优质数学原创灵感，人类研究者往往需要苦思一两周才能成型，而大模型在极短时间内完成了构思、推导、验证、成文全流程 https://arxiv.org/pdf/2510.23022 。最终模型证明对充分大的 k，有 N(h,k)≤O (k¹⁰ʰ³)，而平凡下界为 kʰ量级，为后续研究留下明确的改进空间。

这对数学研究意味着什么？

蒂姆·高尔斯在博客中坦言：

我认为 ChatGPT 在不到两小时内得到的结果，水平相当于一篇合格的组合数学博士论文章节。它算不上惊人成果，因为高度依赖艾萨克的想法，但无疑是对那些想法的非平凡推广；对博士生来说，要找到这种推广，需要花相当多时间吃透艾萨克的论文，寻找可能不够优化的地方，熟悉他用到的各种代数技巧，等等。

在我看来，培养初入师门的博士生做研究 —— 这向来很难（除非像我时常遇到的那样幸运，有学生一点就通，几乎不需要培养）—— 现在变得更难了，因为帮初学者入门的一个常用办法是给一个看起来相对温和的问题。如果大语言模型已经能解决 “温和问题”，那么这条路就走不通了。数学研究的入门门槛现在变成：证明大语言模型证不出来的东西，而不只是证明迄今无人证明、至少有人感兴趣的东西。

不过我要从两方面限定这个说法。

第一，显而易见，博士生可以选择使用大语言模型。所以任务可能比证明 AI 证不出的东西更容易：与大语言模型合作，做出它们独自做不出的结果。我最近做了不少这类合作，发现大语言模型能做出有用贡献，但（目前）还没有产生颠覆性思想。

第二，我不知道我的说法在多大程度上适用于数学其他领域。组合数学往往高度聚焦问题：从问题出发，要么逆向推理，要么带着问题正向推进。其他领域可能更强调正向推理：从一组思想出发，看能走向何方。要成功做到这一点，需要区分有趣与无趣观察的能力，我不清楚大语言模型在这方面表现如何。

当然，我说的一切都是针对当前的大语言模型。但它们发展太快，几乎可以肯定，我的评论过几个月就会过时。同样几乎肯定的是，这些发展将深刻颠覆我们从事数学研究的方式，尤其是引导新人入门的方式。下学年开始读博的人最早也要到 2029 年毕业，我猜到那时，数学研究的含义将彻底改变。

我有时会收到一些邮件，发件人对做数学研究感兴趣，但不确定这一志向现在是否还有意义。我对此有一个看法，但随着进一步发展可能会改变。这个看法是：钻研数学问题仍然非常有价值，但那种可以享受自己名字永远与某个定理或定义绑定的快感的时代，很可能即将结束。所以，如果你的数学目标是追求某种不朽，那么你要明白，这或许不会太久 —— 不只对你，对任何人都是。

不妨做一个思想实验：假设一位数学家通过与大语言模型长时间对话解决了一个重大问题，数学家起到了有用的引导作用，但所有技术工作与主要思想都来自 AI。我们会把这算作数学家的重大成就吗？我认为不会。

那么钻研困难数学问题的意义何在？一个答案是，即便答案已知，解决问题依然很有满足感，但我不认为这足以成为花费数年时间从事这项特殊活动的理由。更好的答案是，通过解决难题，你能深入理解解题过程本身，至少在你的专业领域是这样，而这是只看别人解法做不到的。

一个结果是，自己解决过难题的人，借助 AI 解决问题的能力很可能会强得多，就像优秀程序员比普通程序员更擅长直觉式编码，或者扎实掌握基础算术的人更擅长使用计算器（尤其擅长察觉答案不对劲）。数学是高度可迁移的技能，研究级数学也是如此。从事数学研究，你或许得不到上一代人那样的回报，但很可能会为即将到来的世界做好充分准备。

读者评论精选

埃马努埃莱·维奥拉（Emanuele Viola，东北大学计算机教授）

这篇文章非常有意思，等到 2029 年再回头重读一定会很有感触。对于你文中的部分观点，我想到一句知名的意大利名言（但名气还没大到 ChatGPT 都知道出处是谁）：“善于组合之人，方能善于创造。”

直译就是 “组合越精妙，创造越出色”。我个人认为，人类的智能与洞察力并没有什么所谓的 “特殊性”；也正如你所暗示的，数学乃至文学等诸多领域里，绝大部分研究成果其实都很 “平庸”—— 本质上只是把已有想法重新组合，只要按常规思路不厌其烦地逐一尝试各种思路，就能推导出来。

数学论文在写作、学术报告在宣讲时，往往刻意营造一种错觉：作者拥有超凡脱俗、无从溯源的神来之笔式洞见。但在很多甚至大多数情况下，这些思路完全可以用更平实直白的方式讲清楚。我记得你也表达过类似观点：所有想法总有其来源，拉兹伯罗夫（Razborov）的成果除外；哈哈。

大语言模型显然极其擅长这类思路组合。我个人认为，目前没人能说清，脱离人类引导的情况下，大语言模型究竟能自主产出多少人类感兴趣的科研成果或艺术创作，我对各种可能性都持开放态度。

但有一点显而易见：能否熟练驾驭这类工具，已经成为一项核心竞争力。不过从更高层面来看，这和过去使用谷歌检索、数学专业软件并没有本质区别。高效在线检索、熟练使用数学工具，一直都是科研优势。

另外我常常思考，该如何定义 “平庸性”。从某种意义上来说，柯尔莫哥洛夫复杂度似乎与之相关：如果依托现有已知信息，某件事物能用简短描述概括，那它就是平庸的。带时间约束的柯尔莫哥洛夫复杂度是更贴切的概念。其中一个难点是如何界定 “现有已知信息” 的范围，而经过训练的大语言模型，恰好天然承载了这一信息体量。

布鲁斯・史密斯（Bruce Smith）

引导新人入门科研最直接的办法，就是给他们一个看似难度适中的温和问题。可如果大语言模型已经能轻松解决这类基础问题，这条路就走不通了。

我并不认同这个推论。如果学生真心想学，导师稍加引导，他们自然会主动克制，不在这类基础练习中依赖大语言模型。

即便产出的成果不再像从前那样具备原创性、可发表价值，但从学习训练的角度来说，效果和没有大语言模型的时代并无二致。这和过去学生主动克制、不向导师索要同类问题的详细解答，本质是一样的。

不妨做一个思想实验：假设一位数学家通过和大语言模型长期对话攻克了重大难题，全程由数学家负责方向引导，所有技术推导和核心思路都由 AI 完成。我们还会把这项成就归为这位数学家的重大成果吗？我认为不会。

我觉得这取决于引导本身是否也构成了重要学术贡献。这类边界有时很难评判。但如果这个问题长期悬而未决、本身极具研究价值，且大语言模型早已普及可用，那这份引导工作完全可以算作有效贡献。这就好比合作论文中，一位作者负责关键方向把控、另一位负责具体推导，同样拥有学术贡献。

匿名网友1留言：

我在和这类大模型交互的过程中，体验其实相当令人沮丧，即便我只是想让它帮我解决自己最感兴趣的数学难题，或是给出全新的解题思路。 实际使用下来，我要么得在一堆无意义的废话里费力筛选有效信息，要么满怀期待地去尝试它给出的思路，结果却屡屡失望——那些想法要么过于浅显不值深究，要么完全行不通、毫无落地可能。 倘若这就是未来数学科研的常态：无休止地在大语言模型的输出内容里筛选甄别，只为找出一丁点有价值的合理思路，那我实在对这样的未来毫无期待。

匿名网友2留言：

“我对此持非常悲观的看法。照当下的发展态势，独立思考与深度创见的价值似乎正变得越来越低。”

约翰·贝兹（John Baez，数学物理学家）回答匿名网友2：

思考与深度思想的价值，究竟源自何处？我们如今必须认真思考这个问题。倘若这种价值主要源于稀缺性—— 也就是产生某些深刻想法本身难度极高 —— 那么一旦思想的生成可以被人工智能自动化实现，其价值确实会急剧下跌。

但如果这份价值源于思想本身的效用—— 即想法所能带来的益处与价值 —— 那局面就完全不同了：或许源源不断产出更多优质思想，反而是一件好事，而非坏事。此处我说的 “效用” 取广义含义，并不局限于人们常说的应用数学范畴。

换句话说，数学家或许需要适应一场深刻转型：从稀缺型学术生态，迈入丰裕型学术生态。

在粮食可以低成本量产的社会里，依然有人凭借制作精致美食获得价值与报酬。

同理，未来数学家或许要更着力于向世人证明：自己的研究不只是难度很高，更关键是本身足够有价值、有意义。倘若一项研究真正具备内在价值，它的价值便不会仅仅依附于 “难做出来” 这一点。

再往前推演一步：我们不妨思考，人工智能将来有多擅长向世人论证，它生成的数学成果本身是真正优质、有价值的。一旦 AI 在这件事上做得比人类更出色，那数学界便又少了一项离不开人类的工作。走到这一步，我们甚至会开始疑惑：人类到底还有什么不可替代的作用？（说到底，只是人类彼此需要人类而已。）

译后记

（蒂姆·高尔斯，与考切尔・比尔卡尔，这两位菲尔兹奖得主，都极其反感美国近年来对学术自由不友好的各种政策和限制及霸权主义和对多国的反人道行为，请愿将今年ICM国际数学家大会移出美国举办的行动倡议者，详情参阅系列报道：）

这件事也引出一个绕不开的学术伦理与出版规则问题：如果这项成果出自人类学者，完全具备主流期刊发表水准；但按照 arXiv 现行政策，纯 AI 生成内容不予收录，这一规则具备充分合理性。可 AI 持续产出大量有价值的数学原创成果，又需要专门的归档、阅览、引用平台。学界有必要建立专属数据库，设立严谨审核机制：由专业数学家人工核验正确性，或通过形式化证明助手完成逻辑校验，确认解答了公开数学问题、论证无误后再收录归档，既守住学术严谨底线，也不浪费 AI 带来的科研增量价值。

在科研协作层面，新的范式已经清晰：人类数学家负责选题方向、价值判断、逻辑审辨、学术把关；大语言模型擅长思路组合、构造推演、命题验证、文稿规范化撰写。二者互补之下，数学研究的产出效率被大幅拉升。但与此同时，深层隐忧也随之浮出水面。

首先是数学科研固有的平等性被打破。过往不同于实验类理工科，前沿数学研究几乎不依赖昂贵设备、巨额经费，只要具备扎实的数理功底与钻研精神，无论身处名校还是普通院校，都能站在同一起跑线做研究。教育资源的差距虽存在，但硬件资源几乎不构成壁垒。而如今顶尖大模型付费门槛高昂，各大科技企业还有仅限内部人员使用的专属高阶模型，普通研究者、在校学生无权访问。一旦学界全面放开博士生使用大模型做科研的限制，很快就会演变成 “谁能用上更好的 AI，谁就拥有科研先发优势”，纯粹的学术比拼，异化为模型权限与算力资源的比拼，长久以来数学研究的平等底色就此消散。

其次是数学博士生的科研启蒙路径被迫重构。传统培养模式里，导师最常用也最有效的入门方式，就是分配一道看起来难度温和、适合新手打磨思路的公开问题。如今这类 “温和问题” 已被大模型轻易包揽，传统入门路径逐渐失效。即便导师要求学生主动克制、刻意不依赖 AI，依靠自身推演完成基础训练，学习价值并未消失，但科研选题的起点被硬性抬高，新人需要直接面对更艰深、更前沿的难题，入门难度陡增。

舆论场中也出现了浓厚的悲观情绪：随着 AI 持续迭代，独立深度思考、原创专属学术灵感的价值正在不断稀释。早在 AI 时代到来之前，部分科研机构就已开始质疑纯数学基础研究的现实应用价值；放在当下，已经很难再真诚建议年轻人贸然选择纯数学博士作为人生方向。

而最引人深思、也最值得铭记的，是高尔斯写下的那句穿透时代的判断：

钻研数学问题仍然非常有价值，但那种可以享受自己名字永远与某个定理或定义绑定的快感的时代，很可能即将结束。

长久以来，支撑无数数学家甘坐冷板凳、深耕冷门难题、穷尽一生追寻真理的一大精神动力，便是学术不朽。以自己的姓名冠名定理、推论、定义、猜想，将个人名字镌刻在数学发展史册里，成为跨越时间的学术印记，这是数学家独有的至高荣光。

但在 AI 深度介入数学原创研究之后，这份荣光开始慢慢褪色。不妨做一场思想实验：倘若一位数学家仅负责整体方向把控、选题引导，全程对话大模型推进研究，所有技术构造、复杂推导、核心思路创新都由 AI 完成，即便最终攻克悬而未决的重大难题，学界也很难将这份成就完全归属于个人。未来的数学科研，更看重人类的格局视野、方向甄别、体系整合、漏洞审辨能力，而非单纯的计算、构造与推导 —— 这些基础工作，AI 已经可以做得比人类更高效、更严谨。

值得清醒的是，数学遭遇的 AI 冲击，只是整个知识界的前奏。绝大多数依靠深度思考、逻辑推演、灵感创作、智力深耕的领域，未来都会面临同样的价值重构、成果归属争议、行业规则重塑。

我们依然必须承认，钻研数学问题有着不可替代的内在价值。解题过程锤炼的逻辑思维、构建的知识体系、养成的严谨思辨习惯，是直接套用 AI 答案永远无法习得的底层能力。拥有扎实数学功底的人，反而能更好驾驭大模型，精准辨别论证漏洞、把控研究方向、筛选优质思路、规避逻辑陷阱，不被机器的结论裹挟盲从。

我们依然可以热爱数学、深耕难题、追寻真理、享受理性探索的乐趣，但必须坦然接受一个无法逆转的现实：那个仅凭个人天才灵感，就能留下冠名定理、实现学术永恒的时代，已经渐行渐远。

数学研究的意义仍在，但属于数学家个人独享的不朽冠名荣光，正在缓缓落幕。

参考资料

https://gowers.wordpress.com/2026/05/08/a-recent-experience-with-chatgpt-5-5-pro/

https://www.erdosproblems.com

https://arxiv.org/abs/2603.15556

https://arxiv.org/pdf/2411.02365

https://drive.google.com/file/d/11r-ggU__GMmHIrgEHQVULUIR1VxKSwmi/view

https://arxiv.org/pdf/2510.23022

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