第24讲：《重积分的换元法》内容小结、课件与典型例题与练习

在定积分的计算中，最重要的方法是定积分的换元法，将其方法进行推广和延伸，可以得到重积分的换元法。

一、定积分的换元法

设 为 上的单调连续可微函数， 在 构成的闭区间 上连续，其中

如果 ，则 ；

如果 ，则 ；

则有如下定积分换元公式：

【注】依据定积分换元的“下限对下限，上限对上限”的换元计算原则：

• 当 单调递增， ，则

即有积分

• 当 单调递减， ，则

即有积分

即在两端都符合定积分的标准形式，下限小于上限的情况下，具有如上统一的积分式。积分下限小于积分上限，即可以直观认为 ， 都为线段(区间)的长度，所以都要求大于0，也即标准定积分形式要求变量微元大于0。这与重积分的 表示面积、体积要求大于0要求一致。

二、重积分的换元法

一般性结论：设 在有界闭区域 上连续，存在一对一的变换 将闭区域 变换成 ，且满足：

a)在 上有一阶连续偏导数；

b)在 上雅克比行列式

则有

【注】当 不好变换得到，而换元变换为 时 ，有

• 二重积分

雅克比行列式

二重积分的换元公式为

• 三重积分

雅克比行列式

三重积分的换元公式为

三、典型应用结果

• 二重积分极坐标计算公式

• 三重积分柱坐标计算公式

• 三重积分球坐标计算公式

• 广义极坐标变换

• 广义球坐标变换

关于重积分、重积分计算的一般思路与方法的详细分析与讨论可以参见视频课堂“课程中的“三重积分计算的一般思路与方法及三种坐标系下积分的计算步骤”章节中的五个教学视频：

• 第1节：三重积分计算的一般思路与步骤

• 第2节：计算三重积分的“先一后二”投影法的思路与步骤实例分析

• 第3节：柱坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析

• 第4节：计算三重积分的“先二后一”截面法的思路与步骤实例分析

• 第5节：球坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析

另外在“、、全国大学生数学竞赛预赛非数学类试题解析”等在线课堂对重积分的各类计算方法分别进行了深入的分析与探讨！

当然在其他真题解析在线课堂中也结合竞赛真题，对出现的二重积分问题进行了分析与思路探索方法，具体参见各届竞赛真题解析课堂。公众号回复“在线课堂”，或者直接点击进入在线课程列表，历届竞赛真题与专题在线课程不仅适用于大学生数学竞赛，也适用于全国硕士研究生招生考试与课程学习，不仅适用于基础阶段的学习、复习，也适用于学习、复习、备考的提高、深化与查漏补缺，更能学到探索问题求解思路的方法和提升问题求解思路探索的能力！

参考课件

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