2026 ICM国际数学家大会即将开幕：数学家大卫·希尔伯特的23个问题如今进展如何？已解决、未解决与不可解——西蒙斯基金会

★置顶zzllrr小乐公众号，追踪《小乐数学科普》系列报道，参与数学 vs AI投票！

2026年国际数学家大会下个月拉开帷幕，数学史上著名的大卫·希尔伯特23个问题的现状究竟如何，请看数学科普作家Evelyn Lamb梳理的已解决、未解决与不可解情况。

图源：Sean McCabe for Simons Foundation; David Hilbert肖像 by Alamy Art and History Collection

AI vs Math 投票火热进行中

Your Vote Matters! We Value Your Value!

作者：西蒙斯基金会（Simons Foundation）

Evelyn Lamb（数学科普作家） 2026-6-18

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-6-22

求喜欢

1900年ICM国际数学家大会上，大卫・希尔伯特（David Hilbert，1862 - 1943）提出了一系列问题，此后成为衡量数学领域发展的标志性标尺。时隔百余年，在2026年国际数学家大会上，这些经典问题将再度成为全场焦点。

第二届国际数学家大会（International Congress of Mathematicians, ICM）于1900年8月6日至12日在巴黎举办。本届大会与规模盛大的世界博览会（Exposition Universelle, World Fair）同期举行，由于同期各类展览与活动繁多，主办方很难为参会学者安排专属外出参访行程。法国总统埃米尔・卢贝（Émile Loubet）曾现身埃菲尔铁塔下，与一众法国政府官员同框亮相。

图源：Pictorial Press Ltd/Alamy

图示为1900年巴黎世界博览会的入口大门。照片中央矗立着埃菲尔铁塔，这座铁塔是为1889年世界博览会修建的。

图源：Photos depoque en France/Alamy

巴黎世界博览会上的电力宫（后方建筑）与水之城堡（前景建筑）。

图源：Charles Phelps Cushing/Alamy

这张照片拍摄于塞纳河对岸，画面中是埃菲尔铁塔旁的天球馆（Globe Céleste）。天球馆是为1900年巴黎世界博览会打造的标志性建筑，其定位类似于1889年博览会的埃菲尔铁塔。

图源：Hirarchivum Press/Alamy

“我们之中，谁不愿掀开遮蔽未来的面纱，一睹数学科学未来的突破，窥见数个世纪里学科发展的奥秘？”1900年8月8日，数学家大卫・希尔伯特在第二届国际数学家大会的演讲台上，向全场参会者抛出了这个问题。

在这场演讲中，希尔伯特现场提出了 10 个他认为足以指引数学未来走向的难题；后续正式刊印文稿中，他将这份清单扩充为 23 个问题。在希尔伯特看来，问题是驱动数学前进的核心动力。英国开放大学数学史学者杰里米・格雷（Jeremy Gray）著有《希尔伯特的挑战》The Hilbert Challenge一书，系统梳理了希尔伯特问题及其对后世数学发展的深远影响，他评价道：“问题就是数学的命脉。”

希尔伯特的演讲深刻阐释了问题与理论之间相辅相成的关系：恰到好处的数学难题，会催生全新、富有价值的理论框架；反过来，成熟完备的数学理论又会源源不断衍生出新的待解问题。

一百二十六年过去了，历经数十届国际数学家大会，希尔伯特提出的问题至今仍具备极强现实意义。今年7月，国际数学家大会将在美国费城举办 —— 这是1980年代后，大会首次落地美国。本次会议将设置两场专题报告，分别复盘希尔伯特两大难题的最新研究进展。当年希尔伯特若亲眼见证这场盛会，定会惊叹全球数千顶尖数学家齐聚一堂的盛况；而看到自己百年前提出的问题仍在激励一代代研究者，他也必将倍感欣慰。

一、23个问题的诞生初衷

希尔伯特1900年的演讲核心主旨，是强调数学的内在统一性。如今的数学早已高度细分：数论学者可能完全看不懂微分几何论文，反之亦然。但希尔伯特撰写23个问题时，一心希望重塑数学的整体性，让所有数学家拥有共同的目标 —— 追寻严谨、纯粹的数学真理。他写道：“数学固有的有机统一根植于这门学科的本质，因为数学是一切自然现象精确认知的根基。”

希尔伯特的问题覆盖数学各大分支，却也留下一些耐人寻味、甚至带有刻意留白的领域空白，学界对此多有讨论。清单囊括数学基础、数论、几何、分析与代数五大方向，各问题的表述精度、具体程度差异极大。初读之下，不少问题显得过于宽泛，似乎不具备明确求解路径。但格雷解读道：“如果我来为希尔伯特辩护，这些模糊表述绝非疏漏，而是有意为之。”

希尔伯特清单中那些界定模糊、表述开放、条件不完备的问题，实则为数学家留出了充足的探索空间。2000年，克雷数学研究所发布另一套重磅难题 —— 千禧年七大难题，被视作当代数学最重要的未决猜想，每题悬赏100万美元。千禧年问题的定义严谨、逻辑闭环，不存在任何解读空间；高额奖金意味着学界对 “何为完整证明” 拥有统一评判标准。

相较之下，希尔伯特的清单反倒显得是个 “业余爱好者”。“业余爱好者”amateur一词源自拉丁语，本意是热爱：纯粹爱好者钻研学问只为热爱，而非金钱回报，希尔伯特的问题恰恰带着这份赤诚。字里行间满溢他对数学的热忱；表述的开放性，也允许后世学者从不同角度解读、延伸研究。正如希尔伯特所言：“数学的问题无穷无尽，一个难题刚被解决，无数新问题便会接踵而至。”

如今重读希尔伯特当年的讲稿，字里行间流露着一种不加掩饰的纯粹乐观。他将一条信念视作数学公理：不存在 “不可知论”（拉丁语 ignorabimus，意为 “我们永远无法知晓”）。他坚信，任何数学问题都一定能找到答案。他的墓碑上镌刻着两句德语：“Wir müssen wissen. Wir werden wissen.”，译为：我们必须知晓，我们终将知晓。

19世纪末，希尔伯特正致力于搭建全新的几何公理体系，他希望将这套公理化方法推广至数学所有分支，用一套完备公理为每一个数学领域筑牢根基。他笃定，只要公理体系足够完善，数学世界的一切命题都终将得到证明。

19世纪是数学严谨性飞速提升、细分学科与研究工具大量涌现的时代；而20世纪，数学家却发现了自身认知的边界 ——“不可证、不可知” 成为贯穿整个世纪的核心命题。1931年，库尔特・哥德尔提出不完备性定理，彻底击碎了希尔伯特构建完全自洽数学体系的理想：任何一套能够容纳基础算术的公理系统，都必然存在既无法证明、也无法证伪的命题。

数学固有的有机统一根植于这门学科的本质，因为数学是一切自然现象精确认知的根基。 —— 大卫・希尔伯特

二、1900年巴黎国际数学家大会

1900年世界博览会全景石版画。

石版画作者：吕西安・巴亚克（Lucien Baylac，1851–1913）

图源：国会图书馆

1900年巴黎国际数学家大会组织工作漏洞百出，参会人数远不及预期。英裔美籍数学家夏洛特・安加斯・斯科特（Charlotte Angas Scott）在《美国数学会通报》Bulletin of the American Mathematical Society发表参会纪实，文中记载：大会原本预计吸引1000名学者，最终到场仅250人。希尔伯特的演讲在当时并未立刻显现巨大价值，据斯科特描述，演讲结束后仅有零散讨论。但在此后的数十年间，这场演讲的影响力持续发酵，如今公认是那届大会留存至今最珍贵的学术遗产。

20世纪前几十年，希尔伯特问题的学术地位与声望持续攀升。1900年发表演讲时，希尔伯特年仅38岁，已是同辈中最受推崇的数学家之一，任职于哥廷根大学数学系。彼时的哥廷根数学系，是全球无可争议的数学中心。格雷评价：“哥廷根就是当时数学界的圣地。这份清单能流传百年，不只是问题本身足够深刻，提出者与所处学术高地同样至关重要。”

希尔伯特本人与哥廷根学派的光环，让这23个问题深深烙印在全体数学家的认知中。希尔伯特的学生、20世纪上半叶顶尖数学家赫尔曼・外尔（Hermann Weyl）曾说，成功解决任意一个希尔伯特问题，都足以让一名学者跻身顶尖数学家行列。

正如希尔伯特当年期许，无论已解决或仍悬而未决，他提出的所有问题都催生了海量全新研究方向。1974年，美国数学会举办专题研讨会，主题为 “由希尔伯特问题衍生的数学进展”，会议论文集篇幅多达600页。时至今日，只要有希尔伯特问题取得突破或完整证明，依旧会登上学界头条；攻克其中任一难题，都会让研究者奠定稳固的学术声誉。

芝加哥大学数学家邓煜在2024年西蒙斯湍流合作项目年度会议上，围绕希尔伯特第六问题作报告。

另请参阅：

图源：西蒙斯基金会

三、2026国际数学家大会：希尔伯特问题的当下与未来

时隔百余年，希尔伯特1900年的演讲依旧深刻影响每一届国际数学家大会。今年7月末于费城举办的2026大会，将安排两场专项报告，分别深入解析两大希尔伯特难题。

第一场报告：希尔伯特第一问题（连续统假设）报告人：大卫・阿斯佩罗（David Aspero）、拉尔夫・辛德勒（Ralf Schindler）

本场报告隶属于数理逻辑分会场。希尔伯特第一问题围绕连续统假设展开。1870年，格奥尔格・康托尔（Georg Cantor）证明：整数集合与实数集合同为无穷集，但实数的无穷基数严格大于整数。连续统假设的核心论断是：不存在一种无穷基数，其大小介于整数无穷与实数无穷之间。

库尔特・哥德尔（1939–1940）与保罗・科恩（1963–1964）的经典成果证明：在标准集合论ZFC公理体系内，连续统假设既不能被证明，也不能被证伪。但在希尔伯特原本的诉求下，这一结论算不上完整、令人满意的解答。哥德尔本人始终认为连续统假设不成立，并致力于寻找一套扩充标准公理体系的全新公理，以此证伪该假设。

阿斯佩罗与辛德勒将在报告中介绍他们延续这一方向的最新研究，详见下文第四章。

第二场报告：希尔伯特第六问题（物理公理化）报告人：邓煜

希尔伯特第六问题的目标是为物理学建立严格公理化体系。1900年现代物理学尚未成型，相对论、量子力学均未诞生。希尔伯特为该问题预留了多元研究路径，但他重点关注两大物理分支：概率论与流体力学。

概率论部分早在1930年由苏联数学家安德烈・柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）完成公理化。而流体力学方向的核心难题是：如何从描述流体微观粒子相互作用的牛顿定律，严格推导出宏观流体运动规律。邓煜团队分别从粒子视角与波动视角，完整严谨地完成了从微观粒子作用定律到宏观流体动力学的整套推导。

本场报告隶属于偏微分方程分会场，邓煜将联合合作者扎赫尔・哈尼（Zaher Hani）、马骁分享团队最新成果，详见下文第四章。

四、希尔伯特的23个问题的进展

距离大卫・希尔伯特（David Hilbert）在1900年国际数学家大会ICM上提出23个数学难题，已经过去一个多世纪。数学家们取得了重大进展，但仍有大量工作亟待完成。

图源：Sean McCabe for Simons Foundation; Portrait of David Hilbert by L. Reidemeister/Archives of the Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach

引言

希尔伯特在1900年向国际数学家大会列出23个面向下个世纪的数学挑战，这些问题自此成为数学领域发展的里程碑。2026年美国费城国际数学家大会将开设两场报告，围绕其中第一、第六两大难题公布全新前沿研究成果。

希尔伯特的问题并非赛跑终点线，更像是一扇半开的门，吸引数学家一探究竟、发掘全新研究方向。绝大多数希尔伯特问题无法简单判定 “完全解决” 或 “悬而未决”：同一问题在某套框架下得到证明，换一套数学体系就仍存空白；有时一个方向的解答，又会衍生出其他数学场景下的同类新问题。这种开放性，正是百年来希尔伯特问题持续吸引数学家的核心魅力。

希尔伯特23个问题现状逐条说明
1. 连续统假设（Continuum Hypothesis，CH）

核心问题：是否存在一类无穷集合，其基数严格介于自然数（计数整数）无穷与实数无穷之间？

库尔特・哥德尔（Kurt Gödel）与保罗・科恩（Paul Cohen）的经典成果证明：连续统假设独立于集合论标准公理体系。但不同公理化视角下仍留有大量研究空间。

2026国际数学家大会上，大卫・阿斯佩罗（David Aspero）、拉尔夫・辛德勒（Ralf Schindler）将汇报该问题最新研究，作2026 ICM 联合分会场特邀报告（Joint Section Lecture），其演讲摘要：

力迫公理（Forcing Axioms）与连续统问题（The Continuum Problem）：重审希尔伯特第一问题（Hilbert's First Problem）

格奥尔格・康托尔（Georg Cantor）在1870年代完成了一项标志性证明：实数的数量严格多于自然数。由此催生一个核心疑问：实数究竟有多少个？是阿列夫1（ℵ₁）？阿列夫2（ℵ₂）？抑或是更大的无穷基数？这一难题即著名的连续统问题，也是集合论发展史上最核心的导向性问题之一。

库尔特・哥德尔（Kurt Gödel）于1930年代、保罗・科恩（Paul Cohen）于1960年代的研究成果表明：集合论标准公理体系 —— 策梅洛-弗兰克尔集合论（含选择公理）（ZFC）无法判定该问题的真假。但尽管有哥德尔与科恩给出的独立性结论，学界仍有充分依据，不将连续统问题视作伪问题（pseudo-problem）。

本次报告首先会简述几条理由，说明不能把 “命题独立于ZFC” 当作连续统问题的最终定论；随后引入力迫公理（Forcing Axioms），阐释其提出动机；再介绍一批经典成果与近年前沿结论，借助力迫公理论证：连续统问题或许终究存在确定解答。报告最后还会梳理该领域内几种相互对立的学术观点，以及尚存的开放问题。

现状：情况复杂（无统一定论）

另请参阅：

2. 算术公理的相容性

希尔伯特希望为算术规则搭建一套无矛盾、严密自洽的公理系统。哥德尔（Gödel）不完备性定理彻底击碎该设想：作为算术基础的皮亚诺（Peano）算术，无法仅依靠自身公理证明自身无矛盾。学界至今仍在争论这一结论是否等同于完整解答本问题。

现状：情况复杂（无统一定论）

另请参阅：

3. 等可分解性（Equidecomposability）

问题表述：任意两个体积不同的多面体，能否将其中一个切割为有限块，重新拼接后与另一个全等？该等价关系又称剪刀全等（scissors congruence）。二维多边形满足该性质，但三维多面体不成立。这是首个被解决的希尔伯特问题。早在1900年（希尔伯特演讲文稿正式出版前），希尔伯特学生马克斯・德恩（Max Dehn）就构造出反例。

现状：已解决

正方形与三角形满足剪刀全等，切割重组即可等面积互换，直观证明二维多边形等可分解；三维等体积多面体存在反例，不满足该性质。

图源：Lucy Reading-Ikkanda / 西蒙斯基金会，来源：沃尔夫拉姆数学百科（Wolfram Mathworld）

另请参阅：

4. 直线为两点间最短距离

研究一类特殊几何：其中直线仍是两点最短路径，但欧氏几何其余公理不再成立。如今学界普遍认为该问题表述过于宽泛，不存在清晰完整的标准答案，但它催生了大量几何分支研究。

现状：表述过于模糊，无明确解

5. 李群（Lie groups）

李群是描述连续变换的代数对象。李（Sophus Lie）原始理论默认变换具备可微性，希尔伯特提问：可微性是必需前提，还是能从李群其他性质推导得出？

1950年代初，安德鲁・格利森（Andrew Gleason）、迪恩・蒙哥马利（Deane Montgomery）、利奥・齐平（Leo Zippin）证明可微性假设并非必要；但该问题另一套更广义的解读版本至今未解决。

现状：部分情形已解决

6. 物理学公理化

为物理学建立严谨数学根基，大概率是永无止境的探索。多个物理分支已完成公理化：1903年经典力学实现公理化；2025年邓煜（Yu Deng）、扎赫尔・哈尼（Zaher Hani）、马骁（Xiao Ma）完成流体动力学公理化推导。

详情参阅：

2026国际数学家大会上，邓煜将汇报该问题最新研究，作分会场特邀报告，其演讲摘要：

希尔伯特第六问题：粒子与波动

希尔伯特第六问题的一大核心内容，是为从原子间相互作用过渡到连续介质运动定律这一过程建立严格数学论证。

在经典粒子体系框架下，该任务对应一套成熟研究纲领：借助玻尔兹曼动理学理论（Boltzmann’s kinetic theory），从牛顿粒子动力学推导出流体方程。而在波动体系框架下，研究起点为非线性色散方程（nonlinear dispersive equations），目标是推导出波动动理学方程（wave kinetic equation）—— 即玻尔兹曼方程（Boltzmann’s equation）在波动领域的对应版本。

本次报告将介绍我与扎赫尔・哈尼（Zaher Hani）、马骁（Xiao Ma）合作的近期研究成果。该研究在玻尔兹曼–格拉德极限（Boltzmann-Grad limit）下，同时解答了上述两类问题：粒子层面以硬球动力学（hard sphere dynamics）为出发点，波动层面以三次非线性薛定谔方程（cubic nonlinear Schrödinger equation, NLS）为出发点。两套证明采用统一理论框架（各自具备独特技术细节），即通过费曼图展开（Feynman diagrammatic expansions）实现累积量公式（cumulant formulas）的传播推演。

现状：部分情形已解决

7. 特定数的超越性

绝大多数实数是超越数（无法作为整系数多项式方程的根），但证明任意给定数字为超越数难度极高。希尔伯特猜想：若代数数a≠0、1，无理代数数b，则aᵇ必为超越数。

1934年，亚历山大・盖尔丰德（Aleksandr Gelfond）与特奥多尔・施奈德（Theodor Schneider）独立完成证明。

现状：已解决

8. 素数相关问题

核心包含大名鼎鼎的黎曼猜想（Riemann hypothesis），研究复变黎曼 ζ 函数零点分布，直接决定素数分布规律；希尔伯特同时纳入其余数论素数难题。黎曼猜想至今仍是数学界最重要的未决难题之一。

现状：未解决

黎曼ζ函数沿临界线1/2+it 的轨迹；黎曼猜想围绕该函数行为展开，破解它就能揭开素数隐藏分布规律。

图源：Lucy Reading-Ikkanda / 西蒙斯基金会，来源：Linas Vepstas。

9. 广义互反律

目标是将二次互反律（判定素数模二次方程可解性）推广至更一般的数域。百余年来本问题与关联紧密的希尔伯特第12问题均取得大量进展，但二者均未完全解决。

现状：情况复杂（无统一定论）

10. 丢番图方程（Diophantine equations）

丢番图方程指含多个变量、整系数多项式方程（如x²+y²=5、3xy=z³），经典研究目标为整数解。希尔伯特提问：是否存在通用算法，能判定任意丢番图方程有无整数解？1970年苏联数学家尤里・马蒂亚谢维奇（Yuri Matiyasevich）证明不存在此类通用算法；针对特定类型丢番图方程的衍生问题至今仍是热门研究方向。

现状：已解决

11. 任意二次型

二次型是每一项总次数均为 2 的多项式（如x²+4xy+y²），不同数字可被不同二次型表出。希尔伯特第11问题：如何判定两个二次型能表示完全相同的整数集合？

赫尔穆特・哈塞（Helmut Hasse）在一类框架下完成证明，其余拓展场景仍持续有新研究。

现状：部分情形已解决

12. 克罗内克阿贝尔域定理推广（Extension of Kronecker’s theorem on Abelian fields）

与希尔伯特第9问题同源，研究有理数域添加无理数 / 复数形成的扩域。希尔伯特原始表述存在疏漏，一度延缓研究进度，但直接催生代数数论核心分支 —— 类域论；目前仅少数几类扩域得到完整刻画。

现状：未解决

13. 七次多项式

问题非常具体：所有七次多项式能否仅通过加减乘除、至多两个变量的代数函数求解？

1957年弗拉基米尔・阿诺尔德（Vladimir Arnold）与安德烈・柯尔莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov）在一层解读下给出解答；但近年学者重新解读阿诺尔德原文，发现希尔伯特真实目标更为广义，相关研究再度兴起。

现状：部分情形已解决

14. 不变量系统的有限性

不变量理论是希尔伯特早年核心研究领域，研究群作用于各类数学对象的代数分支。希尔伯特此前已证明特定代数环可由有限基础元生成；希尔伯特第14问题询问该结论能否推广至更广一类环。

1959年永田雅宜（Masayoshi Nagata）构造反例，否定该猜想。

现状：已解决

15. 舒伯特演算（Schubert calculus）

要求为舒伯特计数演算（几何计数分支）建立严谨逻辑基础。

学界尚未形成统一共识：段海豹（Haibao Duan）、赵学志（Xuezhi Zhao）2020 年的成果是否完整解决该问题仍存争议。

另请参阅：

https://www.researchgate.net/publication/360866684_shubotejishuyansuandeyangejichu

现状：情况复杂（无统一定论）

16. 曲线拓扑

一次方程为直线，二次方程为圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线）；希尔伯特第16问题要求建立高次多项式曲线、曲面形状的通用理论。时至今日，即便仅针对8次多项式，该问题依旧悬而未决。

现状：未解决

上图为三次实代数曲线，是研究n次多项式曲线分支位置的核心对象，对应希尔伯特第16问题的代数几何基础议题。

图源：Lucy Reading-Ikkanda / 西蒙斯基金会，来源：Theon

17. 函数表为平方和

部分实函数（如y=x²）对全体实数输入只输出非负值。

希尔伯特提问：所有这类非负有理函数，能否写成若干有理函数的平方之和？

1927年埃米尔・阿廷（Emil Artin）给出肯定证明。

现状：已解决

18. 全等多面体、基本域与球堆积

本问题整合欧氏几何三类子问题：

1. n维空间对称群：1910年路德维希・比伯巴赫（Ludwig Bieberbach）解决；

2. 三维空间密铺：1928年卡尔・莱因哈特（Karl Reinhardt）解决；

3. 三维等径球体最密堆积：1998年托马斯・黑尔斯（Thomas Hales）完成证明，完整形式化验证耗时额外二十年。
   

4. 现状：全部已解决

配图说明：六边形密排球体示意图；希尔伯特第18问题三维球堆积即研究相同球体（如货架橙子）如何排布，实现空间填充密度最大化。

图源：Lucy Reading-Ikkanda / 西蒙斯基金会，来源：Twisp

19、20、23. 变分法（Calculus of variations）

变分法以泛函为工具求解极值优化问题，经典案例为最速降线问题（1696 年约翰・伯努利Johann Bernoulli解决）。希尔伯特认为当时变分法突破未获足够重视，列入清单推动学界关注：

• 希尔伯特第20问题：各类变分问题解的存在性；

• 希尔伯特第19问题：若解存在，解是否具备优良光滑性；

• 希尔伯特第23问题：无明确限定目标，仅提出 “进一步发展变分法工具”。

20世纪初希尔伯特与同行在该领域取得大量成果，相关研究延续至今。

现状：情况复杂（无统一定论）

21. 具有给定单值性的线性微分方程

研究给定奇点与奇点周边行为（单值性 monodromy）的微分方程组是否存在。

1908年约瑟夫・普莱梅利（Josip Plemelj）发表学界公认的完整解答；

但1990年安德烈・博利布鲁赫（Andrei Bolibrukh）找到普莱梅利证明的反例，证明此类方程组并非一定存在，问题最终定论。

现状：已解决

22. 单值化（Uniformization）

单值化指将曲线、曲面表示为单值参数化函数。1907年庞加莱（Henri Poincaré）与克贝（Paul Koebe）的单值化定理在一类框架下完成解答；但正如利普曼・伯斯（Lipman Bers）在1974年希尔伯特问题研讨会上所述：“每一代数学家都会重新审视、重构前人的证明，适配当下的理论与符号体系。” 针对第22问题的拓展研究从未中断。

现状：部分情形已解决

参考资料

https://www.simonsfoundation.org/2026/06/18/hilberts-23-problems-at-icm-2026-where-are-we-now/

https://www.simonsfoundation.org/2026/06/18/solved-unsolved-and-unsolvable-the-status-of-hilberts-23-problems-in-mathematics/

小乐数学科普近期文章

小乐数学科普历年合集

版权声明：本文首发于微信公众号“zzllrr小乐”的专栏《小乐数学科普》。欢迎个人转发。如需转载，请在“zzllrr小乐”公众号后台回复“转载”，还可通过公众号菜单、发送邮件到zzllrr@gmail.com与我们取得联系。相关图文音视频内容默认遵守CC BY-NC 4.0知识共享协议，未获作者和译者授权，禁止用于营销宣传和商业目的。

·开放 · 友好 · 多元 · 普适 · 守拙·

让数学

更加

易学易练

易教易研

易赏易玩

易见易得

易传易及

欢迎评论、点赞、在看、在听

收藏、分享、转载、投稿

查看原始文章出处

点击底部一起捐

助力腾讯公益

点击zzllrr小乐

公众号主页

右上角

置顶★加星

数学科普不迷路！