多向图扩展：模糊、中性、Plithogenic、粗糙、软、超图及超超图变体

多向图扩展：模糊、中性、Plithogenic、粗糙、软、超图及超超图变体

Extensions of Multidirected Graphs: Fuzzy, Neutrosophic,Plithogenic, Rough, Soft, Hypergraph, and Superhypergraph Variants

https://www.mdpi.com/2813-9542/2/3/11

1. 结论与未来工作

在本文中，我们通过引入多向超图（Multidirected hypergraph）扩展了传统的图论模型，该模型统一了超图的多路连接性与超超图的分层幂集结构。在此基础上，我们制定了五种感知不确定性的多向变体——模糊、中智、普利托根、粗糙和软多向图——每一种都配备了精确的定义和具体的示例。我们还介绍了另外四个图族（双混合图、多混合图、超有向图和超超有向图），并考察了它们的关键结构性质。

尽管取得了这些理论进展，针对多向图及相关超结构的实用工具包和算法仍处于起步阶段。未来的工作将集中在：

• 算法开发：设计用于多向和超有向网络遍历、查询和分析的高效例程。
• 软件实现：创建支持这些新图类的构建、可视化和操作的开源库。
• 机器学习集成：将感知不确定性的多向图嵌入图神经网络和其他学习架构中，以处理复杂的、分层的或不精确的数据。
• 应用与案例研究：在生物信息学、社会网络分析和决策支持系统等领域验证所提出的模型，在这些领域中，多头和不确定关系自然产生。

我们预计，将更深层的理论见解与实用工具相结合，将开启丰富的应用场景，并激发关于不确定性下高级图结构的进一步研究。

摘要

图论通过将实体表示为顶点并将它们的交互表示为边来对关系进行建模。为了处理方向性和多重头尾分配，各种扩展——有向图、双向图和多向图——已被引入，其中多向图统一了前两者。在这项工作中，我们通过提出多向超图进一步丰富了这一领域，它融合了超图和超超图的灵活性以描述高阶和层次连接。在此基础上，我们通过将经典不确定性模型嵌入到多向设定中，引入了五个感知不确定性的多向框架——模糊、中智、普利托根、粗糙和软多向图。我们概述了它们的形式定义，考察了关键结构性质，并用示例说明了每一个，从而为不确定图分析和决策方面的未来进展奠定基础。

关键词：超超图；超图；模糊图；中智图；多向图；多向超图；粗糙图；软图

1. 引言

1.1. 各种图论框架

图论提供了一个框架，其中实体由顶点表示，它们的成对交互由边表示，支撑着人工智能、网络分析和化学建模等领域的多样化应用 [1,2]。在本文中，我们探讨以下概念： • 超图和超超图：普通图的高阶和层次推广 [3–7] • 模糊、直觉模糊、中智和普利托根图：用于建模不确定性和矛盾的框架 [8–12] • 有向、双向和多向图：用于表示不对称和多头连接的结构 [13–18]。

1.1.1. 超图和超超图

虽然标准图仅允许顶点之间的成对边，但超图通过允许每条超边连接顶点的任何非空子集来推广这一概念，从而捕捉高阶关系 [7,19–23]。超超图通过迭代应用幂集操作将这一点进一步推进：在每一层，“超顶点”和“超边”都取自前一层的幂集，从而产生一个多层连接层次结构 [24–27]。表 1 对比了普通图、超图和 n-超超图的关键特征。

1.1.2. 不确定性下的图模型

经典图论的几种扩展已被提出，以容纳顶点和边中的不确定性。在模糊图中，每个顶点和边被分配一个 [0, 1] 中的隶属度值，以表达渐进包含 [8,9]。直觉模糊图进一步区分了非隶属度与隶属度 [28–31]，而中智图则在真值和假值水平之外引入了一个不确定分量 [32–34]。普利托根图通过量化属性值之间的矛盾将这一点进一步推进 [35]。替代方法包括粗糙图，其使用下近似和上近似来处理节点和边中的模糊性 [36,37]，软图，其通过软集理论参数化顶点和边的子集 [38,39]，以及含糊图，其使用含糊集对歧义性进行建模 [40–42]。

表 2 提供了这些感知不确定性的图框架的概述。

1.1.3. 有向、双向和多向图

为了捕捉方向性和多重关系，一系列图扩展已被引入。有向图为每条边分配单一方向，而双向图允许边两端的每个顶点拥有其自己独立的方向 [43]。多向图通过允许在同一对顶点之间存在多条有向边（弧）来推广这两种模型，每条边都有其自己的方向和多重性 [44,45]。

在本文中，我们专注于多向图，因为它们通过对边方向和计数的显式编码，涵盖了有向和双向结构两者。表 3 总结了有向、双向和多向图变体之间的差异。

1.2. 我们的贡献

基于这些发展，本文通过结合多向图与现有的图和超图扩展，定义了一套新的多向结构。我们引入了模糊多向图、中智多向图、普利托根多向图、粗糙多向图、软多向图、多向超图和多向超超图。除了这些之外，我们还探索了几种新的图类，例如双混合图和超有向图。对于每一个这些类，我们提出了形式定义，研究了它们的核心数学性质，并用具体示例说明了它们。 需要注意的是，本文是一项完全在概念层面进行的理论研究。在整篇论文中，我们假设所有图都是有限的。我们预计这些贡献将增强图论及其多样化扩展的理论基础和潜在应用。

1.3. 本文结构

本小节概述了论文的结构。第 2 节介绍了一系列基础图结构，包括超图、超超图、有向图、有向超图、有向超超图、模糊图、中智图、普利托根图、模糊有向图、中智有向图、普利托根有向图、双向图和多向图。第 3 节考察了高级变体的结构性质，例如模糊多向图、中智多向图、普利托根多向图、粗糙多向图、软多向图、多向超图和多向超超图。它还探索了新提出的图类的特征，包括双混合图。第 4 节提供了结论的简要总结，并讨论了未来研究的方向。

1. 预备知识

在本节中，我们回顾了支撑本文发展的基本概念和符号。我们在整个过程中将注意力限制在有限图上。除非另有说明，符号 n 将始终表示一个非负整数。

2.1. 图和超图

超图通过允许超边——大小至少为二的顶点集子集——扩展了普通图的概念，从而捕捉元素之间的多路关系 [47–54]。下面是图、其子图和超图的形式定义。

是一个超图，其中每条超边代表一个同时连接多种配料的食谱。这种结构自然地模拟了烹饪应用中配料之间的高阶关系。

2.2. 幂集与 n 次幂集

2.3. 超结构和超超结构

为了构建超结构 [63–68] 及其高阶对应物超超结构 [61] 的统一理论框架，我们回顾几个基本定义。特别是，任何超图都可以被视为一个超结构，同样地，一个超超图自然地诱导一个超超结构。

定义 6（经典结构 [61,69]）。一个经典结构由一个非空集 H 以及一个或多个运算组成——称为经典运算——它们将元素元组映射回 H 中并满足规定的公理。形式上，一个 m 元经典运算是一个函数

因此， H 模拟了独立的子项目如何被动态连接，并且任务子集上的并集运算正是赋予 H 其超结构特征的超运算。

定义 9（超超运算 [61]）。设 H 是一个非空集，并通过以下方式定义其迭代幂集：

2.4. 超超图

超超图通过迭代幂集构造 [26,73] 嵌入递归、分层结构，从而推广了超图的概念。本质上，通过重复取幂集，构建连续的顶点和边“层级”，从而产生一个丰富的、分层网络。

2.5. 有向超图

有向超图通过允许每条“边”（通常称为超弧）源自多个源顶点并终止于单个目标顶点，从而推广了有向图。这种更丰富的结构已在数据库依赖、生物信息学和复杂网络模型等领域找到应用（参见，例如，[76,77]）。

2.6. 普利托根和软有向图

模糊集 [80–82]、直觉模糊集 [83–85]、中智集 [86–88] 和普利托根集 [89,90] 的经典概念启发了一系列相应的图模型。特别是，人们会遇到模糊图 [8,91]、直觉模糊图 [92,93]、中智图 [94,95] 和普利托根图 [35,96]。它们的有向对应物——模糊有向图 [97,98]、直觉模糊有向图 [99,100]、中智有向图 [101,102] 和普利托根有向图 [103]——也已被开发。下面，我们回顾这四个有向图变体的形式定义。

定义 16（模糊有向图 [97,104]）。一个模糊有向图是一个四元组

2.7. 粗糙图和粗糙有向图

粗糙图利用顶点和边上的等价关系来定义下近似和上近似，从而捕捉无向网络结构中的模糊性 [109–112]。粗糙有向图将粗糙图的概念扩展到有向网络，通过基于等价关系的下界和上界来近似顶点和弧 [36,37]。我们现在回顾粗糙集的概念及其在图和有向图中的应用。

2.8. 多向图

多向图通过允许任意两个顶点之间存在多条有向边，统一了有向图 [44,45] 和双向图 [115,116] 的特征。我们首先回顾双向图。

2.9. 混合图

混合图在一个单一框架中整合了无向边和有向边 [117–121]。混合图已在图着色等领域得到研究。

1. 本文结果

本节介绍了本文的主要结果。我们通过引入多重边结构（即边多重性）扩展了有向图和超图的经典概念，并进一步融合了包括模糊、中智和普利托根系统在内的先进框架。这些推广旨在捕捉复杂网络中各种形式的不确定性、矛盾和基于属性的推理。

3.1. 多向超图

多向超图通过允许有向超边将任意非空源顶点集（尾部）连接到单个目标顶点（头部），从而推广了普通超图，并通过为每条超边记录一个正整数多重性来模拟平行出现的情况。

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