《线性代数：一名合格科研人的筑基课》第八课丨线性代数如何成为通用建模语言？——跨学科应用案例

导语

脑机接口的“意念解码”、社交网络的“社群发现”、单细胞生物学的“命运轨迹绘制”，这些看似无关的前沿领域，实则共享同一套线性代数语言：它们都需处理高维数据、提取核心特征、分析系统稳定性，而子空间、线性映射、特征值、矩阵分解等概念，正是解决这些问题的通用工具。本讲通过三大应用场景，整合课程核心知识，展现线性代数的系统思维价值。

集智学园联合清华大学数学博士诸葛昌靖老师推出「」，并邀请武汉大学数学与统计学院周进教授于1月20日、1月27日就特征值与特征向量在复杂网络中的应用做特别加餐分享。课程已于12月20日开启，欢迎加入课程群交流。

主题：线性代数如何成为通用建模语言？——跨学科应用案例

课程简介

这是本系列课程的收官之作，也是检验“筑基”成果的实战演练。

在前七讲中，我们像建筑师一样，一块块砌好了向量空间、内积、矩阵、特征值这些“数学砖块”。而这一讲，我们将走出图纸，去一窥线性代数如何构建真实世界中宏伟的科学大厦。

本讲通过信号处理、网络科学与系统生物学中线性代数的应用，展示线性代数如何作为一种“通用建模语言”，帮助科研人员在纷繁复杂的现象中建立秩序。

你将看到：

• 傅里叶变换如何将脑电波映射到频域，让意念显形；

• 拉普拉斯矩阵如何捕捉社交网络的拓扑结构，让隐形社群浮现；

• 矩阵分解与变换如何描述沟通分子到细胞的尺度，解释神秘的基因与生命的行为。

通过本讲的学习，你将完成从“做题家”到“建模者”的蜕变，真正理解为什么线性代数是现代科学不可或缺的系统思维框架。

课程大纲

应用一：脑机接口如何“读心”？——信号的解码

Neuralink等脑机接口设备采集的脑电信号是高维时间序列。通过Fourier变换将其映射到频域，再用类似PCA提取关键成分，最终用SVM分类用户意图。整个流程是线性代数在信号处理中的完美体现。

• PCA：回顾概念、举例、可视化

• SVM：数学及算法

• Fourier变换：无穷维线性空间中的应用，卷积、滤波、信号降噪、图像压缩

应用二：社交平台如何发现“隐形社群”？——网络结构的谱分析

微信、微博通过构建用户互动图，计算其Laplace矩阵的特征值与特征向量（图傅里叶基），实现社区自动划分。最小非零特征值（代数连通度）反映网络鲁棒性，而特征向量符号变化揭示群体边界。

• Laplace 矩阵定义与谱性质

• 图傅里叶变换

• 应用示例：聚类、社区检测、信号传播

• 矩阵扰动与灵敏度分析简介（Weyl 不等式、Davis–Kahan 定理）

应用三：从分子到种群——生命科学中的线性代数应用

单细胞RNA-seq等测序技术产生百万级基因表达数据，这些数据往往形成一个矩阵供下游分析。无论是传统的batch数据还是单细胞伪时间轨迹预测，或者对于生物系统的动力学行为的控制，都需要通过矩阵的语言刻画与描述。

• 反馈系统与控制：稳定性、可控性、可观测性、Kalman 滤波

• 单细胞数据分析：降维、可视化及轨迹推断中的线性代数

• 网络生物学与分子互作网络：功能模块发现、调控网络的粗粒化

课程信息

• 课程主题：线性代数如何成为通用建模语言？——跨学科应用案例

• 课程时间：2月14日（周六）晚 19:30–21:30

• 课程形式：

• • 腾讯会议（会议信息见群内通知）

  • 集智学园网站录播（3 个工作日内上线）

课程主讲人

北京工业大学数学统计学与力学学院副研究员，清华大学数学博士，研究方向：计算系统生物学。致力于数学与生物医学的交叉研究，聚焦癌症的演化机制及放化疗、血液病、网络药理学及传染病等复杂生物医学问题的多尺度动力学建模与分析。

课程适用对象

• 数学基础扎实，希望理解线性代数本质及系统应用的学生

• 对生物信息学、系统生物学、复杂网络与复杂系统科学感兴趣的跨学科学习者

• 希望在数据科学、机器学习、网络分析、系统建模领域深入应用线性代数的人

• 对逻辑、抽象思维和系统性分析有长期兴趣的公众学习者

报名须知

• 课程形式：腾讯会议线上直播；集智学园网站录播

• 课程周期：2025年12月20日—2026年2月，每周六 19:30–21:30

• 课程定价：

• • 全部课程原价 599 元(注：早鸟优惠已于第二讲结束时截止)

可开发票

https://campus.swarma.org/course/5657

付费流程

2. 课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

3. 课程可开发票。

线性代数：一名合格科研人的筑基课

在科研世界中，无论你研究的是人工智能、生物信息、网络科学，还是物理与工程，几乎所有复杂系统的建模与推理，最终都会指向同一种底层语言——线性代数。

它不仅是一组计算公式，更是一名科研人理解“结构”、刻画“变换”、判断“稳定性”、提取“有效信息”的基本思维框架。本课程以系统科学的视角重新解构线性代数，带你越过技巧，直达本质，在跨学科的真实问题中建立起坚实而可迁移的数学基础。

详情请见：