应景趣味数学：2026年闲聊自然数2026

已经进入2026年，我们来看看2026这个自然数的若干有趣之处。一个数看似普通，往往蕴含着丰富的数学性质，只要你留心探索。文中还给出几道关于2026的数学题，涉及小学到初中的内容。

1.2026的基础数论知识

2026是一个偶数，因为它能被2整除（2026 ÷ 2 = 1013）。
它的质因数分解为：

2026=2×1013

其中1013是质数。
2026是“盈数”，因为它的因数和大于自身。

2026的因数有：1, 2, 1013, 2026。
因数和为：1 + 2 + 1013 + 2026 = 3042。
2026不是斐波那契数。

斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...2026介于1597和2584之间，但不等于任何斐波那契数。

2026的模运算（对2-9的整除）性质

模2：2026 ≡ 0（偶数）

模3：2+0+2+6=10，10÷3余1，故2026≡1 (mod 3)

模4：最后两位26÷4=6余2，故2026≡2 (mod 4)

模5：末位6，故2026≡1 (mod 5)

模6：2022模6余0，故2026-2022=4≡4 (mod6)

模7：因为2002 ≡ 0（mod7），2026-2002=24≡3 (mod 7)，故2026≡3 (mod 7)

模8：最后两位26÷8=3余2，故2026≡2 (mod8)

模9：2+0+2+6=10，10÷9余1，故2026≡1 (mod 9)

2.2026连续自然数之和

把2026写成若干个连续自然数之和，只有一个答案。

505 + 506 + 507 + 508=2026

3.2026的平方和表示

（1）写成两个平方数之和
唯一解为：

2026=452+12

这是因为45²=2025（2025年是个平方数年）。

（2）写成最多不同平方数之和
尝试用尽可能多的不同平方数相加：
前15个平方数（1²到15²）的和为1240，但2026-1240=786，需用更大平方数替代部分小平方数。
实际最多可用15个不同平方数，例如：

2026=42+62+72+82+92+102+112+122+132+142+

152+162+172+182+192

（读者可验证和是否为2026）（修改一下。有读者提出，这个等式不成立。重新计算，13个数的平方足以，应去掉9和18两个数的平方。谢谢。）

4.2026的立方和表示（允许重复1³）

要求用尽可能少的立方数（允许重复1³）表示2026。
已知前9个自然数的立方和为：

13+23+33+43+53+63+73+83+93=2025

2026=13+23+33+43+53+63+73+83+93+13

这使用了10个立方数（其中1³重复了一次，比2025只多了1）。
经过尝试，无法用少于10个立方数（允许重复1³）表示2026，

因此最小项数为10。

5.一道小学汉字算式谜

每个汉字代表0-9中的某个不同数，多个汉字表示多位数，求每个汉字代表的具体数字。

（1）又到新年+新年+年=2026，

（2）又到新年+新年*年=2026

解题比较简单，过程省略，请读者自行脑补。

答案：

1962+62+2=2026，1942+42*2=2026

6.一道初中数学题：增减90均为平方数

一个自然数，它增加90是一个完全平方数，它减少90还是一个完全平方数，求这个自然数。

解：设这个数为n，使n+90=a2，n−90=b2
两式相减：

(a2−b2)=180  ⟹  (a−b)(a+b)=180

枚举180的因子对（同奇偶）：

a−b=2,a+b=90  ⟹  a=46,b=44  ⟹  n=462−90=2026

a−b=6,a+b=30  ⟹  a=18,b=12  ⟹  n=182−90=234

a−b=10,a+b=18  ⟹  a=14,b=4  ⟹  n=142−90=106

此题答案不唯一，共有3个解为：106, 234, 2026。

7.又一道初中数学题：抽球组成2026的概率

从11个球中抽取（数字0-9，但数字2有两个，其他数字各一个），每次抽取1个球（不放回），共抽取4次，求抽取的4个数字按顺序恰好组成2026的概率。

解答：

总球数：11个（两个2，其他数字0,1,3,4,5,6,7,8,9各一个）。

总抽取方式（有序）： 11×10×9×8=7920种。

成功方式：需依次抽到2、0、2、6。

第一个位置抽到2：有2种方式（两个2）。

第二个位置抽到0：有1种方式。

第三个位置抽到2：有1种方式（还剩一个2）。

第四个位置抽到6：有1种方式。

成功方式数： 2×1×1×1=2。

概率： P=2/7920=1/3960

8.判断2026的几何形数性质

三角形数：自然数n满足 Tn=n(n+1)/2，则n为三角形数。

可解方程n(n+1)/2=2026

四边形数即平方数，可解方程n2=2026

五边形数：自然数n满足 Pn=n(3n−1)/2,则n为五边形数

可解方程n(3n−1)/2=2026

六边形数：自然数n满足 Hn=n(2n−1）,则n为六边形数

可解方程n(2n−1)=2026

利用初中解一元二次方程中的判别式，可以判定n是否有正整数解。若有整数解，则意味着2026是几何形数。

结论：2026不是常见的几何形数（三角形、平方、五边形、六边形数）。

结语

2026不仅是一个数字，更是数论、组合和巧思的载体。从平方和到立方和，从模运算到概率，从算式谜到解方程，它展现了数学的多样性与趣味性。