从曲线缝合到外摆线

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

对于从初级到成熟的学习者来说，探索出现在由直线构成的图画中的曲线是迷人和有趣的。当学生猜想、实验、探索和归纳时，它提供了解决问题和推理的极好经验。它允许交流，包括口头交流和绘画交流。它提供了数字和几何、数学和艺术以及数学和其他应用之间的联系。与学校数学的课程和评价标准一致，问题解决、推理、交流和联系被整合到数学学习活动中，这些活动允许学生通过做数学来了解数学。所涉及的数学可能从简单到复杂。本文中的示例展示了学生如何绘制包络线为抛物线、心形线、外摆线或内摆线的线条集。

“如果我们……会如何？”

数学上的许多发现都源于某人的提问，“如果我们……会如何？”

学生只需要找到给定总和的所有可能的整数加数，就可以知道如果他们创建一个如图1所示的例子会发生什么。沿角度的每条射线标记均匀间隔的点，并从顶点处的0开始编号。对于所选的常数和n，从一条射线上编号为a的每个点到另一条射线上编号为b的点绘制一条线段，使得a + b = n，在图1中，和为13。学生可以在纸板上用线“缝合”模型。一条曲线似乎出现了，尽管这幅画完全是由直线构成的。直线与抛物线相切，抛物线称为直线族的包络线。

图1：与抛物线相切的直线

学生们在缝合或绘制连接圆上编号点的线段时，使用“加倍”或乘以2来将每个数字与其双数字匹配。这方面的一个例子在图2a和2b中示出。圆周上的点等距分布。在这些图中，36个点以10为间隔，但任何不太大也不太小的数字都可以。这些点数从0到35。从第一点(称为P1)我们画一条到P2的弦。类似地，从每个Pk，一个和弦被画到P2k。当k >= 18时，P36= P0，P38= P2，依此类推。在课程的代数部分，可以将编号点连接起来，作为一个函数的例子，学生可以在表格中或用函数符号建模。当所有的弦都被画出时，它们被视为与一条称为心形线的曲线相切。这看起来很合适，因为它是心形的。

图2a：与心形线相切的弦。

图2b：与心形相切的弦的编号端点

弦也可以看作是从一个点发出的光线的反射。也就是说，如果点光源在P0，并且圆的内部是镜子，则光线P0P1被反射到P1P2，光线P0P2被反射到P2P4，等等。(当光线被曲线反射时，反射镜被定义为光线照射点处曲线的切线。)

心形线也可以由一个圆绕着一个全等的固定圆旋转而成。滚动圆的圆周上的任何一点都沿心形运动，最终回到起点。在图3中，点A(直径为AB的端点)的路径生成了图中所示的心形。心形是外摆线的一个特例，外摆线是一个圆上的点在另一个圆的外侧滚动所产生的路径。

图3：一个圆上在另一个圆外侧滚动的点

外摆线

现在有人可能会问，“如果PK加入P3K而不是P2K呢？”在图4a和4b中，围绕圆以5个间隔标记点，并从0到71编号，然后继续编号，使得P144 = P72 = P0，依此类推。所有和弦都画出来，用P3k加入每个Pk。如果滚动圆的半径是固定圆半径的一半，那么滚动圆上一点的轨迹就是这一族直线的包络。

图4a：与外摆线相切的弦

图4b：与外摆线相切的弦的编号端点

如果每个PK都连接到P4k，则结果如图5所示。包络是一个外摆线，它可以由圆上的一个点生成，该圆的半径是它绕其滚动的固定圆半径的三分之一。

图5：与有三个拱的外摆线相切的弦

一般来说，当固定圆的半径是滚动圆半径的n倍时，外摆线有n个拱。因此，如图5所示，当Pk连接到P4k时，弦与具有三个拱的曲线相切，这并不奇怪。一般来说，可以证明弦PkPnk与n-1个拱的外摆线相切。

也可以试验n的分数值，图6显示了n = 3/2的情况。包络的一部分类似于心形，但是曲线与自身相交，并且沿着与圆在一点相切的路径延伸。学生可以探索如果n= 1/2会发生什么。

图6：与自身相交的外摆线相切的弦

顺便说一句，当光线照射在一杯茶上时，在杯中看到的曲线是图4中外摆线的一半。

内摆线

当一个圆在固定圆的内侧滚动时，圆周上一点的路径称为内摆线。该路径也可以通过绘制弦PkPnk来获得，其中n是负整数。对于圆上间隔10°的点，P35被认为是P-1，P34被认为是P-2，依此类推。然而，人们必须小心，因为除非弦延伸到参考圆圈之外，否则曲线不会变得明显。在图7中，每个PK都与P-2k相连。在图8中，每个PK都与P-3k相连。一般情况下，拱数为Inl +1。

图7：与三拱内旋轮线相切的线

图8：与四拱内旋轮线相切的线

当n的分数值为-3/2时，得到的曲线是由半径为固定圆的2/5的滚动圆生成的外摆线。它就像一颗五角星。(见下文问题7。)

包络线

一般而言，如果一条曲线与线族的每个成员相切，则它称为该线族的包络。在上述每一种情况下，我们都看到外摆线或内摆线是一个包络。当学生缝制或绘制模型时，他们可以对数学之美有一种新的欣赏。

以下问题供学生进一步研究：

1.如果包络为抛物线的直线用直角或钝角缝合怎么办？

2.如果使用不同的和来连接沿某个角度的射线的点，该怎么办？

3.如果三条直线在一点相交，形成六个角，每个角上都缝有与抛物线相切的线，那么可以做出什么设计？

4.如果圆上标记了不同数量的点，用于缝合包络为心形的线，该怎么办？

5.了解为什么心形麦克风音质好。

6.尝试其他分数a/b，用ka/b将圆上的每个点k连接起来。

7.在一张大纸上，画一个圆圈，每隔10°间隔几个点。将每个点k与点-3k/2连接，将和弦延伸到远超出圆的范围。

8.利用解析几何和微积分的方法，找出这些曲线的其他有趣的性质。

9.使用曲线的参数方程来求出曲线所包围的拱门或区域的长度。

10.确定任何这些曲线的斜率的公式。

11.找出这些曲线的物理应用。

结论

曲线缝合和信封适用于探索广泛的水平。教师可以在各种出版物中找到这些主题的其他优秀例子。Somervell(1975)在其经典著作《数学的节律方法》(A rhythm Approach to Mathematics)中为教师们提供了令人愉快的想法。该书于1906年首次出版，并由全国数学教师委员会重印。Pohl(1986)在《如何利用线条设计丰富的几何图形》（How to Enrich Geometry Using String Designs）一书中，用艺术的方法将曲线拼接扩展到三维空间。这一课题的研究对教师和学生都是令人兴奋和有益的。

参考文献

1 Alice L Robold, From Curve Stitching to Epicycloids