从“一元五次方程”到“群论”的艰辛历程，那是一首悲壮的史诗

回顾人类文明持续向前发展的每一步，充满了艰辛与坎坷，特别是从“一元五次方程”到“群论”的历程，更是一个偶然加必然的意外收获，无数的数学家为此付出了毕生的精力与心血，年轻的数学家阿贝尔与伽罗瓦在追寻真理的路上英年早逝，为此所作出的重要贡献，是人类文明进程中最为悲壮的史诗，在岁月的长河中回响不绝，这到底是怎样一个令人感慨的故事呢？这还得从我们习以为常的一元一次方程说起。

早在小学的高年级阶段，我们就开始接触“一元一次方程”，在数学史上，“一元一次方程”最早出现于公元前1600年的古埃及时期。经过漫长的岁月，最终于1859年，由中国数学家李善兰正式译为一元一次方程。

在一元一次方程出现之前的漫长岁月里，人们在处理工程、行程、分配、盈亏等问题时，只能使用“算术”这个工具，解决起来非常的困难。当“一元一次方程”发明之后，人们只需寻找等量关系和设未知数，就可以快捷地解决大量生活、生产中的问题。

比起“一元一次方程”来，“一元二次方程”出现得更早。早在公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。大约公元前480年，我们的祖先也已经使用配方法求得了“二次方程”的正根。

公元820年，阿拉伯数学家花剌子模在他的《代数学》中第一次给出了“一元二次方程”的一般解法，也首次承认了包括“无理根”在内的“两个根”。

随着社会的发展，更多的问题需要更高次的方程。在16 世纪时，意大利数学家塔塔利亚、卡尔达诺、费拉利等人，分别用“根式法”求解出了三次方程与四次方程的根。

回顾从“一元一次方程”到“一元四次方程”的历程，虽然经历了漫长的岁月，但总的来说还算顺利。

当数学家们兴致勃勃地试图继续用“根试法”寻找一元五次方程的解时，却遇到了前所未有的困难。数学家们经历了长达三百多年前仆后继的努力之后，没有人取得成功。就连大数学家拉格朗日不得不坦言：“这个问题好像是在向人类的智慧挑战”。

1799年，意大利数学家鲁菲尼首次证明了“高于四次的一般方程的不可解性”，但其“证明” 存有缺陷。1818年，年仅16岁的挪威数学家阿贝尔，在研究了鲁菲尼等前人总结的成果之后，坚定地对他的老师说：“让我来解答这一历史难题吧，我能证明四次以上的方程是否有解。”

年轻而聪明的阿贝尔经历了六年时间的艰辛努力，于1824年，他修正了鲁菲尼论证中的缺陷，还证明了鲁菲尼之前未加证明的关键性命题，人们称之为阿贝尔定理，这也是最早的“置换群”的思想，阿贝尔就是应用这一思想证明了“高于四次的一般方程”不能有“根式解。”

1824年，阿贝尔将他这篇生命中最为重要的研究成果写成论文《一元五次方程没有代数一般解》，寄给了当时的数学权威高斯，可惜并没有得到高斯的回复。后来他又寄给科学院秘书傅立叶，这位大数学家由于工作实在是太忙，只是匆匆地读了论文的引言，便交给了大数学家柯西审查，结果柯西将论文带回家中之后，竞然弄丢了。

无奈之下，阿贝尔最终于1826年将它的论文刊登在了朋友新创办的杂志第一期上。人们将他的成果与鲁菲尼的成果合称为“阿贝尔—鲁菲尼定理”。

阿贝尔—鲁菲尼定理证明了“五次及更高次的代数方程没有一般的代数解法”，但是也发现有的方程能用根式解。来不及给出判断证明什么情况下能用根式解，什么情况下又不能用根式解。年轻的阿贝尔的才能由于没能及时得到学术界的认可，以至于他连最基本的生活都无法得到保障，一直处于贫病交加的困境之中，来不及完成这些工作，就因病去世了。

阿贝尔逝世之后，他的遗作有一篇未完成的手稿：“关于函数的代数解法”，为后来伽罗瓦遗作的出版开辟了道路。几年后，伽罗瓦接过他的工作，用“群”的方法彻底解决了“代数方程”的可解性理论问题，也就是后来著名的“伽罗瓦理论”。

1829年，伽罗瓦将他在代数方程解的结果呈交给法国科学院，没想到这次论文跟阿贝尔的论文的命运一样，也落到柯西的手里被弄丢了。

真是屋漏偏遭连夜雨，当伽罗瓦在学术上处处碰壁的时候，噩耗传来了，他的父亲因为在政治活动中被人恶意中伤而自杀。

在学术上心灰意冷的伽罗瓦转向了政治运动，为他的父亲复仇。1830年12月，伽罗瓦因抨击校长被学校退学，最终因政治原因下狱。在监狱中，伽罗瓦依然放不下他热爱的数学研究，不断地修改着他那篇不被学术界认可的论文。

1832年3月，他在狱中狂热地爱上了一位医生的女儿，并且接受了情敌的决斗。在决斗前的那一个晚上，他已经心无所恋，唯一放心不下的就是他这些年来苦心研究出来的数学成果。他交代他的朋友，在他死后一定要将这些数学成果想办法公之于众。

他的朋友按照他的遗愿将这些数学论文寄给众多的数学家，以期得到帮助，但是都石沉大海。直到1843年，这篇论文才被大数学家刘维尔看到。

刘维尔注意到了伽罗瓦用“群论”的方法去讨论方程式的可解性，他被伽罗瓦这种独创而深邃的理论所震憾。刘维尔经过三年时间的努力，终于将这一伟大成果公之于众。

“一元五次方程”是否有根式解这一延续了三百多年的难题终于尘埃落定。数学家们在漫长的岁月里解决这一难题的过程中，所收获的意外成果远远大于所得到的答案本身。特别是伽罗瓦所做的工作，使得一门崭新的数学分支“群论”诞生。伽罗瓦的一整套想法现称为伽罗瓦理论，构成了当代“代数”与“数论”的基本支柱之一。

人们都说，如果阿贝尔和伽罗瓦等年轻的数学家能够活到像高斯一样的年龄，那么他们所能做出来的成就是无法想象的。然而假设永远只是假设，他们就像流星一样过早地消失在了人类文明的夜空，这一切永远都是人类无法弥补的遗憾，唯有他们的名字，被永远地镌刻在人类历史的丰碑上，被人们所传颂。