在线计算专题(03)：具体、抽象函数的导数、微分与方向导数的计算

　　导数与微分是微积分内容的基础，就计算来说一元函数与多元函数的导数的计算思想一致. 不管是一元函数还是多元函数，导数、偏导数的计算都是将函数视为求导变量的一元函数求导数。微分在描述形式略有区别，但是其计算方法还是一样，只不过多元函数需要多计算几个导数而已.

　　本文将以具体实例形式，介绍线上计算具体、抽象函数的导数（偏导数）、微分与多元函数方向导数的计算方法.

　　目录：

　　1、一元、多元函数导数与导数值计算

　　2、一元、多元函数高阶导数的计算

　　3、抽象复合函数的一阶、高阶导数计算

　　4、全微分的计算

　　5、方向导数的计算

　　工具：WolframAlpha计算搜索引擎

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　　特别提示：如果使用网页版执行操作，不需要下载、安装任何软件，也不需要点任何链接，直接网页打开的那个搜索文本编辑框(如下图)输入表达式就可以了！系列推文中除特别强调外，显示的结果都能直接看到的！

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　　执行界面：网页、手机或平板等操作界面基本一致.

　　1、一元、多元函数一阶导数与导数值的计算

　　例1 计算以下函数的导数，并求在 处的导数值：

　　输入表达式为

　　d/dx((x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x))

　　执行后的结果如下图所示.

　　结果不仅显示导数结果，也给出了函数在不同范围内的图形. 输入表达式也可以直接以更自然的语言描述形式输入，比如输入：

　　derivative of (x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x)

　　执行计算得到的结果一致.

　　在以上两种输入的表达式后面加上where x=1，比如输入

　　derivative of (x^3)cos(5x^2+e^(2x))-ln(3x^3-2x) where x=1

　　执行计算后即得到导数值为

　　例2 计算以下函数的一阶偏导数和在 处的偏导数值：

　　关于 的偏导数计算输入表达式为

　　d/dx(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

　　执行后的结果为

　　结果除了最上面给出导数结果之外，在下面还以不同的形式给出了导数结果描述. 另外给出了二元函数的定义域与关于 变量的带皮亚诺余项的麦克劳林公式.

　　在以上表达式后面加上where (x,y)=(1,1)，即可得该点处的偏导数值. 即输入

　　d/dx(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2)) where (x,y)=(1,1)

　　执行计算后得到导数值为 .

　　关于 的偏导数计算输入表达式只要将以上输入表达式中的求导变量改为y就可以了. 即

　　d/dy(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

　　执行后的结果除了导数结果不同外，其余显示内容基本一致. 其中在 处的一阶导数值为 .

　　【注】 以上求导变量也可以指定 为求导变量，比如输入

　　d/da(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

　　则计算结果为 ，即对变量 求导，并显示导数结果图形.

　　2、一元、多元函数高阶导数的计算

　　例1 计算以下函数的50阶导数：

　　输入表达式为

　　d^50/dx^50((x^2)cosx)

　　执行后的结果显示为

　　例2 求以下函数关于 的三阶偏导数与关于 的二阶偏导数的混合高阶偏导数：

　　输入表达式为

　　d^3/dx^3 d^2/dy^2 ((x^2+y^2)e^(x+y))

　　执行后显示结果. 结果除了显示偏导数外，还会显示结果曲面图、等值线图，可能的其他表达形式以及方程的根分布情况，级数展开形式，不定积分及诶过与极小值点与极小值等信息，如下图.

3、抽象复合函数的一阶、高阶导数计算

　　将上面具体函数求导的函数表达式换成抽象函数即可.

　　例1 计算下列函数的一阶、二阶导数：

　　输入表达式为

　　d/dx (x^2)f(3x+4cosx), d^2/dx^2 (x^2)f(3x+4cosx)

　　执行后的结果为

　　由于除了 外还包含其他符号，所以结果以偏导数描述形式其输入形式.

　　例2 计算以下函数的导数 ：

　　输入表达式为

　　d^2/dx^2 f(x y, x^2-y^2), d/dx d/dy f(x y, x^2-y^2)

　　执行后的结果为

4、全微分的计算

　　由于一元函数的微分就是导数乘以自变量微分

　　即完全可以直接归结为导数的计算，下面仅仅介绍多元函数全微分的计算方法.

　　例 计算以下函数的全微分：

　　直接输入表达式为

　　derivative of a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2)

　　自动识别变量为 , ，执行计算后的结果不仅会得到全微分表达式，也会单独列出两个偏导数. 显示结果如下：

　　其中derivative可以替换为differential. 也可以直接基于Wolfram语言，也即Mathematica中的命令来执行计算，比如输入表达式

　　Dt(a sin(x^3+y^2)-(x+y^(1/2))^(1/2))

　　则将表达式中的符号都识别为变量符号，执行计算得到全微分表达式. 如下图.

　　只要令结果表达式中不是变量的符号，比如这里a它的微分令为0，即 ，得到的结果就是关于所有变量的微分表达式.

　　5、方向导数的计算

　　例1 计算以下函数指定方向的方向导数：

　　输入表达式为

　　derivative of x e^(2y)+cos(x y) in the direction (3,-4)

　　执行后的结果显示为

　　不仅给出了方向导数，也给出了函数的梯度向量.

　　例2 计算以下函数指定方向的方向导数：

　　输入表达式为

　　derivative of f(x,y) in the direction (a,b)

　　执行后的结果显示为

　　例3 计算以下函数指定方向和点处的方向导数：

　　输入表达式为

　　derivative 3x^2+2y^2+z^2 in direction (-2,-2,1) at point (1,2,3)

　　执行后的结果显示为

　　当然以上计算也可以直接依据求偏导数与方向导数计算公式，逐步计算代入得到结果.