学完数学史上诡辩学派的三大数学难题，我现在强得可怕！

自从在公元前480年的萨拉米斯海战中击败波斯帝国后，古希腊的发展日益繁荣，其首都雅典逐渐成为该国的政治和文化中心。

当时，雅典的普通公民把与生活直接相关的工作完全交给奴隶，自己则热衷于政治和学术，并雇用智者，也就是职业教师来提升自身的文化素养。后来，辩论技巧也成为一项教学内容，因此智者学派也被称为诡辩学派，他们还研究了著名的三大尺规作图难题。

01

第一个数学难题

三等分角

三大难题中的第一个问题是“将任意给定的角三等分”。

智者学派利用尺规作图轻而易举地解决了“将任意给定的角二等分”的问题。具体做法为：假设给定，首先以顶点O为圆心，取适当的半径画圆，与的两边AO、BO分别相交于点C和D。再分别以C、D为圆心，取适当的半径（通常和前面的半径保持一致）画圆，两圆的交点为P，则射线OP将二等分。

智者学派由此获得灵感，想方设法去解决将给定角三等分的问题。然而，无论他们怎样努力，利用尺规作图的常规方法都无法将任意给定的角三等分。

后来，他们想到借助上页底图右侧这种工具来解决将角三等分的问题。在该工具上，P、Q、R、S为等间距排列的四个点，并装有以R为圆心、RS为半径的半圆。此外，QT为垂直于PS的尺子。

若想将任意给定的三等分，则需利用这个工具让点P置于边AO之上，尺子QT经过顶点O，半圆与边BO相切。如上页底图左侧所示，直线QO和RO将等分。

02

第二个数学难题

倍立方

三大难题的第二个问题是“作一个立方体，使它的体积是已知立方体体积的两倍”。

智者学派利用尺规作图同样轻而易举地解决了“作一个正方形，使它的面积是已知正方形面积的两倍”的问题。具体做法为：假设已知正方形为ABCD，只要以其对角线AC为一边作出正方形ACEF，就能满足它的面积为正方形ABCD面积的两倍。为什么这么说呢？

以下证明过程一目了然。

那么，智者学派肯定也思考过“作一个立方体，使它的体积是已知立方体体积的两倍”这个问题。关于这个问题还有个颇有意思的传说。

某一时期，一场瘟疫袭击了提洛岛，无论岛民如何抗争，都无法阻止这场瘟疫蔓延。

岛民认为这场灾难是招惹神怒所致，于是来到光明、医药、诗歌、音乐、预言之神阿波罗的神像前请示神谕。阿波罗给出的指示是“在保持形状不变的前提下，把我神殿前的立方体祭坛的体积扩大一倍。按我说的做，瘟疫会立刻消失”。

于是，岛民便去向数学家请教这个问题的解法。这就是这个问题的开端。所以，这个问题除了被称为倍立方问题，也被称为提洛岛问题。

数学家尝试用尺规作图来解决这个问题，但最终发现不可能做到。希波克拉底（约公元前460—约公元前370）设最初的立方体的一边长为a，若能找到满足以下条件的x和y，则x为所求立方体的边长。

事实上，根据以上比例式可得以下两个等式。

由此可知

因此

但是，希波克拉底依旧无法利用尺规作图的方法找到这样的x和y。他解决这个问题的方法会在稍后介绍。

03

第三个数学难题

化圆为方

三大难题的最后一个问题是“作一正方形，使其面积等于一给定圆的面积”。这个问题被称为化圆为方问题。

众所周知，任意圆的周长与直径的比值都是一个常数，这个常数叫作圆周率。因此，若用l表示圆的周长、r表示半径、π表示圆周率，则

此外，令半径为r的圆的面积为S，则

接下来我们来证明这个事实。为什么S=πr2？

首先，用给定圆的半径将该圆等分成尽可能多的部分。然后，如同把橘子切开那样将分割后的圆展开。

于是便可得到上图中的（1），再复制一个与其完全相同的图（2），然后将其中一个倒过来插入另一个，得到图（3）。那么，随着分割方式越来越精细，该图将逐渐接近于宽为r、长为圆周长的长方形，即图（4）。但是，由于圆的面积S为这个长方形面积的一半，因此

由以上证明过程可知，若想作一正方形，使其面积等于给定圆的面积，则需如上页图所示作一长方形，使其宽为圆的半径、长为圆周长，然后作一面积为该长方形面积一半的正方形。然而，对于智者学派而言，这也无法用尺规作图实现。

来源：图灵新知