《人类科学技术史-106》中国魏晋南北朝时期的数学

中国魏晋南北朝时期的数学

《九章算术》的问世，标志着中国古代数学体系已初步形成。在这个基础上，魏晋南北朝时期(公元3-6世纪），数学又得到长足发展，取得了许多辉煌的成就，对《九章算术》的检验、赵爽的《周髀算经注》、刘微的《九章算术注》及其他成就都极为重要，而祖冲之父子的贡献更将这一时期的数学推向高峰，使之成为中国数学发展史上的黄金时代。

1.赵爽与《勾股圆方图注》

赵爽(约公元3-4世纪）是我国历史上著名的数学家，他在数学方面的成就，主要体现在《周髀算经注》一书中，其中尤以《勾股圆方图》最有价值。《勾股圆方图》是作为《周髀算经》的注文而存于书中的，全文只有530余字，但却包含着很重要的内容。赵爽在《图》中利用图形的移补凑和而面积不变法(称为演段术），第一次从理论上证明了勾股定理，并解出勾、股、弦及其和差互求问题36种中的24种。另外，图中还有二次方程的问题，赵爽得出了与"韦达定理"类似的结果，并得出二次方程的根，这是世界上最早的求根公式之一。

另外，赵爽对分数也有研究，并将分数运算上升到理论高度，即同分母运算法。

2.刘徽及其成就

刘徽是中国伟大的数学家，生活在三国时代，曾从事度量衡考校工作，研究过天文历法，还可能进行过野外测量，但他在数学上的贡献远比在天文上卓越，主要成就是：

第一、形成了自己粗略的数学思想：主张对具体问题具体分析，不拘于一法，注意寻求数学内部的一般规律、转化、推理的逻辑性以及数学的直观性等。

第二、从理论上明确了分数的性质，创造了十进分数制(即十进小数制的变形），这是世界上第一次提出十进分数概念。

第三、对正、负数有了一定的认识，并给出了较明确的定义以及运算法则，是后来有理数运算的基础。

第四、十分重视比例算法，明确了比例的性质，并将分数运算进一步理论化。他还用比例配分法来解线性方程组，并创造了方程的新解法——方程新术，从理论上为《九章算术》中的"直除法"提供了依据，并对直除法进行了改进。在解二元一次方程组时，他创造性地运用了"互乘对减"的方法(即后来的加减消元法），并将此法推广到多元一次方程组的解法中。

第五、研究了等差级数，并得出求和公式。

第六、创造了"割补术"(即"出入相补原理")，并用割补术论证了立体的体积公式，同时还创造了利用模型的论证方法，这是中国最早运用逻辑推理的方法来论证数学命题的科学尝试。而且，在实践中表现得最为明白，公元263年，他注《九章》时，对所有的命题都给出了证明或说明。正是利用割补术，他创造了一条关于计算体积的定理，为我国球体体积的研究奠定了基础。

第七、创造了"割圆术"，指出过去的圆周率近似值的粗疏。在《方田》中，运用"割圆术"系统，严密地利用内接正多边形的面积无限逼近圆面积的办法来求圆周率，他为此计算到内接正3072边形，由此求得圆周率近似值为π＝3927/1250=3.1416这一数值已相当精确，比欧洲早1000余年。在此过程中，他创立并使用了极限，他说："割之弥细，所失弥小，割之又割，以至不可割，则于圆合体而无所失矣。"

第八、《九章算术注》的最后一部分《重究》，总结和研究了古代劳动人民的测量术，发展了"二重差方法"，将相似三角形的性质进一步阐述，并广泛应用。这种重差术的出现，表明了刘徽在测量上的造诣之深，远远超过当时世界各国数学家的水平。唐代以后独立成书，称为《海岛算经》。

第九、在继承前人成就的基础上，利用图形对勾股定理进行系统多角度地证明，并将它推而广之。

刘徽注解《九章》，并在数学的许多方面作出卓越贡献，这是空前的壮举，这使他在中国数学史和世界数学史上永耀光采。

3.六部算经

与刘徽同时代，我国曾出现6部有影响的数学著作，它们是约于公元四五世纪成书的《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张邱建算经》、《五经算术》和《数术记遗》。但这些书的作者履历和编写年代不很清楚。这些书较全面地介绍了当时中国在数学上的成就，影响较大，后来都被列入唐初十部算经之中。特别值的注意的是《孙子算经》，该书约成书于公元四五世纪，提出了"物不知数"的问题，兼作了解答。《孙子算经》卷下记载："今有物不知其数，三三数之剩二、五五数剩三，七七数之剩二，何物几何？答曰：二十三。"后经南宋秦九韶发展成为一次同余式理论，被称为"中国式的剩余定理"。在欧洲直到1801年德国人高斯才提出同一定理。

4.祖冲之父子的贡献

祖冲之(公元429-500年），字文远，今河北涞水县人，曾在南朝刘宋政权任从事史、公府参军等职，长期从事天文历法和数学研究，公元463年制成《大明历》，对前人历法进行了修改。在萧齐政权曾任长水校尉等职。对机械制造感兴趣，曾制造了指南车、千里船、水碓磨、欹器、刻漏及其他运输机械。他还在古籍研究上有一定贡献。但他最大的成就是在数学方面。他给《张章》和刘徽的《重差》作过注，并著有《缀术》一书。

祖冲之的儿子祖暅，博学多才，曾两次建议梁朝政府推行《大明历》，撰有《天文录》30卷、《漏刻经》1卷、《缀术》6卷(与祖冲之的《缀术》同名），继承和发扬光大了祖冲之在数学方面的成就。

他们的成绩非常显著，主要有：

第一、圆周率的计算。根据《隋书.律历志》的记载，祖冲之是在前人的基础上进行了更为精密的计算。他以一丈作为圆的直径，并把它为分一亿份，一份为一忽，计算出圆周长应在3丈1尺4寸1分5厘9毫2微7忽和3丈1尺4寸1分5厘9毫2微6忽之间。即3.1415926＜π＜3.1415927将圆周率精确到小数点后第7位数字，这比西方早了近千年。祖冲之在进行计算时，给出了两个分数值的圆周率，即密率(精确值）π＝355/113=3.1415927，约率：π=22/7=3.14，又称"祖率"，也比西方早了1，000多年。

第二、球体体积的计算。祖冲之父子完全采用刘徽计算球体体积的方法，用牟合方盖(即立方体内切球）来计算。为使问题简化，他们仅用1／8的立方体和所含的1／8的方盖。

这样，祖氏父子用直截面积相比的方法巧妙地解出了球的体积问题。这就完成了中国立体几何的系统性，不失为一项伟大的贡献。从此，"等高处截面面积相等，则二立方体的体积相等"这一祖氏定理得到广泛应用，产生了极大的影响。国际上称同样的定理为卡瓦列利定理，是晚于祖暅1000余年之后发现的。