人类数学史上三次危机，最后一个危机或许永远解决不了！

在每个人的成长过程中，数学始终伴随我们左右。从最初的牙牙学语，到后来的学校教育，我们都在与数学这个学科紧密接触。

起始阶段，家长们常常向我们灌输的是1、2、3、4这些基础数字。随着我们步入幼儿园，简单的加减运算开始融入我们的生活。

如果从历史长河的角度来看，数学的演进似乎也经历了类似的过程。最先萌芽的，是计数的概念，如古人用结绳记事来记录数量，都是从自然数开始的。

在早期人类的思想里，自然数仿佛是最纯净的数字体系，它们与自然界的种种现象有着最直接的联系。

然而，随着对世界的认知加深，人们意识到自然数已经不足以描绘我们周遭的世界。比方说，若要将一个苹果平分给两个人，每人得到半个苹果，那半个苹果该如何用数字表示呢？

于是，分数或小数的概念应运而生，人们对数学的理解又推进了一步。

在数学研究的深入过程中，人们察觉到数学的简洁和优美，相信它能阐释自然界的任何现象。

但是，一个突如其来的发现，彻底颠覆了人们之前的认知。

当研究到等腰直角三角形时，人们发现了一个不寻常的情形：当两个直角边长均为1时，斜边的长度——根号2——是个无限不循环的小数。无论用何种方式计算，它都似乎永无止境。

更加让数学家们焦虑不安的是，根号2不仅是无限的，它还毫无规律可言。它不像1/3那样虽长，但至少可以通过分数清晰地表示。

这是第一次，人们对于自然数的简洁性提出了质疑。而且，人们还发现，像根号2这样的无理数在数学世界中并不罕见，它们似乎比有理数还要多。

人们开始认真探究无理数背后的秘密，觉得其中一定隐藏着更多深奥的数学真理。

而在此过程中，数学领域迎来了首次危机，最典型的例子便是芝诺的悖论。

简明扼要地讲，这个悖论是关于你和一只乌龟赛跑的故事。乌龟在你前方100米处起跑，而你的速度是乌龟的十倍。你跑完100米时（乌龟起始位置），乌龟已经跑了10米。当你跑完这10米时，乌龟又前进了1米。以此类推，你永远在乌龟的前面一段距离。由此推断，你永远无法追上乌龟。

但现实情况是，你很快就可以赶上乌龟，只要你速度比它快，不管一开始乌龟领先多少，你总能追上并超过它。

这引发了人们对无穷的思考。人们意识到，尽管空间可以无限划分，但你拥有的时间是有限的，你无法在有限的时间内完成无限多的事情，因此不会陷入芝诺悖论的困境。

就如1+1/2+1/4+1/8……这个无穷级数，其和并不会无限大，而是一个有限的数。

对无穷的正确理解，使得人们成功地化解了第二次数学危机。

第二次数学危机，用通俗的话来讲，就是0.999……和1是否相等的问题。早期人们普遍认为，0.999……始终小于1，因为它的循环小数永远无法触及到1。

然而后来，人们意识到0.999……实际上等于1，它们代表的是同一个数。

实际上，第二次数学危机的核心还是关于微积分的理解问题。

直到今天，仍有很多人没有学过微积分，未能掌握微积分的实质，依旧认为0.999……小于1。

第三次数学危机则被称为集合论悖论，最为人知的例子是“罗素悖论”。假设有一个理发师，他的店门口挂着“能为所有不能给自己理发的人理发”的招牌。那么问题来了：这位理发师能否给自己理发？

如果他能，则招牌上所言不实。如果他不能，招牌同样存在问题：因为理发师无法给自己理发，但招牌上却称“能为所有不能给自己理发的人理发”。

有人认为“罗素悖论”其实是逻辑上的诡辩，是集合定义上的混乱。无论如何，没人能对它做出完美的解释。

还有一种通俗解释：上帝是否能创造出一块他自己搬不动的石头？无论答案是能或不能，都存在逻辑上的矛盾。

从概念上讲，与其说罗素悖论是集合上的悖论，不如说它是哲学上的一个概念，一种本体论。

这个悖论总是试图将自身置身事外，结果却发现它自己也处在某个事物的范畴之内。所以最核心的问题是：是否真的有“处于事物之中”这个概念？

这其实也是唯心主义的一种体现。如果整个世界只是你主观幻想的假象，那么“你”本身是否也是一种假象？

如果答案是肯定的，那么，你对“世界是假象”的质疑是否也是一种假象？

如此循环下去，就会陷入思维的死胡同，无法自拔！