高中没毕业直接读博，17岁少女推翻40年数学猜想后的下一步

时令 发自 凹非寺
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11岁学会微积分，14岁具备大学水平的数学能力，17岁推翻40年前数学猜想。

如今虽未高中毕业，却已获得马里兰大学博士的录取资格。

在北大校友张瑞祥老师的指导下，汉娜·凯罗不断突破极限。

今年2月份，年仅17岁的汉娜推翻Mizohata-Takeuchi猜想，震惊数学界。

Mizohata-Takeuchi猜想，诞生于上世纪80年代，是连接调和分析、偏微分方程和几何分析的核心桥梁。

如果它被推翻，几十年来关于傅里叶限制、PDE良性等核心问题的思考，也要重新更改思路。

这简直是给整个学术界扔下一枚“重磅炸弹”！

怪不得数学家们接连感叹：

• 哇！这可是我近40年最喜欢的问题，而这个结果让我彻底震撼。
• 当我得知汉娜的年龄比我原先以为的还要小得多时，我更加惊讶。她写这篇论文的程度，简直非同凡响。
• 我可以肯定，从现在开始，每当我们遇到类似类型的问题时，都会尝试用“汉娜式构造”来检验它。

汉娜彻底火了，关于她如何解决这一猜想的更多故事细节也逐渐曝光。

数学，带她穿越孤独，走向广阔世界

汉娜在巴哈马的首都拿骚长大，和她的两个兄弟一样，在家接受教育。

她最初接触数学，是通过可汗学院的在线课程，没过多久便完成了全部课程。11岁时，她已经学会了微积分。

很快，现有的网络课程已无法满足她的学习需求。

父母为此给她找了两位数学教授进行远程辅导，先是韦尔斯利学院的Martin Magid，后是克拉克大学的Amir Aazami。

虽然有老师指导，但她的大部分学习内容都是自学的，自己阅读和消化了导师推荐的研究生数学教科书。

因此，Amir Aazami老师对收她的学费感到不好意思，因为他觉着没有真正教汉娜，大多数时间都是她自己阅读书籍并尝试证明定理。

但汉娜很快发现，在家上学让她感到束缚。

• 那种日子总是千篇一律，无法逃脱。不管我做什么，几乎都是在同一个地方，重复着相似的事情。我感到非常孤独，无论做什么都无法改变这种状况。

这时，数学成了她的精神寄托，为她在日常生活中打开一片广阔天地。

她欣喜地的说道：

• 数学是我可以探索的另一个世界，一个不受限制的世界，一个我只要思考就可以随时进入的世界。

正是这种将数学视为可供探索的思想空间，让她以不同于常人的方式看待数学。

2021年，新冠疫情改变了许多人的生活节奏，也意外地拓宽了汉娜的世界。

由于旅行限制，她和家人被迫滞留在芝加哥祖父母家中。

正是在那段时间里，她接触到了芝加哥数学圈——一个由学生和导师组成的社区，大家聚在一起，一同思考和攻克数学难题。

这次经历激发出她更深入地探索数学的渴望。次年，她申请了由伯克利数学圈举办的为期两周的在线暑期课程。值得一提的是，这个项目被认为是全球最顶尖数学苗子的摇篮。

在申请材料中，她详细列出了一整套自学课程，涵盖内容之广，已经相当于一个高级本科学位的水平。

那一年，她仅14岁。

伯克利数学家、伯克利数学圈创始人Zvezdelina Stankova赞赏道：

• 汉娜简直超乎寻常。每次她申请学校或项目时，都已经遥遥领先好几个层次。

然而这些经历并未让汉娜认定自己在数学方面有多么出众的天赋。

她性格温和、待人谦逊，对于自己的能力如何与他人相比似乎始终抱有疑问。

某种程度上，是因为多年来，她只能以自己为参照对象。

• 小时候，我并不确定自己是不是有天赋。
• 我喜欢弹钢琴，身边的人也常说我在数学和钢琴方面都很有才华。现在回过头来看，我确实觉得自己的钢琴水平高于平均，但称不上真正的优秀。至于数学嘛，好像……就那样吧。

一份华人教授留的家庭作业，开启破解猜想的大门

2023年，在伯克利数学圈度过了第二个夏天后，汉娜开始思考她的下一步该做什么。

她申请了几所大学，尽管大多数学校以她尚未完成高中学业为由婉拒了她，但加州大学戴维斯分校向她抛来了橄榄枝。

是要提前三年开始大学生活？还是要在其他地方寻找机会？

这时，Stankova鼓励她参加伯克利的并行注册项目。通过这个项目，她可以直接修读由顶尖学者开设的研究生数学课程。

汉娜采纳了这个建议。

2023年秋天，她的家人搬到了距离伯克利约60英里外的戴维斯。在那里，她的哥哥就读于加州大学戴维斯分校，父母则允许她每周二和周四前往伯克利上课。

不久后，她的学习节奏明显加快。到了春季，她已经每周通勤五天，同时选修了更多课程。

回忆那段时光，她说，“那是她生命中开始感到充满无限可能的时期。”

• 我开始交到朋友，心情也越来越好。

春季学期结束后，她的家人从戴维斯搬到了伯克利——她的哥哥决定转学到那里。

而对汉娜来说，这次搬家也意味着她终于可以真正安定下来，融入这座她心之向往的学术之城。

尽管如此，这一切对她来说依然是个适应过程。

她坦言道，“我之前没有太多社交经验，所以还得学着如何与别人相处。”

随着2024-2025学年的临近，汉娜开始思考自己将选修哪些课程。

其中有一门课尤其吸引了她——傅里叶限制理论研究生课程，这是一门属于调和分析领域的高级课程。

她说，“这是那学期开设的最顶尖的分析课程之一，我想，干脆就去试试吧。”

这门课程的教授是张瑞祥，一位成就卓著的数学家。

2008年，他获得了国际数学奥林匹克竞赛金牌；随后，取得了普林斯顿大学的博士学位；之后在高等研究院完成了博士后研究；如今，他在世界顶尖的伯克利大学数学系担任终身教职。

一份家庭作业推翻40年前数学猜想

汉娜给张教授发了一封邮件，表达了自己想报名这门课程的愿望。“汉娜非常专注，对这个课题充满热情，”张教授回忆道，“光凭这一点，我就决定批准她的申请。”

几周后，在做作业中的一道习题时，汉娜遇到了一个令她无法停止思考的问题。

这个问题是Mizohata-Takeuchi猜想的简化版本。张教授将其作为热身题放在作业里，希望鼓励学生们在这一深奥数学领域练习高级技巧。

作业中还附带了一个选做的拓展题，邀请学生们思考能否将简化版的证明推广到更复杂的问题。

汉娜完成了这份习题，并继续深入思考下去。对她来说，沿着一个想法一直探索到底，是再自然不过的事了。

Mizohata-Takeuchi猜想属于调和分析领域，该领域专注于研究函数如何由波动成分构成。

具体而言，任何函数都可以拆解成一系列更简单的波形，这些波形称为正弦波。每一个正弦波都有对应的频率。数学家们常常希望理解那些仅由特定频率的正弦波构成的函数的性质。

在这种情况下，允许出现的频率必须满足一定的方程，从而限定在特定的曲面上，比如球面。

这是因为许多物理波动（如光波、声波以及量子波）的函数，其频率都被限制在这类特定的曲面范围内。

简单来说，这就像是在一个形状奇特的房间里演奏音乐。有时候，音乐会在房间的某些角落回响、放大，声音变得非常响亮。但这种现象只能出现在特定的位置，而不会在房间的每个角落发生。

几十年来，数学家们仅在Mizohata-Takeuchi猜想的几个特殊情况下取得了有限的进展，而整体问题始终未被攻克。所有常见的数学工具似乎都无能为力。

这种“不可触碰”的状态，让一些数学家怀疑这个猜想根本不成立，但也有人觉得，正因为它陈述得如此简洁，反而更有可能是真的。

爱丁堡大学的数学家Tony Carbery回忆道，他花了几十年研究这个问题。

• 有些早上，我醒来时会觉得，它那么简洁、那么广泛，到最后一定是真的。但也有些早上，我醒来时会说……它根本不可能以任何简单方式成立。

在寻找这个难题证明的路上，数学家们陷入了僵局。

他们怀疑自己的方法，怀疑直觉，怀疑当下看似有希望的想法是否真的能走到底。

对于汉娜来说，这些怀疑更是被放大了。她是该领域的新人，最初试图证明整个猜想的努力，往往只是一些零碎、尚不成熟的尝试。

她不确定自己是否走在正确的道路上，张教授也有同样的疑虑。

汉娜在答疑时间问他：“这些思路行得通吗？”结果张教授告诉她，“不行，因为太天真了。”

• 我不断地去找他，带着新的想法问他：“这个可以吗？”他又会说：“不行。”

尽管如此，汉娜没有停下脚步，她继续阅读文献、不断思考。

最终，她找到了一个办法，构造出一个奇怪而复杂的函数，这个函数由一些频率落在特定曲面上的波组成，正是猜想所描述的那类曲面。

通常来说，把这类波叠加起来，它们会互相干扰——有些地方相互抵消，有些地方相互增强。

但汉娜发现，在她构造的函数中，这些波并没有如预期那样互相抵消。相反，它们的干涉产生了不均匀的图案，使得函数的能量在一些区域扩散，而在另一些区域聚集，呈现出一种分形式的结构——而这恰恰是Mizohata-Takeuchi猜想所禁止的现象。

起初，她并不确信。她说，“这种情况我经常遇到，我以为自己找到了一种证明，看起来像是对的，但后来会发现其实是错的。”

但接下来，两件事改变了一切。

首先，她意识到，可以用一个更简单的构造替代原来的复杂结构，依然得到相同的结论。

其次，她终于说服了自己，也说服了张教授：这个结果是对的。

在完成那个长达40年无人攻克的猜想后，她做出了一个大胆的决定——直接申请博士，跳过本科，甚至没有高中文凭。

在她看来，自己早已过着类似研究生的生活，进入博士阶段只是顺理成章的下一步。

她一共申请了10个博士项目，其中，6所学校因她没有本科学历直接拒绝了她，另外两所虽然录取了她，但最终被校方高层否决。

只有马里兰大学和约翰斯·霍普金斯大学愿意破格录取她，直接进入博士阶段学习。

今年秋天，汉娜将正式在马里兰大学开始她的博士之旅。

而当她毕业时，这将是她人生中的第一个正式学位——博士学位。

参考链接：https://www.quantamagazine.org/at-17-hannah-cairo-solved-a-major-math-mystery-20250801/