弦/M理论中的膜 Branes in String/M-Theory1

弦/M理论中的膜 Branes in String/M-Theory1

https://arxiv.org/pdf/2502.11575

摘要
本文是作者在2006年北京亚太超弦及有关课题导论学校上的讲义记录，以及2023年第三届南京弦、场与全息暑期学校的扩展版本。旨在从历史和教学角度回顾所谓第二次弦论革命早期发现1/2 BPS延展弦孤子的发展历程，此前这些对象被认为与弦无关。本文还讨论了与膜/反膜系统或非BPS系统相关的非超对称解。

1 概述/动机
超弦理论发展过程中发生了两次革命。在所谓第一次超弦革命（1984–1985年）期间，确立了存在五种微扰上自洽的量子超弦理论，即IIA型、IIB型、I型、杂化SO(32)型和杂化E8×E8型，每种理论都需要10维时空（九个空间和一个时间）和时空超对称性。在所谓第二次弦论革命中，人们发现了许多非微扰态，如今称为p-膜或NS-NS p-膜和Dp-膜，这些对象在该革命中发挥了重要作用，催生了各种对偶性，并揭示了一种唯一但尚未完全建立的统一理论——M理论的存在（例如见[1]）。

M理论具有最大的十一维时空，不仅统一了五种已知的十维微扰弦理论，还将曾经孤立的十一维超引力理论作为六种不同的极限情况统一起来，如图1所示。

它还解答了第一次弦论革命后遗留的许多难题，例如所谓的“令人尴尬的丰富性问题”（弦理论太多而现实世界只有一个）以及十一维超引力的地位问题。特别是，Dp-膜具有闭弦或开弦的对偶描述，这为AdS/CFT对应关系以及M理论的矩阵理论猜想提供了基础。

第一次超弦革命：

在超弦与超膜的早期，量子引力与大统一理论领域存在两种观点。当时弦论学界（主要在美国）非常反对研究超膜，即空间维度高于一的延展对象，其简单原因在于：只有作为（1+1）维共形场论（CFT）的弦，由于具备足够的底层局域对称性（特别是Weyl对称性），才有可能实现第一量子化；这种对称性可用于在给定坐标片中将世界面设为平坦，从而意味着世界面上不存在物理传播的引力，或等价地说，世界面引力被解耦。

而欧洲（主要是在英国）的人们则持不同看法，他们提出：既然人们对弦这类一维对象感兴趣，为何不考虑更高维度的延展物体来研究量子引力呢？这种观点背后有一定的合理性。

当格林（Green）和施瓦茨（Schwarz, GS）利用沃伦·西格尔（Warren Siegel）从超对称粒子作用中发现的所谓费米型局域κ对称性[3]，构造出具有明显时空超对称性的I型和II型超弦理论时（即所谓的格林-施瓦茨超弦理论形式体系），无需借助Gliozzi-Scherk-Olive（GSO）投影，但必须满足一定的Γ矩阵恒等式。这种恒等式仅在时空维数D = 10、6、4和3时成立，这些维数恰好也是超杨-米尔斯理论存在的维数。这导致人们一度认为，对于空间维数大于一的延展物体（即高维膜），其世界体积作用量很难存在类似的κ对称性，从而无法实现明显的时空超对称。

然而，已故的波尔钦斯基（Polchinski）及其合作者成功突破了这一限制，他们明确地展示了这种局域费米对称性可用于构造六维时空中的超膜（实际上是一个超3-膜）作用量[4]。

在此之后不久，伯格舍夫（Bergshoeff）、塞津（Sezgin）和汤森（Townsend）[5]沿用相同的方法，找到了其他d和D取值下的相应作用量，这类物体被称为超p-膜，其中p = d − 1表示世界体积的空间维数（此处D表示时空维数）。例如，对于十一维超膜作用量，他们证明：当超膜与超引力相互耦合时，κ对称性本身要求十一维超引力必须处于“在壳”状态，即十一维超引力的运动方程（EOMs）必须成立。

这在某种程度上暗示：如果超膜能够被成功量子化，那么十一维超引力的多重态似乎就对应于超膜的无质量模态。

在此之后不久，一大类在不同维度中的超p-膜的类似波利亚科夫（Polyakov-type）作用量被系统地分类[6]。这些作用量中的每一个都需要κ对称性，而这种对称性只有在p-膜与超引力背景相耦合时，相应的超引力场满足与其运动方程（EOMs）相容的某些约束条件下才能成立。

此外，达夫（Duff）、豪（Howe）、稻见（Inami）和斯特尔（Stelle）[7]展示了如何通过所谓的“双重维度约化”方法，从D维时空中的p-膜作用量导出(D−1)维时空中的(p−1)-膜作用量。特别地，十维的II型超弦作用量可以从十一维的超膜作用量通过这一约化过程得到。

正是由于这些进展，人们对超p-膜（尤其是十一维超膜）产生了极大的兴趣，尽管这些高维物体似乎难以进行量子化。

这些超p-膜的每一种都只考虑其世界体积上的标量超多重态，即多重态中仅包含世界体积的标量场和旋量场。如上所述，它们已在文献[6]中被分类到不同的时空维度中。根据这一分类，具有N = 2时空超对称性的II型p-膜在p > 1时并不存在，这一结果可总结为图2中所示的所谓“旧膜谱”（old brane scan）[8]。

鉴于上述情况，仍存在两个未解之谜。如果十维超弦理论就是完整的理论，那么该如何解释和理解十一维超引力？值得注意的是，十一维超引力通过维度约化可以导出IIA型超引力。此外，如上所述，达夫（Duff）、豪（Howe）、稻见（Inami）和斯特尔（Stelle）[7]已证明，IIA型超弦的作用量可以通过所谓的“双重维度约化”方法从十一维超膜的作用量中得到。

换句话说，十一维超膜似乎比超弦更为基本。如果IIA型超弦可以被量子化，并且它与十一维超膜之间存在这种联系，这就暗示着：应该存在一个关于十一维超膜的量子理论。这激发了人们探索如何对超膜进行量子化的兴趣。

超弦的世界面作用量可用于研究其微扰行为，但如何研究其非微扰效应则是一个极具挑战性的问题。当时我们并没有一个超弦理论的非微扰表述，唯一可用的工具是相应的十维超引力理论，它被认为是对微扰超弦的低能有效理论[3]。

这是因为，对于五种微扰超弦理论中的每一种，其无质量谱都对应于相应的超引力超多重态，再加上可能的超杨-米尔斯多重态（如I型弦和两种杂化弦理论中所出现的）。

例如，对于IIA型理论，其无质量谱可以通过左行和右行模式的张量积给出，其中它们的8维旋量具有相反的手征性，即：

其中 φ 是 SO(8) 下的一个单态（即膨胀子），Bij 是一个反对称的二阶张量（即Kalb-Ramond场），gij 是一个无迹的对称张量（即引力子），三者均属于 SO(8) 群的表示。而所谓的拉蒙德-拉蒙德（Ramond-Ramond, RR）部分则来自具有相反手征性的费米子场的双线性组合，给出额外的玻色型场势，即：

实际上，各种超引力理论的发现比相应的微扰超弦理论早了几年。它们的构建基于底层超对称代数的表示，以及相应超对称（SUSY）变换的时空局域化。由于超对称代数本身与弦耦合常数无关，因此每一种超引力的具体形式都与相应的低能标度（即对应的普朗克尺度）相关，正如所有有效理论的描述一样⁵。因此，每一种超引力都应被视为底层非微扰弦/M理论的低能有效理论，而不是像过去所认为的那样，仅仅是微扰弦理论的低能极限。这一点在文献[20]中有进一步讨论。

第二次超弦革命

换句话说，如果超引力是底层非微扰超弦理论（不依赖于弦耦合常数，或在任意弦耦合下均成立）各自的低能有效理论，那么我们就可以完全忽略前面讨论的、在微扰意义上定义的RR势场（被称为“微扰意义下的RR势”）的传统图像，而自然地将每一个这样的势场与相应的膜（brane）联系起来。正如点电荷与1-形式势场相耦合，一维带电弦与2-形式势场相耦合一样，一般来说，一个 (1 + p)-形式势场会与一个携带相应荷的p-膜相耦合⁶。换句话说，我们一般有如下对应关系：

为了验证上述观点的正确性，我们需要确凿地证明：在各种超引力理论中，确实存在与这些形式势场（包括与NSNS 2-形式场 B2相关联的基本弦）相对应的膜；这需要从这些超引力理论中找到相应的解，同时证明这些膜的存在不依赖于弦耦合常数。

我和达夫（Duff）是最早开始这一探索的少数研究者之一，致力于寻找那些保留一半时空超对称性（SUSY）的膜解，即所谓的1/2 BPS膜（或称弦孤子）。例如，我和达夫找到了前述的“基本五膜”（即NSNS五膜）[19]、自对偶超三膜（即D3膜）[21]，以及在不同维度中的一般1/2 BPS p-膜解[22]。需要注意的是，基本弦（F弦）本身也是一种早先已被发现的1/2 BPS态[23]。另可参见文献[24]中关于1/2 BPS NSNS五膜孤子的讨论，特别是它们在II型超弦中的零模。十维中的黑p-膜解也早在文献[25]中被发现。

例如，这些1/2 BPS态的存在性也可以直接从其相应的超对称代数（带有适当的中心荷扩展）中推导出来[27, 28, 29]，这也表明这些对象正是如文献[30]所指出的那样，是非微扰理论中的基本构成要素。

我和达夫不仅发现了这些1/2 BPS p-膜，还对它们进行了完整的分类[8, 31]，总结于图3中。

需要注意的是，图3中所有这些1/2 BPS膜都是从相应超引力理论中求得的解，其中的“×”标记代表的是在早期“旧膜谱”（old brane scan）中未曾出现的新1/2 BPS膜。

所有这些1/2 BPS p-膜都是非微扰超弦理论中的弦孤子，对应于非微扰超弦理论中的态。与基本弦（F弦）一样，它们是完整非微扰弦理论中的基本动力学对象。包括弦在内的这些对象彼此之间本质上是相互关联的。这一发现终结了早期“弦与其他膜无关”的断言。换句话说，若要研究弦，通常就不能忽略其他膜的动力学，反之亦然。

对于十维的II型超弦理论，新发现的p-膜中，除了IIA型的NSNS 5-膜（以及十一维的M5膜，其世界体积模给出张量超多重态）之外，其余的都是矢量超多重态，即超对称杨-米尔斯理论中的场。这些膜如今被称为D-膜。

波尔钦斯基（Polchinski）等人[32]几乎在同一时期也独立发现了这些膜，但采用的是一个当时尚未被广泛接受的完全不同的方法。直到1995年左右“第二次弦理论革命”兴起之时，人们才认识到两种不同方法所发现的膜实际上是同一类对象。这一认识的实现，仍要归功于已故的波尔钦斯基[33, 34]。

波尔钦斯基等人[32]将原本从闭弦理论中发现的T-对偶性直接应用于开弦。这一应用的必然结果是要求D-膜的存在。起初这令人难以接受，因为开弦无法在紧致方向上缠绕，而且为保证一致性所要求的超平面（即D-膜）在微扰弦理论中并无位置，这导致当时弦理论学界对高维膜的存在抱有偏见。因此，这种将T-对偶性直接应用于开弦的做法的有效性当时受到了质疑。

从弦世界面的角度来看，T-对偶性本质上就是世界面上的电磁对偶性，或称霍奇（Hodge）对偶性。若将这种对偶性应用于开弦，则会对开弦的边界条件产生如下影响：

换句话说，如果我们对开弦原本满足诺伊曼（Neumann）边界条件的方向执行T-对偶，则在对偶之后该方向将变为满足狄利克雷（Dirichlet）边界条件，反之亦然。也就是说，经过若干次这样的T-对偶变换后，开弦的两个端点在这些对偶化方向上将满足狄利克雷边界条件，而在其余方向上仍满足诺伊曼边界条件。因此，开弦端点所满足的狄利克雷边界条件定义了一个超平面的位置，开弦的端点可以在这个超平面上自由移动，但在那些狄利克雷方向上则被限制在该超平面内。

发现与RR势场相关的弦孤子，不仅验证了波尔钦斯基等人将原本来自闭弦的T-对偶性应用于开弦的正确性，也真正揭示了D-膜在弦理论中的存在。

波尔钦斯基等人[32, 33]通过开弦的T-对偶性发现D-膜，相较于将其视为孤子解的方法，具有一项显著优势和实用价值：在弦耦合较弱的情况下，这种由开弦定义的方式为非微扰的D-膜提供了微扰描述。这在物理学史上尚属首次——在弱耦合区域，我们竟然能够用微扰方法描述原本是非微扰的基本对象。我们知道，开弦的无质量模是超对称杨-米尔斯场，这与作为孤子型D-膜的零模所形成的矢量超多重态完全一致。

由我和达夫发现的1/2 BPS自对偶D3-膜及其零模——即四维时空中的 N=4超对称杨-米尔斯理论[21]，以及通过开弦描述可得到的非阿贝尔推广[32, 33]，为马尔达西纳（Maldacena）后来提出的AdS/CFT对偶[35]奠定了基础。

总之，从各种超引力理论中发现弦论的延展孤子（即1/2 BPS p-膜）具有以下重要意义：
1）建立了这些膜（包括基本弦）之间的内在联系；
2）验证了开弦T-对偶性的应用，从而在弱弦耦合下，可用微扰开弦来有效描述非微扰的D-膜孤子；
3）为AdS/CFT对偶提供了理论基础。

此外，这一发现还为各种弦对偶性提供了基础——这些对偶性通常将基本弦与其孤子相互交换——并为所谓M理论这一统一理论的存在起到了关键作用[1]。

至此，我们希望已提供了足够的物理动机，使读者相信：寻找与各种超引力中不同形式势场相关的所谓1/2 BPS基本延展对象，对于理解底层统一理论的非微扰性质至关重要，因为这些对象正是探索这一未知理论的有力工具。

接下来，我们将集中讨论如何从不同维度下具有最大超对称数的超引力理论中寻找这些1/2 BPS延展对象。对于超对称数较少的超引力中的BPS延展解，以及其他维度中这些解的更多方面，可参考例如文献[36, 37, 38]。对于黑膜解和非BPS解⁸，可参见文献[25]（十维黑膜解）、[22, 31, 36, 37, 38]（不同维度中的黑p-膜解），以及[41]（不同维度中的非超对称p-膜解，包括非BPS解）。

2 膜的σ-模型作用量

在开始寻找1/2 BPS p-膜之前，我们先简要介绍“旧膜谱”（old brane-scan）中各类膜的超对称p-膜σ-模型作用量的玻色部分。对于“新膜谱”中的膜，当我们关注静态、保持超对称的1/2 BPS p-膜解时，这一玻色部分同样适用于从超引力理论中寻找膜解，因为在这些情况下，其他世界体积场（如可能存在的矢量场或张量场，以及所有费米场）均未被激发，因此可设为零。

正如一个点粒子在时空中运动形成一条一维世界线，一根弦在时空中运动形成一个(1+1)维的世界面，一个一般的p-膜在时空中运动则会扫出一个(1+p)维的世界体积。

3 从不同维度的超引力理论中寻找1/2 BPS p-膜

在进入本节之前，有几点需要说明。首先，如果没有第1节中所提供的物理理解与物理指引，我们将缺乏从各种超引力理论中寻找1/2 BPS p-膜解的物理动机，也无法发现这些膜解与基本弦之间的联系——而这种联系在当时是不受欢迎的。此外，超引力理论早在20世纪70年代就已被发现，如果仅仅是为了寻找经典解，这类工作本应在20世纪80年代末就已完成。即使单纯出于寻找稳定BPS解的目的，若缺乏明确的物理图像和物理指引，要找到这些解也几乎是不可能的；考虑到超引力理论的高度非线性和复杂性，这至少将是一项极为困难的任务。例如，文献[42]中给出的十维IIA型超引力的拉格朗日量，更不用说其中涉及的各种场的超对称变换规则，远比普通的爱因斯坦引力理论复杂得多。

普遍性

下面我们讨论从不同维度的超引力理论中寻找p-膜解时所期望具备的一些普遍性质。

我们希望寻找一个静态且稳定的BPS构型。为此，必须假设该膜在其p个空间方向上无限延展，并且其张力在适当单位下等于其电荷密度，使得由张力引起的引力吸引恰好抵消由电荷引起的电磁排斥。否则，无法实现吸引与排斥之间的平衡，也就无法形成稳定构型。从图像上看，这种p-膜构型如图5所示。

基于上述讨论，对于一个包含p-膜及其背景场（包括引力场）的耦合系统，要寻找一个静态、保持超对称的1/2 BPS p-膜类真空构型，初看之下并不容易，部分原因在于系统的高度非线性（不像在四维中通过线性的麦克斯韦方程求解给定电荷的电场那样简单）。然而，我们之前所阐述的物理基础暗示了这种保持超对称的构型确实存在。

该构型预期会保留部分超对称性，因此玻色场和费米场的超对称变换也必须为零，以确保该构型在未破缺的超对称变换下保持不变。

正如后文将看到的，一旦费米场设为零，玻色场的变换将自动为零；而要求费米场的变换结果仍为零，则决定了该构型所保留的超对称性的数量。

基于上述分析，我们首先在不同维度中寻找p-膜解，然后通过一些具体例子来说明所保留的超对称数目[22, 31]。

不同维度中的p-膜解

既然体时空和世界体积中的费米场均设为零，我们只需考虑相应超引力作用量中的相关玻色场⁹，再加上膜的玻色作用量。换句话说，我们只需考虑体时空与膜的联合玻色作用量，即 ，其中爱因斯坦框架下的体作用量为：

一般而言，在超对称理论中，这表明底层构型保留了部分超对称性。另一种判断是否保留底层超对称性的方法是通过前面提到的所谓“无作用力”（no-force）条件。我们进一步探讨这一点。

考虑一个试探性p-膜（probe p-brane），它位于上述求得的背景场中，且与源p-膜平行。其在横向方向上的动力学可以用如下奈姆布-戈托（Nambu-Goto）拉格朗日量（为简便起见）来描述：

在十维情形中，我们将以上述的1/2 BPS基本弦（F-string）构型和（反）自对偶D3-膜构型为例，明确演示其保留一半时空超对称性的性质；其余情况可类似处理。然后，我们将讨论前文给出的新膜谱（new brane-scan），最后讨论十维中每种膜孤子的零模，并以IIB理论中的F-弦和（反）自对偶D3-膜为例进行详细说明。

1/2 超对称性的保留：以F-弦为例

这一1/2 BPS F-弦解最早由文献[23]给出。为了证明构型(78)保留了一半的时空超对称性，我们并不需要具体的解，而只需以下关系：

一个超对称p-膜还需要引入反对易的费米型坐标 θ(σ)。根据时空维数 D的不同，θ(σ)可以是狄拉克旋量、外尔旋量、马约拉纳旋量，或马约拉纳-外尔旋量。如前所述，在类似格林-施瓦茨（GS）的形式体系中，费米型κ对称性是必不可少的，它通过一个物理规范选择消去了旋量独立分量的一半。最终结果是：该理论表现出一个d维世界体积上的超对称性，其费米生成元的数目恰好是原始时空超对称生成元数目的一半。

基于这一点，我们得到物理的（在壳的）费米自由度（DOF）为：

其中 m是世界体积 d维中一个最小旋量的独立分量数，n是最小旋量的个数，而 M和 N则是相应时空中的对应量。

下表列出了不同维度下最小旋量的独立分量数以及最小旋量的个数的详细情况。

4 不同维度中的非超对称与非BPS p-膜

本节中，我们在最简单的情形下讨论非超对称（Non-SUSY）和非BPS的p-膜构型，即仅由一种类型¹⁴的p-膜（包括反p-膜）彼此叠加构成的系统。一般来说，存在两类这样的构型，它们都不保留任何超对称性。

第一类是前述BPS p-膜的“黑膜”（black）版本，即带有非零温度或非极值修正的p-膜解。关于此类解，我并不打算在此深入讨论¹⁵，仅作简要说明。对于BPS p-膜，其度规的一般形式为：

如果回顾一下第(69)式所给出的条件以及之后关于p-膜保持超对称性的讨论，就会发现这类非超对称p-膜解并不满足BPS条件。此类非超对称p-膜解最初由周、朱在文献[47]中出于纯数学解的目的提出，但其物理意义——即代表一个膜/反膜系统或非BPS膜——直到后来才被Brax等人[48]注意到，并由本文作者及其合作者Roy进一步研究[49, 50]。

此后，本文作者与Roy在文献[41]中给出了更一般的此类非超对称p-膜解。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2502.11575