高中数学：复数选择题等练习题计算8道题举例

高中数学：复数选择题等练习题计算8道题举例

●单项选择题：若复数z=(35+20i)/(6+ai)为纯虚数，则实数a的值为：（ ）。

A. 6 B. 21/2 C. -6 D.-21/2

解题过程：本题主要考察纯虚数概念，纯虚数是实部为0，虚部不为0的复数。对于本题，对复数z进行分母有理化有：

z=(35+20i)/(6+ai)

= (35+20i) (6-ai)/[(6+ai) (6-ai)]

=(35+20i) (6-ai)/(6²+a²)

=[(210-20a)+(120-35a)i]/(6²+a²),

则210-20a=0，即a=21/2,故选择答案B.

●单项选择题：若复数z满足50-5z=5z·i，则|z|=( )。

A.5 B.10√2 C. 50 D. 5√2

解题过程：对已知条件进行变形化简有：z=50/[5(1+i)]，然后进行分母有理化z=50(1-i)/[5(1+i)(1-i)]=50(1-i)/ (5*2)=5(1-i)=5√2，则选择答案D.

●单项选择题：若复数z=53+i2479,则其共轭复数在复平面上对应点所在的象限为：( )，

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

解题过程：复数所在复平面上所对应点的象限分析，取决于该复数实部与虚部的符号。本题z=53+i2479=53-i，则对应的共轭复数为：53+i，可知实部=53＞0，虚部=1＞0，所以该共轭复数对应的点在第第一象限象限，即选择答案A.

●单项选择题：若i为虚数单位，则复数(4+7i)/(1+i)的实部和虚部之积为( ).

A．-33/4 B. 33/4 C. 33i/4 D.-33i/4.

解题过程：首先对复数表达式进行分母有理化，得到复数的一般表达式，进一步解析出复数的实部和虚部，最后相乘即可得到题目所求值对应的选项。

(4+7i)/(1+i)

= (4+7i) (1-i)/2

=[(4+7)+(7-4)i]/2，所以虚数的实部与虚部的乘积=(4+7)/2*(7-4)/2=(7²-4²)/4=33/4,故选择B.

●单项选择题：复平面内，复数z对应的点的坐标是(-13,43)，则z的共轭复数为：( )。

A. 13+43i B.13-43i C.-13+43i D.-13-43i.

解题过程：本题主要考察的是共轭复数的概念，z与其共轭复数的实部相等，虚部互为相反数。根据本题题意，可知z=-13+43i，所以共轭复数为：-13-43i，即选择D.

●多项选择题：已知复数z满足z(√3+i)=-2i，z*表示z的共轭虚数，则下列正确的选项是：（ ）。

A.|z|=1， B.z的虚部为√3/2

C.z²+1=0 D.z²=z*

解题思路：根据题意z=-2i/(√3+i)=-2i(√3-i)/4=-i(√3-i)/2=(-1-√3i)/2，则|z|=(1/2)²+(√3/2)²=1,故答案A正确。

对于答案B,因为z的虚部=-√3/2，所以B错误。

根据题意有：z²=[(-1-√3i)/2]²=(-2+2√3i)/4=(-1+√3i)/2，则z²+1=(-1+√3i)/2+1=(1+√3i)/2≠0，所以答案C错误。对于答案D,有z的共轭复数z*=(-1+√3i)/2，刚好与z²相等，故正确，综上本题选择答案A和D.

●填空题：设z=(7+13i)/( 6+8i),则z的共轭复数为: 。

解题过程：本题主要知识点是共轭复数的计算，若z=a+bi,则Z=a-bi互为共轭复数。对于本题，复数是分数形式，所以变共轭复数不是将分子分母虚部的符号变成相反，而首先需对z进行有理化变成复数的一般表达式，再变虚部的符号得到共轭复数。

Z=(7+13i)/(6+8i)

=(7+13i)(6-8i)/[(6+8i)(6-8i)]

=(7+13i) (6-8i)/(6²+8²)

=(146+22i) /(6²+8²)=(73+11i)/ 50.

所以其共轭复数为：(73-11i)/ 50.

●计算题：设a,b为共轭复数，且(a+b)²-4abi=9-58i，求复数a，b。

解：根据题意，设a=x+yi，b=x-yi，则：

a+b=x+yi+x-yi=2x,

ab=(x+yi)(x-yi)=x²+y²;

代入已知式有：

(2x)²-4*(x²+y²)i=9-58i，则：

9=4x²，且4(x²+y²)=58,

可求出x=±3/2.

进一步由题目条件有：4*(9/4+ y²)=58,

y²=58/4-9/4=49/4,

可求出y=±7/2,

所以：a=3/2+7i/2，b=3/2-7i/2；

或者：a=-3/2+7i/2，b=-3/2-7i/2；

或者：a=3/2-7i/2，b=3/2+7i/2；

或者：a=-3/2-7i/2，b=-3/2+7i/2。