龙年吃太饱 | 为什么天上的龙飞来飞去，但是从来不会给自己打结？

春节快乐！

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FESTIVAL

今天是龙年的第一天，全体小编祝大家在新的一年里：鱼跃龙门、金龙献瑞、蛟龙得水、龙腾虎跃、飞龙在天、龙骧虎步、龙飞凤舞、龙凤呈祥、龙马精神、龙腾四海、人中龙凤、龙年大吉！

I 中国龙，龙蟠虎踞！

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中国龙诞生于我们祖先的想象之中。古人对龙形象的想象是：“角似鹿，头似驼，眼似龟，项似蛇，腹似蜃，鳞似鱼，爪似鹰，掌似虎，耳似牛，屈伸从时，变化无穷，能幽能明，能细能巨，能短能长。春分而登天，秋分而潜渊”。[1]

蛟龙戏珠图案 图片来源：[1]

我国发现的最早的龙塑像位于辽宁阜新查海原始村落遗址，距今约有八千年 [2]。原始部落的人将龙作为图腾崇拜。传至汉代，由于儒家兴起，龙多与祈雨有关。而古代所谓帝王为真龙天子据说是从汉高祖刘邦开始的。

我国民间对于龙的习俗也有很多，比如二月二龙抬头的习俗，与古代的天文学和农业节气有关。龙抬头最早可追述于唐朝，规定在此日必须吃“迎富贵果”，保证当年有个好收成。

二月二面棋子 图片来源：网络

此外还有舞龙的习俗，据记载，舞龙最早可能与巫术仪式有关。早在先秦，每当遇到干旱，人们就会请来巫师求雨，届时巫师模仿龙的姿态来回摆动，以达到祈雨的效果。如今舞龙习俗发展到至今，活动形式已经涵盖了节庆、贺喜、祝福、驱邪、祭神、庙会等多种领域[3]。

舞龙阵 图片来源：维基百科

我们看到，在舞龙活动中，龙总是飞来飞去，绕来绕去。而人们想象的很多龙的形象也都是龙盘虎踞一样的情形。比如动漫《龙珠》中的神龙。

图片来源：《龙珠》动漫

我国古代也创作了大量的关于龙形象的艺术品。比如现藏于中国国家博物馆的行玉龙，就是龙盘成一个圈，据说该龙纹取象于猪。

行玉龙 图片来源: [3]

古代皇帝所穿的龙袍上所绣之龙，大多也是盘踞形态。

清·乾隆 香色缂丝金龙夹龙袍 图片来源：[3]

还有经常见于各地名胜的盘龙雕塑。

盘龙柱 图片来源：网络

其中极富特色的莫过于位于北京北海公园的九龙壁，虽然每条龙形态各异，但是也都保持一种盘踞的姿态。

九龙壁 图片来源：百度百科

诚然，盘踞的龙看起来更有威严，但是小编苦苦冥想，为什么盘龙不会打结？其实这个问题背后涉及到一些拓扑的知识，让我们一起来看看吧~

II 你需要知道~拓扑

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公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得通过总结人们生活生产中所认识的一些基本公理建立了几何学的基本原理。

后来，人们将几何学分为两个部分，一是度量几何学，也就是研究图形的定量属性，比如体积、尺寸、角度、位置等。另一个是射影几何学，主要研究图形间经过影射变换后对应的比例、相似等问题[4]。

然而，自然界的物体还存在一些更加本质的特征，这些特征不会因为研究对象的某些细节上的变化而发生变化，也就是说，这些特征和研究对象的长度，角度等定量性质以及位置关系无关所以，为了研究这些特征，诞生了第三类几何学：拓扑学。

这一问题最早由莱布尼兹提出了形势分析学用来研究针对图形本身固有的形态及其本身蕴含的相对不变的性质。

后来，伟大的数学家欧拉在1736年研究著名的七桥问题时察觉到，解决七桥问题和数量、计算无关，而只需要考虑其位置特点，所以他称之为位置几何。

利斯廷于1847年发表了第一篇关于拓扑学的数学论文《关于拓扑学的初步研究》，第一次提出了拓扑—词。

1874年康托尔发明集合论，奠定了表达拓扑学思想最合适的语言。

庞加莱于1885年发表的著名论文《位置分析》，阐述了位置几何学的一般原理：忽略图形比例，组成部分不一定互换，但必须保持相对位置关系[4]。

在拓扑学中，当一个图形进行形变的过程中，如果保持点和点之间一一对应，形变后的图形就不创造新的点也不融合旧的点。除了点的数量不发生变化以外，点的相对位置、顺序也不发生变化。那么这种变换就可以被称为拓扑形变。比如三角形可以通过与圆形进行点点的一一对应进行拓扑形变。

三角形的边可以通过拉伸变化与一个圆周完全重合

图形在拓扑形变前后仍然保持的性质在拓扑学中被称作拓扑不变性，而形变前后的图形则被称作拓扑等价。两个图形若能从一个拓扑形变换成另一个，则他们也同样被称作拓扑等价的两个图形。

又比如最经典的那个案例：甜甜圈可以通过拓扑形变成水杯却不能形变成球体，因为球体内部不漏孔，有一个漏孔就是甜甜圈和水杯这对拓扑等价物体的拓扑不变性。

杯子与甜甜圈的拓扑等价性 图片来源：维基百科

广义上，我们假设一个可以任意变换形态的物体A，不管怎么对这个物体进行拉长、扭曲，从而得到另一个形状的物体B。只要变换过程中不存在撕开、或者拉断，或者说形变过程是连续的。我们就可以将A和B叫做拓扑同胚。

所以我们看到，拓扑学实际上是一个研究守恒量的数学领域，其表现出一种全局不变的性质，这个性质用由拓扑不变量描述。所以我们上面描述的拓扑等价实际上就是两个对象具有相同拓扑不变量。这种拓扑不变量数学上被称为亏格，它刻画了曲面的拓扑结构，即内部具有独立孔的个数。

比如说下面这个例子：从A 到B，和B到C 的形变过程中，系统的拓扑不变量一直保持不变。因此，物体A、B 和C都可以通过连续变形相互转化。然而，从C 到D 的变形过程中，系统的拓扑不变量在某一时刻突然变化(拓扑不变量从0 变为1)，这种拓扑不同状态之间的转变称为拓扑相变。[5]

拓扑不变量和拓扑相变 图片来源：[5]

III 大家注意，我要变形了！

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那么拓扑在物理中有什么用呢？

拓扑物态也是物质状态的一种存在形式。我们最熟知的物质的状态有固、液、气三态，根据外界温度的变化，这三种状态之间会发生融化-凝固，汽化-液化，升华-凝华等相变过程。

当然除了基本的物态以外，物质还会表现出一些性质，比如铁磁性、超导性、铁电性等，它们对应的状态就是铁磁态、超导态、铁电态等。描述这些相变有着统一，简洁而美妙的理论，那就是朗道提出的自发对称性破缺理论。

比如：固液相变就是密度序参量的平移对称性发生了破坏。

在量子力学中物态是用波函数描述的，因此在量子体系中我们要用物态波函数的对称性来定义物态的相。

比如超导相变就是电子波函数的规范对称性发生了破坏。

到目前为止我们知道的大多数相变都可以引入一个局部的序参量，相变和某种自发对称性破缺有关。

但是有例外，这就是二维超导体系中的BKT（Berezinskii–Kosterlitz–Thouless）相变。在二维的超导体系中，波函数的相位由于受到热激发随着空间的位置发生涨落，在这些激发中存在两种特别的激发，就是相位场的涡旋态。

涡旋态分为逆时针和顺时针两种状态。BKT相变指的是相位场的涡旋激发在形成聚集在局部的束缚态变成扩散到整体的游离态之间的相变。

超导/超流体波函数的相位构型(a)基态构型；(b)普通型激发；(c)涡旋激发 图片来源：[6]

当温度小时，产生涡旋会使得系统的总能量增加，因此此时净产生涡旋不会发生，此时体系自旋构型如下图左图显示。当温度大时，产生涡旋会使得自由能降低，因此此时会产生净涡旋。此时体系自旋构型为下图右图所示[7]。

二维XY 模型的两种构型（a）只有一个正涡旋。（b）存在正反涡旋对，总涡旋量子数为0。图片来源：[7]

这里所说的净涡旋数就是正涡旋总数减去反涡旋总数。所以净涡旋数是只和体系的状态有关的量，并且是一个整数。因此可以用净涡旋数来定义体系的相，净涡旋数转变即发生了相变。

但是发生这种相变的过程中并没有局域序参量的自发对称性破缺，因而不能用对称性破缺理论解释。由于这种涡旋的激发不能通过连续变化单独地消除，只能通过相反的涡旋相互抵消，所以这种激发也叫作拓扑激发。

2016年，诺贝尔物理学奖授予给Thouless、Haldane 和Kosterlitz 三位物理学家，以表彰他们在拓扑相与拓扑相变理论方面做出的突出贡献。

后来人们建立了拓扑能带理论，从而发现了很多更加新奇的量子物理效应。比如量子霍尔效应、量子反常霍尔效应、拓扑绝缘体，外尔半金属、狄拉克半金属等、节线半金属等。这些都是活跃在凝聚态物理前沿的创新研究领域。

IV 龙为什么不会打结？

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最后我们再来讨论一下龙为什么不会打结？

从数学的角度讲，扭结实际上就是指空间中一条闭合的、连续不断、不自相交的曲线。而如果两个纽结等价，则意味着我们可以在不弄断绳子的情况下，将一个纽结转化成另一个。最简单的纽结就是一个圆，称为平凡结。其次是三叶结[8]。

三叶结 图片来源:[8]

对于一个扭结而言，它的交叉数就可以代表其特征。从我们刚刚了解的拓扑学的角度来看，具有不同交叉数的扭结不能通过连续的变化得到。所以具有不同交叉数的扭结就不是拓扑等价的。

如果龙盘成一个圆，就是一个平凡结。龙在盘旋缠绕过程中每打一个结就就说明发生了一次拓扑相变。而没打结绕柱旋转的的过程就是同胚变换过程。

所以从拓扑学的角度上讲，一只龙在飞行、盘踞过程中不管它的形态如何变化，它的拓扑永远是等价的，也就是说没有发生拓扑相变。

毕竟如果龙在空中飞行，那么其所处的环境比如压强、温度等条件都没有发生变化，不存在使其发生拓扑相变的条件。即使外界条件发生了变化，描述龙的变化就可以用自发对称性破缺的理论描述了。

如果龙本身无论如何都不会打结从而保持拓扑不变性，我们可以暂且认为是龙具有一定的意识，或者某种內禀的作用保持其拓扑不变性。那我们可以假想一下，如果一条龙处在完全随机的飞行状态中？它会打结吗？

或许2007年发表在美国国家科学院院刊（PNAS）上的一项研究可以帮我们解决这个猜想[9]。研究者研究了受挤压的绳子的打结情况，（没错，对应的实际问题就是你裤兜里的耳机会自己打结问题）。

研究结论是当绳长超过一定的临界长度后，打结的概率会剧烈增加，然后在100%以下达到饱和。同时他们观察到几乎所有的结都被确定为质数结，在3,415次试验中观察到120种不同的结。

结的测量概率与绳长的关系 图片来源：[9]

根据此我们有理由推断，如果龙是完全随机处在飞行状态，它有很大的概率会自发打结，同时，龙的长度越长越容易打结。

我们进一步发散思维，如果有一群龙在天空中飞舞，它们会更容易打结吗？

同样的有一篇去年发表在science上的一篇文章可以给我们带来启发。研究者研究了大量的加州黑虫的集体缠绕行为[10]。（我们暂且忽略这里的研究对象是虫子，毕竟或许在外星人眼里，地球上的一切都是虫子呢~bushi）。

研究发现，大量的加州黑虫在几分钟内会慢慢形成缠结，但是在几毫秒内就能解开缠结。研究者结合超声成像实验和弹性理论来解释了个体蠕虫步态是如何引起集体拓扑动力学以及缠结和未缠结状态之间的转换。

由大约200条虫组成的杂交虫形成的拓扑复杂的缠结 图片来源：[10]

所以我们也可以大胆猜想，大量的龙在空中飞舞的时候也许可以表现出类似的集体拓扑动力学行为。

最后我们还是先别折腾这可可爱爱的小龙龙了。

再次祝大家龙年行好运，万事不打结！

参考文献：

[1] 肖海博,赵鹏,李银忠.中国传统龙形象的演变[J].中华民居,2012(01):69.

[2] 赵丽玲,王杨琴.论中西方龙形象及其文化意义的差异[J].湖北工业大学学报,2010,25(06):108-110+117.

[3] 匡延. 文化学视野下中西美术中龙形象对比研究[D].湖南师范大学,2019.

[4] 林建文. 基于拓扑学分析的中国传统园林水体空间形态研究[D].大连理工大学,2016.

[5] 韩凝. 电磁超材料中的拓扑相与拓扑相变研究[D].哈尔滨工业大学,2022.

[6] 戴希.凝聚态材料中的拓扑相与拓扑相变——2016年诺贝尔物理学奖解读[J].物理,2016,45(12):757-768.

[7] 刘春晖. 非厄米系统的拓扑分类[D].中国科学院大学,2023.

[8] 有没有能让全宇宙都能理解的logo（符号）？- 知乎 (zhihu.com).

[9] Dorian M. Raymer and Douglas E. Smith. Spontaneous knotting of an agitated string. PNAS, 104, 16432–16437 (2007).

[10] Vishal P. Patil, Harry Tuazon, Emily Kaufman, Tuhin Chakrabortt, David Qin, Jörn Dunkel, M. Saad Bhamla. Ultrafast reversible self-assembly of living tangled matter. Science 380, 392–398 (2023).

编辑：Garrett

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