有趣的等待时间悖论

大数据文摘授权转载自数据派THU

作者：贾恩东

在生活中，你可能会时常遇到如下场景：

1. 购物时排队结账；

2. 等待下一班公交或者地铁；

3. 等待下一趟电梯；

4. 开车时在路口等待红绿灯 ……

以上场景发生时，我们通常不得不选择等一会，那关于这个等待时间的平均值，其实有一个有趣的悖论，本文中作者会对其做一个通俗且深入的介绍。

严谨些的定义：

1. 在一个周期性发生的事件中，其周期不固定，但平均周期为T；

2. 你以均匀的概率选择1个时间点（比如等公交时不借助APP实时观察车到站再选择出发）；

3. 你在2中所选择的时间点距离下一次事件发生的等待时间为X 则，关于这个等待时间X，我们有如下结论：

4. 乍看这个等待时间X的期望应该是T/2;

5. 我们的生活经验告诉我们，这个X的均值很可能大于T/2；

乍看为何X=T/2，其实挺显然的，因为我们不妨在区间(0,T)上以均匀分布的概率选一个点x，x到右端点的距离的期望计算如下：

那为何我们日常的生活经验总觉得这个等待时间，经常大于事件平均周期的一半呢？是我们的错觉吗？我们不妨再用一个简单的程序模拟试试：

1. 我们假设T=10，事件发生了10000次，构建事件发生时刻的序列event_timer。

2. 我们检查一下，这个序列中，相邻事件发生的平均间隔是否等于10。

3. 我们开始模拟等待的时间。

4. 重复模拟500000次，计算等待的均值。

等待事件的均值居然近似等于事件的平均发生周期？说好的一半呢？

这就是等待时间悖论。

可能已经有聪明的读者想到是为什么了。

我们不妨再给大家举一个更容易看懂这种悖论来源的例子：你想考察一个学校的班级的平均学生数，于是就对学校的学生随机采样并询问他们的班级人数，最终对所有结果求均值。这样看起来容易，但真的没问题吗？

你会发现，学生人数更多的班级里的学生更容易被采样到，所以最终的统计结果比真实值偏大。

这种情况是由于我们的有偏采样(biased sampling)导致的。

我们不妨对之前的程序中，相邻事件发生的间隔时间画出分布直方图。我们已经知道，这个间隔的均值是T。

可以看出，这个分布很像指数分布，但其实我们在程序中，实际是把事件发生时刻做了一个均匀分布的生成，这其实就是一个泊松过程（之前作者已写过一文读懂系列中介绍过了泊松分布，这里就不再做介绍了），这个分布我们不妨写成：

关于等待时间，其实就是在相邻事件间隔 t 上取 w，其概率可以如下简单得到:

可以简单假设，等待时间 w 可以和事件间隔 t 的分布一致。我们为了验证这一说法，不妨对之前仿真得到的等待时间也画出一个分布直方图。

基本和我们大胆的推断一致。

所以等待时间的分布也是一个泊松分布，其期望就是相邻事件的间隔时间，而不是什么一半。当然了，这个假设都是建立在事件前后发生独立，事件发生时刻是一个均匀分布的前提下，即：泊松过程是一个无记忆过程。但在现实中，情况可能不会那么理想，比如，在公交或者地铁系统中，其有更具体的计划表，后一个事件的发生和前一个事件发生并非独立，因此我们的平均等待时间，会少于事件平均周期T，但却总是要大于这个平均周期的一半。

参考文章：

[1]The Waiting Time Paradox, or, Why Is My Bus Always Late? | Pythonic Perambulations (jakevdp.github.io)

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