几何学简史——影响几何学发展的那些重要思想

转自'科学演绎法'，[遇见数学]已获转发授权。

几何学是数学的一个基础分支，主要研究形状、大小、图形的相对位置等空间区域关系以及空间形式的度量，应用于许多领域，包括艺术，建筑，物理和其他数学领域。

名字的由来

几何这个词最早来自于希腊语“γεωμετρία”，由“γέα”（土地）和“μετρεĭν”（测量）两个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后来拉丁语化为“geometria”。

中文里的“几何”一词源于《几何原本》的翻译。《几何原本》是世界数学史上影响最为久远，最大的一部数学教科书。《几何原本》传入中国，首先应归功于明末科学家徐光启。徐光启和利玛窦《几何原本》中译本的一个伟大贡献是确定了研究图形的这一学科中文名称为“几何”，并确定了几何学中一些基本术语的译名。

“几何”的原文是“geometria”（英文 geometry），徐光启和利玛窦在翻译时，取“geo”的音为“几何”（明朝音：gi-ho），而“几何”二字中文原意又有“衡量大小”的意思。用“几何”译“geometria”（英文 geometry），音义兼顾，确是神来之笔。换句话说，徐光启心目中的“几何”，可能就是今天我们所谓的“数学”。所以他为译本所取的名字，以今日用语再翻译一次，就是：《基础数学》。

几何学中最基本的一些术语，如点、线、直线、平行线、角、三角形和四边形等中文译名，都是这个译本定下来的。这些译名一直流传到今天，且东渡到汉字文化圈的日本、朝鲜等国（越南语则使用独自翻译的越制汉语“形學（hình học）”一词），影响深远。

1607年出版的《几何原本》中关于几何的译法在当时并未通行，同时代也存在着另一种译名——“形学”，如狄考文、邹立文、刘永锡编译的《形学备旨》，在当时也有一定的影响。在1857年李善兰、伟烈亚力续译的《几何原本》后9卷出版后，几何之名虽然得到了一定的重视，但是直到20世纪初的时候才有了较明显的取代形学一词的趋势，如1910年《形学备旨》第11次印刷成都翻刊本徐树勋就将其改名为《续几何》。直至20世纪中期，已鲜有“形学”一词的使用出现。

几何简史

几何学有悠久的历史，许多文化中都有几何学的发展，包括许多有关长度、面积及体积的知识。

最早记录可以追溯到公元前 2 千年的古代埃及和美索不达米亚。早期的几何学是有关长度、角度、面积和体积的经验性定律的收集，这些都是因为实际需要（比如勘探、建筑、天文和一些手工业）而发展的。

最早的已知有关几何学文献是埃及的莱因德纸草书（公元前 2000-1800 年）和莫斯科数学纸草书（约公元前 1890 年），以及古巴比伦的泥石板（比如“普林顿 322”（公元前 1900 年）)。

在它们中间，有令人惊讶的复杂的原理，以至于现代的数学家很难不用微积分来推导它们。例如，埃及和巴比伦人都在毕达哥拉斯之前1500年就知道了毕达哥拉斯定理（勾股定理）；莫斯科纸草书上给出了埃及人如何计算方形棱锥的锥台（截头金字塔形）的体积的正确公式；而巴比伦有一个三角函数表；而在埃及南部，古代努比亚人曾经建立了一套几何学系统，包括有太阳钟的早期版本。

在公元前六世纪泰勒斯的时代，西方世界开始将几何学视为数学的一部分。米利都的希腊数学家泰勒斯利用几何学解决了计算金字塔的高度、船只离岸的距离等问题。他因推导出泰勒斯定理的四个推论而首次将演绎推理应用于几何学。

古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus of Cnidus，公元前 408 年 - 约 355 年），穷竭法的首创者，它允许计算曲线图形的面积和体积，以及避免不可通约数（无理数√2）问题的比率理论，这使得后来的几何学家取得了重大进展。

公元前三世纪，几何学中加入了欧几里德的公理系统，这彻底改变了几何学，产生的欧几里得几何是往后几个世纪的几何学标准。最古老的欧氏几何基于一组公设和定义，通过公理化方法展示了数学的严谨性，人们在公设的基础上运用基本的逻辑推理构作出一系列的命题。可以说，《几何原本》是公理化系统的第一个范例，对西方数学思想的发展影响深远。

阿基米德（约公元前 287–212 年）使用穷竭法计算抛物线弧下的面积以及无限级数的总和，并给出了非常准确的 π 近似值，许多都用到积分中的思想。他还研究了以他的名字命名的螺旋线，并求出了旋转曲面的体积。

天文学中有关恒星和行星在天球上的相对位置，以及其相对运动的关系，都是后续一千五百年中探讨的主题。

一千年后，也就是 17 世纪初，几何学有两个重要的发展。首先是勒内·笛卡尔（René Descartes，1596–1650 年）和皮埃尔·德·费马（ Pierre de Fermat，1601–1665 年）创立了解析几何。笛卡儿在《方法论》的附录《几何》中，将坐标引入几何，带来革命性进步。像平面曲线等几何图形可以由函数或是方程等解析的方式表示。这对于十七世纪微积分的引入有重要的影响。

第二个几何发展是吉拉德·笛沙格(Girard Desargues，1591–1661)对射影几何的系统研究。透视投影的理论让人们知道，几何学不只是物体的度量属性而已。而透视投影后来衍生出射影几何，使得欧拉及高斯开始有关几何物件本体性质的研究，使几何的主题继续扩充，最后产生了拓扑学及微分几何。

再往后 19 世纪，几何学有两项发展改变了以前研究它的方式。这些是俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家鲍耶·雅诺什和德国数学家高斯发现的非欧几里得几何，以及费利克斯克莱因的爱尔兰根纲领中使用对称性作为根本的原则，并且从一开始就陈述不同的几何可以共存（它推广了欧几里得和非欧几里得几何）.

在欧几里德的时代，实际空间和几何空间之间没有明显的区别。欧几里得几何学的第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第 29 个命题中才用到，而且以后再也没有使用过。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前 28 个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？最终，由罗巴切夫斯基和黎曼建立起两种非欧几何，自此空间的概念有了大幅的调整，也开始出现哪一种几何空间最符合实际空间的问题。在二十世纪形式数学兴起以后，空间（包括点、线、面）已没有其直观的概念在内。

当时的两位几何大师是伯恩哈德·黎曼(Bernhard Riemann, 1826–1866)，他主要使用数学分析工具并引入了黎曼曲面，以及亨利·庞加莱(Henri Poincaré)，他是代数拓扑和动力系统的几何理论。由于几何概念的这些重大变化，“空间”的概念变得丰富多彩，并且自然背景成为复杂分析和经典力学等不同理论的背景。

几何学的现代化则归功于克莱因、希尔伯特等人。克莱因在普吕克的影响下，应用群论的观点将几何变换视为特定不变量约束下的变换群。而希尔比特为几何奠定了真正的科学的公理化基础。应该指出几何学的公理化，影响是极其深远的，它对整个数学的严密化具有极其重要的先导作用。它对数理逻辑学家的启发也是相当深刻的。