高考中考数学重要的技巧，不严谨的特例法如何严谨？解小题的利器

在数学解题众多技巧中，有一类特例法，在选择题中用得比较多，但一般属于不严谨的解法，仅用于帮我们解决考试问题，属于一种应对考试的技巧。但是你知道吗？特例法其实也可以做到严谨性的。下面这道2022年全国高考理科数学乙卷的选择题立体几何真题，老黄就准备给大家分享严谨的“特例法”是怎么回事。

已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为

A. 1/3; B. 1/2; C. 根号3/3; D. 根号2/2

自己画一个草图，帮助理解一下题意。这个问题最大的难点是四棱锥的底面是一个任意四边形，并不规则，因此很难对它进行分析。解决的办法就是用“特例法”来突破它。

分析：不妨设四棱锥底面积为正方形，边长为a(这里并不适合设为1), 这就是一个特例。根据正方形的性质，可以得到它的对角线长是根号2 a，在四棱锥的侧棱(即球体的一条半径R)、四棱锥的高h，以及底面正方形的对角线(其实只有一半)围成的直角三角形中，运用勾股定理，就有：

h^2+(根号2 a)^2=R^2，即a^2=2-2h^2.

由棱锥的体积公式，V=底面积×高/3=ha^2/3=2h-2h^3，求导得V'=2-6h^2.

当V'=0时，解得h=根号3 /3.

当h<=根号3 /3时，V'>0，V单调增；当h>=根号3 /3时，V'<0，V单调减.

因此h=根号3 /3时，四棱锥的体积V就最大。先增后减的界点是极大值，而连续函数唯一的极大值是最大值。

但这只是底面为正方形时的特例。如何保证底面是普通的四边形时，四棱锥的体积V，仍在高h=根号3 /3时最大呢？这是一个稍微有点烧脑的问题。不过对于考试，到这里已经足够了，下面完全是对于数学探究的一种热情。

事实上，不论底面的形状如何，甚至如果不限定它是一个四棱锥的话，哪怕底面是一个变形虫，它都会有一个面积，记为S，而这个面积与其等高的正方形底面积a^2之间，有一个比值，而且对于不同的高，这个比值是一个常数，记为k。

这其实是一个相似图形的概念。不同的高，两个形状相同的底面的面积比是它们所在立体图形的高的比的平方，两个正方形底面的面积比，也是它们所在四棱锥的高的比的平方，这两组比例关系中的对应高是同一条高。因此同高的情况下，形状相同的底面中的一个，与同高四棱锥的正方形底面积的比是一个常数。

用数学的方式再说明一下。设在两个高h1,h2下，各有一个形状相同的图形的底面面积为S1,S2，以及各有一个正方形底面面积为S1', S2'，则：

S1/S1'=h1^2/h2^2，S2/S2'=h1^2/h2^2，即S1/S1'=S2/S2'，从而S1/S2=S1'/S2'=k(记为一个常数)。

从而一般的底面积S=ka^2, 四棱锥的体积V=kha^2/3=2kh-2kh^3，V’=2k-6kh.

同样的，当V'=0时，解得h=根号3 /3，后面的分析同上。这就保证了答案的普遍性，而不止对底面是正方形的特例是成立的。

其实很多人数学不好，有一个非常重要的原因，就是缺乏探究数学的热情。如果您想提高自己的数学成绩，就要保持这种热情，而不是只把它当作升学的一种障碍。