基础知识第9讲：小白都能看懂，斐波那契数列的MATLAB实现

MATLAB入门教程

第九讲

写在前面

在数学中经常遇见的一个问题就是方程求解，特别是线性代数中，很经常遇见线性方程组的求解问题，今天就来用Matlab来探讨线性方程组的求解问题。

本讲开始

一般方程：

一般来讲，我们看到的方程都是这个样式的：，其中a、b都是常数，很显然，这时候 x 的解就是b/a。

也就是说，我们拿后面的值除以前面的系数，即可得到解X。

方程组（目前仅讨论方程个数和未知数个数一样的情况）：

刚刚我们讲的是一般方程，那推广到线性方程组，假设我们现在有个这样的方程：

相信大家运用高中知识也能很快的求出这个方程的答案，但是，如果四阶？五阶甚至更高呢?不如转换为矩阵的方法。

根据线性代数的知识，我们可以得到这样一个增广矩阵：

那我们令系数矩阵是A，结果矩阵是B，这个解矩阵X该怎么算呢?

额外知识

此部分提供给还未学过线性代数的同学看，如果知道基本知识可以先行跳过。

上面的矩阵方程可以视为这样的矩阵方程：

其中，令X为未知数的矩阵，前面的三乘三的系数矩阵称为A，等号右边的结果矩阵称为B，方程组即可表述为：

AX = B，求X。

矩阵A的列数和矩阵X的行数相同时才可写成此种形式，因为当A的列数（这里是三列）等于X的行数（这里是三行）才能进行矩阵乘法运算。

矩阵乘法运算是这样的：

易看出：如果A是 n 行 m 列，则X需要是 m 行 s 列才可相乘，且结果矩阵必是 n 行 s 列。

所以按照上面的运算法则，我们就可以看出，矩阵方程和原来的方程组是等价的。

回到正文：

我们已经得到了方程组对应的矩阵方程：

那么编程的第一件事就应该是在程序里面表述这个方程组。下面看代码：

%% 方程组求解

clc;

clear;

A = [4 1 -2;

2 2 1;

3 1 -1];

% 定义一个3行3列的矩阵A，行与行之间使用分号隔开，每一行之间的元素使用空格隔开

B = [1;

2;

3]; %定义矩阵B

disp(A);disp(B); %显示A和B

现在我们便可以在程序中得到两个矩阵，分别是A和B，定义的时候也可以不换行，但是换行定义看起来毕竟方便、易读。

运行代码就能看到我们定义的这两个矩阵：

同样，我们也可以在右边的工作区查看我们的这两个变量：

在这个工作区，我们看到的数据会更加的直观，就像图中这样：

现在，我们得到了两个矩阵，万事俱备，只欠东风，我们现在只需要一个除法即可得出这个解矩阵X。

现在在最后面加入这个代码：

X = A\B; % 左除

disp(X);

可能会有些人觉得奇怪，怎么A在左边并且这个写的是斜杠呢？

如果我们学习过矩阵便知道，矩阵的乘法是没法前后调换的，即 AB 不等于 BA，也就是说，AX = B，要求这个X，我们需要在两边的左边同时除以A（严谨说法叫做乘以A的逆矩阵），即 1/A * A *X = 1/A * B，也叫做左除，而在matlab中，左除符号就是这个“ \ ”符号，所以应这样使用，即 A \ B代表 1/A * B（严谨来说，就是A的逆矩阵*B），即可得到X。

运行后我们便可看到解矩阵的结果：

大家可以手动动手验证一下看看对不对哈哈哈。

左除和右除

上面讲的是左除，下面我们来说说右除，也就是在右边乘以1/A（严谨说法叫做A的逆矩阵），那么这个方程组应该是这样的：

XA = B

如果A和B不变的话，对应的矩阵应该是这样的：

然后根据乘法的运算法则，可以发现，这个方程是没法解的（因为根本就没法乘，前面矩阵1列，后面矩阵3行，不相等，没法进行乘法运算）

所以，如果进行这样的乘法运算，我们需要把X的解矩阵变换（注意，变换后乘出来的结果和之前的方程组不一样，不一样！）：

那么根据运算律，我们可以得到现在的方程组是：

注：不一定有解，毕竟是现改的。

那么这个X如何求呢？

根据原方程： XA = B，我们需要在等号两端的右边同时乘以 1/A（严谨来说是A的逆矩阵），即：

X * A * 1/A = B * 1/A（左右千万不能放错） ==> X = B*1/A

在代码中，右除是这样写的（注意代码改动，因为矩阵B变了）：

%% 方程组求解,右除

clc;

clear;

A = [4 1 -2;

2 2 1;

3 1 -1];

% 定义一个3行3列的矩阵A，行与行之间使用分号隔开，每一行之间的元素使用空格隔开

B = [1 2 3]; %定义矩阵B

disp(A);disp(B); %显示A和B

X = B/A; % 右除

disp(X);

然后运行：

结束语

今天我们学习了如下的知识：

在matlab中定义矩阵。

线性代数矩阵乘法运算、求解知识。

关于矩阵乘法左除、右除的区别。

在matlab中求解两种矩阵方程的方法。

今天就到此结束啦，东西虽少，但是干货满满，希望大家马上学会！！！