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1957年高考数学压轴题,三次方程三角函数综合题,做对的学生不多

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大家好!本文和大家分享一下这道1957年高考数学压轴题。这是一道三次方程与三角函数以及三角恒等变换的综合题,在当年能够做对的学生不多,即使现在也有很多学生不会做。下面老师详细讲解一下这道题的解法,供大家参考。

先看证明部分。要判断某个数是否是方程的根,那么我们只需要将这个数代入原方程看看左边和右边是否相等。如果左边等于右边,则是原方程的根;如果不等,也不是原方程的根。

所以,将x=1代入原方程,则左边=1-(√2+1)+√2-Q+Q=0=右边,即1是原方程的一个根。

再看求解部分。由于sinA、sinB、sinC是原方程的三个根,那么根据三次方程根与系数的关系就可以得到一个方程组。

三次方程根与系数的关系:若x1、x2、x3是三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0,其中a≠0的三个根,则有x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x3x1=c/a,x1x2x3=-d/a。

于是,我们可以得到:sinA+sinB+sinC=√2+1,sinAsinBsinC=-Q。由于x=1是原方程的一个根,我们不妨设sinA=1,那么A=90°,B+C=90°,sinC=cosB,代入由根与系数关系得到的方程组中,化简后得到:sinB+cosB=√2①,sinBcosB=-Q②。

将方程①用辅助角公式变换,得到sin(B+45°)=1,而0<B<180°,所以B+45°=90°,解得B=45°,从而C=90°-45°=45°,Q=-sinBcosB=-1/2。

对于方程①和②组成的方程组,不用辅助角公式也是可以求解的。先将方程①两边平方,得到1+2sinBcosB=2,然后再减去②×2,即可得到1=2+2Q,从而得到Q=-1/2。再代入方程②,并用二倍角公式变换,得到sin2B=1。由于B是三角形内角,所以2B=90°,即B=45°,C=90°-B=45°。

另外,在设sinA=1的情况下,直接代入由根与系数的关系得到的方程组,得到sinB+sinC=√2,sinBsinC=-Q。此时将第一个方程进行和差化积的操作也是可以解出答案的。

也有同学说不知道三次方程根与系数的关系,其实本题不知道也是可以求解的。由于1是原方程的一个根,那么x-1就是原方程左边式子的一个因式,我们可以用因式分解或者整式除法求出左边式子的另一个因式为x^2-√2x-Q,从而得到一元二次方程x^2-√2x-Q=0。同样设sinA=1,那么sinB和sinC就是这个一元二次方程的两个根,这样就可以用一元二次方程根与系数的关系求解了。

这道题就和大家分享到这里,你学会了吗?

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