1957年高考数学压轴题，三次方程三角函数综合题，做对的学生不多

大家好！本文和大家分享一下这道1957年高考数学压轴题。这是一道三次方程与三角函数以及三角恒等变换的综合题，在当年能够做对的学生不多，即使现在也有很多学生不会做。下面老师详细讲解一下这道题的解法，供大家参考。

先看证明部分。要判断某个数是否是方程的根，那么我们只需要将这个数代入原方程看看左边和右边是否相等。如果左边等于右边，则是原方程的根；如果不等，也不是原方程的根。

所以，将x=1代入原方程，则左边=1-(√2+1)+√2-Q+Q=0=右边，即1是原方程的一个根。

再看求解部分。由于sinA、sinB、sinC是原方程的三个根，那么根据三次方程根与系数的关系就可以得到一个方程组。

三次方程根与系数的关系：若x1、x2、x3是三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0，其中a≠0的三个根，则有x1+x2+x3=-b/a，x1x2+x2x3+x3x1=c/a，x1x2x3=-d/a。

于是，我们可以得到：sinA+sinB+sinC=√2+1，sinAsinBsinC=-Q。由于x=1是原方程的一个根，我们不妨设sinA=1，那么A=90°，B+C=90°，sinC=cosB，代入由根与系数关系得到的方程组中，化简后得到：sinB+cosB=√2①，sinBcosB=-Q②。

将方程①用辅助角公式变换，得到sin(B+45°)=1，而0＜B＜180°，所以B+45°=90°，解得B=45°，从而C=90°-45°=45°，Q=-sinBcosB=-1/2。

对于方程①和②组成的方程组，不用辅助角公式也是可以求解的。先将方程①两边平方，得到1+2sinBcosB=2，然后再减去②×2，即可得到1=2+2Q，从而得到Q=-1/2。再代入方程②，并用二倍角公式变换，得到sin2B=1。由于B是三角形内角，所以2B=90°，即B=45°，C=90°-B=45°。

另外，在设sinA=1的情况下，直接代入由根与系数的关系得到的方程组，得到sinB+sinC=√2，sinBsinC=-Q。此时将第一个方程进行和差化积的操作也是可以解出答案的。

也有同学说不知道三次方程根与系数的关系，其实本题不知道也是可以求解的。由于1是原方程的一个根，那么x-1就是原方程左边式子的一个因式，我们可以用因式分解或者整式除法求出左边式子的另一个因式为x^2-√2x-Q，从而得到一元二次方程x^2-√2x-Q=0。同样设sinA=1，那么sinB和sinC就是这个一元二次方程的两个根，这样就可以用一元二次方程根与系数的关系求解了。

这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？