2004年江苏高考数学真题，椭圆的综合题，第二问难住不少学生

大家好！本文和大家分享一道2004年江苏高考数学真题。这是2004年江苏高考数学试卷的第21题，也就是倒数第二题，从题目所处的位置也可以看出这道题的难度并不小，事实也确实如此。这道题的第一问非常简单，但是第二问却难住了不少学生。下面就一起来看一下这道题。

先看第一小问：求椭圆的方程。

由于该椭圆的中心在原点，且焦点在x轴上，所以可以设出该椭圆的标准方程。椭圆的离心率为1/2，则有c/a=1/2；椭圆的一个焦点坐标为(-m,0)，则c=m，还有a^2=b^2+c^2，从而可以解出a=2m，b=√3m，c=m，进而得到椭圆的标准方程。

再看第二小问：求直线l的斜率。

这一问考查的是直线与椭圆的位置关系，按照一般的解题思路就是设出直线方程，并与椭圆方程联立，消去y，从而得到一个关于x的一元二次方程，然后再利用韦达定理解题。不过，这道题如果用这样的思路解题，过程将会非常复杂，因为本题不能用韦达定理求解，而且需要算出直线与椭圆的两个交点的坐标，然后在分类讨论。

那么，本题有没有更加简单的方法呢？当然有，根据题干中已知的|MQ|=2|QF|可知，点Q为线段MF的三等分点且靠近点F或者点M为线段QF的三等分点且靠近点F。这样的话就可以利用线段的定比分点来进行求解。

定比分点是高中阶段处理等分点的一个重要方法，特别是定比分点的坐标形式更是经常被使用。那么，什么是定比分点呢？定比分点的相关知识见下图：

回到题目。由于直线l与y轴有交点，所以直线l的斜率肯定存在，所以设直线l的斜率为k，那么直线l的方程就为：y=k(x+m)，从而得到点M的坐标为(0,km)。

再设点Q的坐标为(u,v)，如果向量MQ=2倍的向量QF，那么根据定比分点的坐标形式可得：u=(0-2m)/(1+2)=-2m/3，v=(km+0)/(1+2)=km/3。由于点Q在椭圆上，所以将点Q的横纵坐标代入椭圆方程，即可得到一个关于k的一元二次方程，解出方程即得到k的值，也就是直线l的斜率。

当向量MQ等于-2倍向量QF时，同样先用定比分点坐标公式表示出点Q的坐标，然后代入椭圆方程，即可求出k的其他值。综上就得到了直线l的斜率的所有取值。

这道题的第二问难度确实较大，很多同学根本就没有想到用定比分点的方法求解，还有很多同学想到了用定比分点求解，但是却记错了定比分点的坐标公式，从而导致最后的答案出错。这道题就和大家分享到这里，你觉得这道题难吗？