初中数学：截长补短法在证明线段间数量关系时的巧妙应用

一、截长补短法原理

截长补短法是一种常用的添加辅助线的方法，在证明几条线段之间的数量关系时（比如证明线段的和、差、倍、分等类的题目），非常有用。通常截长补短作辅助线的方法，构造全等三角形，以证明线段之间存在某种数量关系。

截长法：要证明一段长线段等于两个小线段的和，用截长法在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等；

补短法：延长较短线段至与另一条已知的较短线段的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。

当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情形之一时用此种方法：

（1）a>b

（2）a±b = c

（3）a±b = c±d

初中数学

二、截长补短法例题详解

例1、已知，如图，在△ABC中，AB>AC,∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB-AC>PB-PC。

证明：在AB上截取AN = AC

∵∠1 = ∠2且AP = AP

∴△APC≌△APN

∴PN = PC

在△BPN中有BN > PB - PN

∴AB-AC>PB-PC得证。

本题也可用补短法，大家自己证一证。

例2、已知，在△ABC中，∠B=60º，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，求证：AC = AE+CD

证明：在AC上截取AF = AE

∵AO平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD

AO=AO

∴△AEO≌△FAO

∴∠AOE=∠AFO

∵∠B=60º AD、CE是△ABC的角平分线

∴∠AOE=∠COD=∠ACO+∠CAO=60º

∴∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60º

又∠FCO=∠DCO CO=CO

∴△FCO≌△DCO

∴CD=CF

∵AC = AF+FC

∴AC = AE+CD

截长补短时，如果遇到一个角的邻边相等，可以通过旋转一个边（及其所在三角形）与另一边重合，然后构造全等三角形。

例3、问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN =(1/2)∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；

问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD延长线，若∠MBN＝(1/2)∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎么样的关量关系？写出你的猜想， 并给予证明。

证明：问题1

旋转△ABM，使BA与BC边重合，M至点M＇处，

则∠ABM=∠CBM＇,BM=BM＇,AM=CM＇

∵∠MBN = (1/2)∠ABC

∴∠ABM+∠CBN=∠MBN

∴∠CBM＇+∠CBN=∠MBN

∵BM=BM＇,BN=BN

∴△NBM＇≌△NBM

∴NM＇= NM =NC+CM＇

∴MN =AM +CN

问题2、

∵∠ABC＋∠ADC＝180°

∴∠DAB＋∠DCB＝180°

而∠DAB＋∠MAB＝180°

∴∠MAB =∠DCB

又AB＝BC 在CN上截取CE=MA

∴ △BCE≌△BAM

∴ BE = BM，∠CBE=∠ABM ∴ ∠ABC = MBE

又∠MBN＝(1/2)∠ABC ∴∠MBN = ∠EBN

∵BN = BN,BE = BM

∴△MBN = △EBN

∴NM = NE

而NE +EC = CN ，CE=MA

∴MN +AM = CN

例4、在△ ABC中,∠A=60º,D在∠A的平分线上,DE⊥AB,DF⊥AC

求证:当∠BDC=120º时BC=BE+CF

证明：延长FA至点M，使FM = BE,连接MD

∵D在∠A的平分线上,DE⊥AB,DF⊥AC

∴△BED≌△MFD ∴∠MDF =∠BDE BD=DM

∴∠BDM = ∠EDF =120º

∴∠MDC= 360º-120º-120º=120º

∴在△BDC和△MDC中BD=DM ，∠MDC = ∠BDC DC=DC

∴△BDC≌△MDC

∴BC=CM = FM+CF = BE+CF

练习1、已知，如图，AB//CD, ∠1 = ∠2，∠3= ∠4。求证：BC = AB+CD

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