印度大婶的地板画艺术3：RangoLee艺术在初等数学教育中的运用

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

RangoLee是一种来自印度的古老民间艺术。它在印度语中有许多名称。(例如，泰米尔语的Kolam，或孟加拉语的Alpana）。每天早上，家庭妇女在房子的前院里用白色或彩色的火石粉画RangoLee。用拇指和食指捏住一撮火石粉，通过在食指上滚动拇指，让火石粉落在地上。RangoLee设计可分为带点绘制和不带点绘制。点阵可以画成矩形、等距、径向、分形或复合，如由矩形阵组成的分形。下面的图（1、2、3、4、5）显示了各种画点的方式。

图1：矩形 图2：六角形 图3：放射状 图4：分形 图5：复合形

圆点可以用直线或曲线连接(图6、7、8)，也可以在圆点周围画一条线(图9、10)以形成图案。旋转和二面体对称的设计和鲜艳色彩的使用使它们看起来很漂亮。更多的设计可以在作者的书[1]中找到。

图6：当代 图7：椰子 图8：Dnyankamal 图9：葡萄树 图10：垂直图形

它们也可以被分为传统和现代两种类型。许多传统设计都有名字，而且往往有一些文化意义。有些还附有故事或神话传说。在传统和现代的设计中，都可以找到带点和不带点的设计。带点的设计可以通过连接点或在点的周围画线来绘制。

Bapat[2]、Ascher[3]和其他许多人[4, 5, 6, 7]已经研究了这些设计中的数学。在RangoLee设计中，有四个基本的数学原理：算法思维、欧拉图、变换几何和迭代。与普通的素描或绘画不同，这些线条是按照一种算法绘制的：每次绘制时都会重复一系列精确的动作和转折。学习算法思维是数学和计算的基础。大多数设计都是欧拉图：它们可以被画成一条永远不会重蹈覆辙的线。有些人把两个或更多的欧拉图放在一起，形成更复杂的图案。

在某些RangoLee设计中，人们可能会发现反射穿过一个轴(镜面对称)。其他一些设计是围绕一个点旋转。最后，在许多南印度设计中，人们发现比例对称应用于循环:你可以在较小的基础图案上构建更大的图案。数学家将这种类型的迭代定义为递归。这种迭代允许许多NCTM代数标准的实现，以及数字工作、数学事实、对称性、几何、测量，以及在数学和其他学科(如艺术和文化)之间建立联系。

一些数学教育家如Geevarghees[8]已经预见到并测试了[9]在小学数学教育中使用这些设计的积极效果。受这些书和所描述的设计的启发，这位作者开发了一个名为DOT.MATH的补充方案。下面简要介绍一下Bridges研讨会的方法和教学策略。

当孩子们看到RangoLee艺术的演示时，他们对使用彩色火石粉的绘画方法感到兴奋。以此为动力，通过艺术介绍数学概念。这位作者对3-6年级的学生采用了以下顺序：首先，要求他们以所有可能的排列方式画出两个、三个、四个、五个点。然后要求他们在没有数字的帮助下，以所有可能的组合/方式分别连接三个、四个和五个点。这使他们有充分的机会发挥自己的想象力，想出对称和创新的设计。他们被要求将自己的设计与朋友的设计进行比较，并讨论哪一个看起来不错，为什么。下图（11）应该能让人了解连接两点和三点的多种可能性。

图11：连接两个和三个点的许多可能性。

后来，作者给出了如图（12）所示的（1，2，3，2，1）数组的副本，并要求学生以所有可能的方式计算和添加点的数量。然后要求他们用他们能想象到的各种方式用直线或曲线连接，如图（13）所示。他们被要求与其他学生分享他们的设计，并被要求讨论哪些设计看起来很有吸引力以及为什么。接下来，他们会看到名为Bilve Patra的设计，并被问及他们的设计中是否有与此相似的。之后，给他们一份新的（1，2，3，2，1）阵列，并要求他们把它们连接起来，形成Bilve Patra设计，进行练习。最后，他们被要求只用两种颜色给它们涂上所有可能的方式。他们将自己的彩色图画与其他人进行比较。图12、13和14说明了这项活动。

图12：（1，2，3，2，1）阵列 图13：连接点 图14：给设计的1/2着色

如图14所示，可以通过用许多不同的方式为设计的半边或四分之一的整体形状上色来继续探索。这一练习可能有助于加深对等值分数的理解。为了研究形状的对称性，学生们被要求用虚线折叠纸张。他们还配备了一面袖珍平面镜，通过观察反射来研究对称性。

学生们被给予豆子或珠子来研究几何性质。例如，他们被要求估计需要多少豆子来勾勒出形状的边界，然后他们实际上使用真正的豆子(或珠子)并计算他们使用的数量。之后，他们将实际数字与他们的预测进行比较。此外，学生们还被问及，如果豆子更大、更小或颜色不同，他们需要的豆子是更多还是更少。作为另一种选择，学生可以使用线。

面积的概念是通过使用豆子填充整个形状来引入的。首先，要求学生估计填充形状所需的豆子数量。然后他们真的做了，数了数，并把这个数字和他们的估计进行了比较。

提供一张练习表，学习绘制图案的第一次迭代的复杂设计。要求学生在设计的前三次迭代中计算出基本图案的数量。继而要求他们填写图表并画出图形。三、四年级学生画条形图，五、六年级学生画条形图和线形图。然后，他们被要求预测下一次迭代中基本图案的数量。通过这个过程，引导他们学习图15、16和17中的y=3x和图18、19和20中的y=x^2关系。

图15：Bilve Patra迭代1 图16：Bilve Patra迭代2 图17：Bilve Patra迭代3

图18：椰子设计迭代1 图19：椰子设计迭代2 图20：椰子设计迭代3

许多孩子都是视觉学习者，动手活动不仅让孩子们觉得数学有趣，而且非常吸引人和有意义。孩子们，尤其是那些被“数学”这个词吓倒的孩子，在不知道自己在做数学的情况下，对做这些活动很感兴趣。除了强调通过交流进行估计、预测和合作外，还将更高层次的概念，如组合学、计算机算法和网络理论引入基础教育。作者希望这种方法能帮助孩子们跳出框框思考，并为后代解决生活方方面面的问题做好准备。

DOT.MATH课程的优势之一是将艺术融入数学。一路上，孩子们接触到了来自其他文化的故事，丰富了他们的社会研究知识。本课程中的活动适用于所有儿童。他们为已经在数学方面表现出色的孩子提供了一个在不同的环境中应用数学的机会。在数学上有挑战的孩子会对艺术感到兴奋，做作业时可能并不知道他们实际上在做数学。作业单已经设计好，并与常规课程保持一致，所以除了复印外，老师不需要额外的时间。因此，这个跨学科的健康工具对于教师和孩子来说都是非常容易理解和享受的。

在这个一个半小时的研讨会中，参与者将进行四项活动:1。观看由作者制作的20分钟的教育视频。这个视频包括关于RangoLee的神话和故事，印度妇女画它们的镜头，一些计算机模拟显示旋转和反射对称，以及对三位专家的采访。这段视频还包括孩子们在教室里实际活动的镜头。2. 学习如何创建RangoLee设计和装饰他们与彩色粉末。3.通过完成大约10个来自DOT的工作表来学习方法论。数学课程为一设计，仿佛他们是学生。教师将遵循前面在方法论和教学策略中描述的相同的活动顺序。他们将提供所有所需的材料，如白色和彩色燧石粉、工作表、铅笔、蜡笔、豆子、线、尺子和平面口袋镜。4. 参与讨论工具、方法和课程的优点和缺点。四至六人的方桌或圆桌是这个工作坊最理想的布置。

参考文献

[1] Bapat, Madhuri; RangoLee-A step by Step Learning; 2007.

[2] Bapat, Madhuri; Mathematics in RangoLee art from India. Proceedings of Bridges, pp 429-432, 2008.

[3] Ascher, Marcia; The Kolam Tradition; American Scientist, 2003.

[4] Chavey, Darrah; Wallpaper Designs of Mirror Curves Inspired by African Sona. Proceedings of Bridges, pp 345-352, 2013.

[5] Nagata, Shojiro et. el; Fundamental Study on Design System of Kolam Pattern. Forma, 22, 31-46, 2007.

[6] Demaine, Eric et.el; Sand Drawings and Gaussian Graphs. Proceedings of Bridges, pp 79-88, 2006.

[7] Subramanian, K.G.; Saravanan R.; Robinson T.; P Systems for Array Generation and Application to Kolam Patterns. Forma, Vol. 22, 47-54, 2007.

[8] Geevarghees, Joseph George; David, Nelson; Julian, Williams; Multicultural Mathematics; Oxford University Press, pp 1-24, 143-174. 1993.

[9] Gerdes, Paulus; Geometry from Africa: Mathematical and Educational Explorations. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. 1999.

[10] Madhuri Bapat, Use of RangoLee Art in Elementary Mathematics Education

青山不改，绿水长流，在下告退。

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