1991年高考数学压轴题，难度不算大但非常经典，现在仍然常考

1991年高考，湖南、云南、海南三省没有使用全国统一的数学试卷，而是这三省共用一套试卷。本文就和大家分享一下当年三省数学试卷的压轴题。

这道压轴题放在现在难度并不算大，但是题目非常经典，30年后的现在仍然属于常考题型，甚至高中数学学习中都会碰到类似的题目。接下来一起看一下这道题。

第一问证明函数的单调性，常用的方法有定义法和导数法。

证法一：定义法

定义法证明函数单调性可以归结为5个步骤：取值、作差、变形、判号、下结论。

取值取的是自变量的值，即x1、x2；作差做的是函数值之差，即f(x1)-f(x2)；变形是将函数值的差进行通分、提公因式、分子分母有理化等处理，最后变形几个多项式的乘除的形式，方便判断符号；判号就是判断差的正负；下结论就是根据自变量的大小及函数值的大小确定函数的单调性。

证法二：导数法

导数法证明函数单调性，先求导，再根据导数大于零函数为增函数，导数小于零函数为减函数来判断。

本题中，对f(x)求导并化简后可以得到：f'(x)=[2^(x+1)ln2]/(2^x+1)^2。

因为ln2＞0，2^(x+1)＞0，(2^x+1)^2＞0，所以f'(x)＞0，即函数为增函数。

如果本题是判断函数单调性，那么还可以利用函数单调性的一些常用性质快速判断，但是要证明单调性最好还是用定义法和导数法。

第二问证明不等式，先将f(x)的解析式代入后化简，并只需证明当n≥3时2^n-1＞2n成立即可。本文介绍三种方法。

方法一：数学归纳法

当n=3时，上面的关系式成立。

假设当n=k(k≥3)时成立，则2^k-1＞2k，那么当n=k+1时，2^(k+1)-1=2·2^k-1=2(2^k-1)+1＞2·2k+1=2(k+1)+2k-1。

又k≥3，所以2k-1＞0，即可证得当n=k+1时不等式依然成立。

方法二：导数法

先构造函数g(x)=2^x-2x-1(x≥3)，接下来只需要证明函数值恒大于零即可。

对g(x)求导，得到g'(x)=2^xln2-2。很明显，g'(x)在x≥3上为增函数，所以g'(x)≥g'(3)=8ln2-2=2(ln16-1)＞0，所以g(x)为增函数。则有g(x)≥g(3)=2^3-2×3-1=1＞0，即g(x)＞0恒成立，从而证得结论。

方法三：组合数的性质

根据组合数的计算性质，将2^n写成组合数的形式，然后两边同时减去1(Cn0)，一边就变成了2^n-1，另一边就变成了2n再加上其他一些正数的形式，所以可以得到2^n-1＞2n。

本题的难度不大，但是属于经典题目，特别是第一问现在仍然经常考试，需要特别注意。