微积分基础漫谈：一元函数导数与微分思想、概念的形成与基本结论

导数的本质是函数的变化率。变化率在不同学科中的具体含义不尽相同。

• 在变速直线运动中，位移 对时间 的变化率是时间 处的瞬时速度；

• 质量分布不均匀的细棒，质量 对棒上各点坐标 的变化率是细棒在 处的线密度；

• 直流电路中导线通过的电量 对时间 的变化率是电量在 时刻的电流强度；

• 生物学中，设 表示某生物种群在 时刻个体的数目，则在个体数量很大并且经常有出生和死亡的情况下， 对 的变化率表示种群的增长率；

• 在经济学中，设 表示生产 个某种产品的总成本，则 对 的变化率表示成本增长率，经济学中称其为边际成本，它表示产量为 时再多生产一个单位产品所需要的成本。

导数最初定义是1823年柯西在《无穷小分析概论》中定义的：如果函数 在变量 的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么使变量得到一个无穷小增量。

现在导数定义是19世纪60年代魏尔斯特拉斯用 语言定义的：

设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处有增量 ， 也在该邻域内时，相应地函数增量 ，如果任意给 ，存在常数 和 ，当 时，恒有 ，则称函数 在点 处可导，并称 为函数 在点 处的导数，记为

导数的几何意义就是函数形成的曲线在一点的切线的斜率。

最早导数主要用于求变速运动的瞬时速度（计算弹头的穿透能力或动能必须知道弹头接触目标的瞬时速度）和求曲线上一点的切线。牛顿从第一个问题出发，莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。

牛顿的想法很直观，如一辆汽车在10小时内走了600公里，它的平均速度是60公里/小时。但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60公里/小时。设汽车所在位置 与时间 的关系为： ，那么汽车在由时刻 变到 这段时间内的平均速度是： ，当 与 无限趋近于零时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，瞬时速度就近似等于平均速度 。

自然就把当 时的极限 作为汽车在时刻 的瞬时速度，这显然就是导数。

当函数 在 处可导时，其导数及定义可描述为如下形式：

【注】根据变量描述符号的无关性，其中的极限变量可以用其他符号描述.

曲线上一点的法线和那一点的切线互相垂直，导数(微分)可以求出切线的斜率，自然也可以求出法线的斜率。函数 在 点切线的斜率为 在 的值，那么法线的斜率为 。由此，根据直线的点斜式方程可得该点处的切线方程与法线方程。

根据上述定义，导数是通过极限对函数进行局部的线性逼近，所以导数是函数的局部性质。

• 一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。所以函数在一点可导不能保证它在这一点的某一邻域内连续，更不能保证它在这一点的某一邻域内可导。比如函数

在 处可导，但是在该点的任何领域内，该函数不连续也不可导。

• 不是所有的函数都有导数（例如产生突变点，奇点的函数就没有导数），一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。很容易证明：

• 
  

  可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。同时也可以举反例说明，连续的函数也不一定可导。如 在 处连续，但不可导。

  
  

• 
  

  另外还存在处处连续但处处不可导的函数。比如魏尔斯特拉斯函数：

  
  

其中 为实数, 为奇整数, 在 内处处连续但又处处不可导.

Weierstrass的反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为对于这类函数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又一次危机. 但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“分形几何”的产生.

所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方式具有相似性. “形”的这种性质又称为“自相似性”. 如云彩的边界；山峰的轮廓；奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等. 这些变化无穷的曲线，虽然处处连续，但可能处处不可导. “分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛应用前景的新的学科. 这也促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.

如果函数 在开区间内每一点都可导，就称函数 在区间内可导。这时函数 对于区间内的每一个确定的 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，这个函数为原来函数 的导函数，简称导数，可以记作

• 导数的运算法则

导数运算满足以下计算性质（四则运算法则）：

如果 ， ，则有如下链式求导法则：

• 导数计算的基本结论

根据上导数定义和性质，很容易计算出一些常见函数的导数：

在实际应用中，大部分常见的函数都是上述函数的和、差、积、商或相互复合（初等函数）的结果。所以一般情况下，函数的导函数计算是简单容易的。

• 高阶导数

如果函数的导函数仍然可导，则可以继续对其求导导数，从而有高阶导数。

被称为一阶导数， 被称为二阶导数，以此类推， 被称为 阶导数。也分别记作

其中 阶导函数 定义为

3、中值定理和洛必达法则

中值定理应包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理。

• 罗尔中值定理

如果函数 满足：在闭区间 上连续；在开区间 内可导；在区间端点处的函数值相等，即 ，那么在 内至少有一点 ，使得 。

几何上，罗尔定理含义是一条连续的曲线弧，如果除端点外处处有不垂直于 轴的切线，且两端点的纵坐标相等，则弧上至少有一点的切线是水平的。

罗尔中值定理不但是证明拉格朗日中值定理与柯西定理的基础，而且可以用来判定导函数零点的存在性及其分布，所以也是研究函数方程根的存在性及其分布情况的重要方法。我们知道，连续函数的零点定理也可以判定方程根的存在性，与罗尔定理相比，二者各有优点和局限性。零点定理要求的条件比罗尔定理弱，并且应用也比较简单，但当函数 有偶数个零点，在 的两个端点处符号不变，或者 在端点处值的正负不易判定等情况下，零点定理就无能为力了，需要借助于罗尔定理。

• 拉格朗日中值定理

如果函数 满足：在闭区间 上连续；在开区间 内可导，那么在 内至少有一点 ，使得

其结论也可以描述为

拉格朗日中值定理在微积分中具有十分重要的地位，它是研究函数在区间上变化性态的理论基础。函数的单调性、极值 (含最大、最小值问题) 和凸性中许多重要结论的证明，当然也包括方程根的证明与讨论，不等式的证明中，拉格朗日中值定理都发挥了很大的作用.

• 柯西中值定理

如果函数 及 满足：在闭区间 上连续；在开区间 内可导；对任一 ， ，那么在 内至少有一点 ，使得

值得注意的是以上公式中分子与分母中的 是相同的，这样上式右端可以看作是一个函数 在 处的函数值。当上式左端的 或 变动时，位于 与 之间的 将随之而改变，从而函数值 也随之改变。

从几何意义来看，柯西中值定理的结论就是拉格朗日中值定理的参数形式表示。事实上, 若将该定理中的函数 与 的自变量改用字母 表示，则 与 就是一条以 与 为端点的平面曲线 的参数方程，并且 就是弦 的斜率, 而 就是 上点 处切线的斜率。因此柯西中值定理在几何上就表示在满足定理条件的曲线 上，必至少存在一点 ，使 在 点处的切线平行于弦 。

从数学形式来看，当 时，柯西中值定理的结论就蜕化为拉格朗日中值定理。因此，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的推广。

柯西中值定理的在微积分中的主要作用为: 导出便于求不定式极限的一个常用的法则—— 洛必达(L'Hospital)法则；证明泰勒中值定理；判断方程根的存在性。

• 洛必达法则

设当 时，函数 及 都趋于零（或都趋于无穷大）；在点 的去心邻域内， 及 都存在且 ； 存在(或为无穷大)，那么

【注】其中 可以为六个变化过程中的任意一个，即

其中无穷 的去心邻域，对于 分别为右侧、左侧邻，即存在某个 ，邻域分别为 ， ；而无穷大则为无穷邻域，即存在某个 ，对应的无穷邻域分别为

应用洛必达法则必须满足三个条件才能保证结果的正确性，即：极限式为 或 未定式；邻域内的可导性且分母导函数在邻域内不等于0$； 存在(或为无穷大)。只有三个条件严格满足，才能保证结果一定正确。

• 泰勒中值定理

若函数 在开区间 内有直到 阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于 （其中 也在区间 内）的多项式和一个余项的和：

其中

这里 在 和 之间，该余项称为拉格朗日型的余项。以上公式称为带拉格朗日余项的泰勒公式。

当 ，则

其中 ，这里 在 和 之间，或者记作

以上公式称为带拉格朗日余项的麦克劳林公式。

若函数 在 处具有直到 阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个带佩亚诺余项的泰勒公式：

其中 为关于 的高阶无穷小量。类似有带佩亚诺余项的麦克劳林公式。

泰勒公式（泰勒中值定理）的思想包括两个方面：一是用简单的多项式函数来逼近复杂函数；二是通过函数在已知点处的信息（函数值及各阶导数值）来描述它在未知点的信息。这样就可以借助简单函数的性质来研究复杂函数的性质，利用已知点信息构造简单函数计算函数未知点的近似值。这也是数学中常用的思想——逼近的思想。

泰勒公式具有重要的理论意义与广泛的应用价值，比如：它是进一步研究函数性态的理论基础；可用于计算函数的近似值；它是 未定式极限的更一般的方法；用于证明不等式等等。

• 达布（Darboux）定理

形式1：设函数 在闭区间 上可导， ， 为介于 之间的任意一个数，则至少存在一个点 , 使 。

形式2：设函数 在闭区间 上可导， ，则至少存在一个点 , 使 。

推广：若 均在 上可导, 并且在 上 , 则 可以取 与 之间任何值。

由于连续函数介值定理有广泛的应用，因此导函数介值定理(Darboux定理)与导函数商的介值定理(在不要求导函数连续的情况下)也有广泛的应用。

运用达布定理很容易看出：若函数 在 上可导，则 在 上不可能存在第一类间断点。

4、导数的应用

中值定理经常用于证明方程根的存在性，证明恒等式，证明不等式，研究函数的单调性，求函数极限（用罗必达法则求 未定式的极限是常用手段），求函数的极值与最值，讨论函数的凸凹性，求函数的拐点 ，求函数的渐近线，描绘函数的图形等等。具体例子可以直接查高等数学或数学分析教材。

可导函数中导数的几个几何应用与最优化结论：

(1) 判别单调性

若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；反之，若函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。

(2) 求极值与最值（最优化）

导数等于零为函数的驻点，但不一定为极值点。

• 
  

  如果存在一点，使得导数在之前区间（左侧）上都大于等于零，而在之后区间（右侧）上都小于等于零（注意没有一个区间内导数恒等于0），那么是一个极大值点，反之则为极小值点。（第一充分条件）

  
  

【注】函数单调性的分界点为极值点，但是极值点不一定为单调区间的分界点。

• 
  

  如果函数在一点处导数值等于0，而在该点处二阶导数不等于，则该点一定为函数的极值点，并且二阶导数大于0，取极小值；二阶导数小于0，取极大值。（第二充分条件）

  
  

【注1】极值存在的位置除了可导函数的驻点，还有不可导点。不可导点存在极值一般通过定义或第一充分条件判定。

【注2】闭区间上的最值存在的可能位置为驻点、导数不存在的点和区间的端点。如果是开区间，则考察端点（包括无穷）处的左或右极限来判定是否取到最值。最优化问题反应到数学上就是求函数的最值。

(3) 判定函数或曲线的凹凸性

如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数描述的曲线图形是下凹的（凹曲线），函数为凸函数；反之为上凸曲线。如果二阶导函数存在，如果在某个区间上二阶导数恒大于零，则这个区间上函数为凸函数，曲线图形为下凹曲线；反之这个区间上函数描绘的曲线图形向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点

【注】拐点为曲线上的点，故拐点为坐标点 ；而极值点为变量在坐标轴上的取值，即 。

5、微分

其实导数和微分概念是一致的，没什么更多可说的。

函数 的微分 。可导与可微是等价的。若求出了函数在一点的导数，再乘以 即得该点的微分；若求出了函数在一点的微分，再除以 即得该点的导数；因此导数又叫做微商。

需要注意的是：函数在 点的微分是自变量增量的线性函数，因为微分是对函数的局部变化的一种线性描述。

如果一个非线性函数某点可微，其在该点的自变量有一个微小的改变时，函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分：它正比于自变量的变化量 ，可以表示成 和一个与 无关、只与函数及有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在 上的值。另一部分是比 更高阶的无穷小，也就是说除以 后仍然会趋于零，即

当改变量很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在 处的微分。函数值的增量与微分为等价无穷小，即

微分主要用于计算函数值或函数值增量的近似值。它在构建变化率、微分方程、积分模型中具有重要的意义。定积分的被积表达式就是被积函数原函数的一个微分。

但是不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点不可微，就无法用线性函数逼近。

在现代微积分中，微分被定义为将自变量的改变量映射到变化量的线性部分的线性映射。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

未完，待续...

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