全水平段适用，初三数学全攻略

今天的这篇文章，一年前大概这个时候发过，对开学马上初三的同学，应该是参考价值比较大的。重新修改了一下，给准初三的同学和家长看看。

刚过去的这届初三，大家都在面对未知。就数学而言，一路走来，我们经历了学科分值变化（从150分变成120分），具体题型和分值的变化（最后题型不变，只是分值变了），疫情带来的中考延迟，以及广东省中考卷的超高难度对我们备考的影响。

就结果而言，数学中考延续了我们广州市以往的稳定性，即前面很正常，难题比较难。结果就是，基础一般的同学，只要学习和复习得当，得个八九十分难度不大，目标是三位数往再上走的话，要求很高。

本文将由两个部分组成，前半部分是针对好、中、差三个不同层次的学生的数学学习建议，后半部分则是精确到九年级上册数学课本每一个章节的分析。

1

不同水平层次的学生，应该侧重的地方当然是不一样的。

首先是基础非常不错，目标瞄准110分以上的同学。

这部分学生一般又可以分为两类，这两类是要分开来讨论的：

1. 顶级民办初中的前列学生

2. 公办初中的尖子生

之所以要区别对待，主要在于学习环境的差异。

能奔着110甚至120目标去的学生，大部分出自民办初中，排头的几所民办中的战斗机例如育才实验、金广附，整个年级可能有三分之二的学生有这个实力，稍微二线一点的民校估计也有半数学生能达到这个水平。然而，在公办学校里，只有“重点班”里的部分学生以及平行班里偶尔出现的一两个学生能有上述水平。

这两者最核心的差异是，老师讲课内容完全不一样。是的，不仅仅是侧重点不同，而是几乎是完全不一样。随着学期的深入，战斗机民校把将越来越多地把讲课重点放在压轴题的训练上，嗯，就是一节课讲一两道题的那种；而公办学校平行班，不得不由始至终把讲课重点放在基础知识和题型。

老师A：一旦碰到这种函数压轴题里涉及垂直的问题，除了常规的设动点用勾股解决问题外，今天我们再讲一种更快的方法，那就是k1乘k2等于负一……诶，什么？你们都学过了？那还配合我听一听吧，好歹我是个老师。（崩溃脸）

老师B：方程有两个不相等实数根，吊塔大于零，方程有两个相等实数根，吊塔等于零，方程没有实数根，吊塔小于零……唉，说了三百次，一元二次方程没有一个实数根的情况！（崩溃脸）

嗯，二者的差距大概如此。

所以，前者如果能紧跟学校老师脚步，其实没有什么补课的需要，顶多在初三下学期冲刺前，有针对性地补补弱项即可。唯一的建议，就是注意细节，例如确保计算正确率，答题规范性问题等。

而后者，公办学校里基础不错的同学，很遗憾，学校课堂教学可能已经满足不了你。在学校，你能够做的就是确保基知识完全过关，基础题目完全没有问题，然后课后自己找时间提高，最佳方案就是补课。在选择课外补习的时候，要选择把教学重心放在提高题乃至压轴题上的。但是切记，这一切都是建立在课堂知识吸收与课后作业完全没有问题的基础上，否则容易适得其反，另外压轴题是需要长时间的训练与消化的，绝不是每周一次课，然后一周都不接触就能掌握。想想看，你那些来自民校的竞争对手每天在学校就在重复做着这些题目，你要逆袭谈何容易？

非常遗憾，这部分提到的现象，充分说明了为什么家长为了知名民办初中抢破头，从小开始各种超前教学和特长学习。

第二部分，应该是占据比重最大的人群，数学成绩介乎及格边缘至中上水平。

他们有的是文科比较优秀的偏科生，数学也学得很努力，但只能维持一个尚可的水准；更多的不是偏科问题，即各科成绩差不多，既不是很理想也没有很差，并且波动程度较大。这个群体的学生，可能出现的问题比较广泛，本文只谈学科问题，学习态度和主动性等先按下不表。造成数学成绩上不去的原因主要有两个，一是对数学科的学习定位不清晰，二是学习方法未掌握。

初三了，是时候把定位问题拿出来讲了。你究竟希望考怎样的学校，这些学校需要怎样的中考成绩，而你目前的成绩如何，要完成这个目标，在数学这一科你要达到一个怎样的分数？家长和学生，你们不妨找个时间就这个问题讨论一下，给自己定两三个目标，可以有憧憬的目标，也可以有保底的目标。

例如，广雅是我心仪的首选，但考虑到可能比较遥远，真光可能是更合理努力方向，至少不能差过四中吧？那么你就应该弄明白，依据今年的情况，广雅需要713分，真光大概673分，四中则是610分，结合自己的各学科情况，如果我语文英语比较理想，理科偏弱，那么数学这一科上比较合理的对应目标可能是110分，100分和90分。随着学期的深入，考试的增多，这个目标可以不断完善，更加仔细。

之所以把定位问题放在这一部分来讲，是因为这个问题是制约成绩中等学生的最大桎梏，太多太多学生，包括家长，做一天和尚敲一天钟，对目标没有任何概念，学到哪里算哪里。而这是第一部分的学生和家长不会出现的情况。

有了定位，接下来讲数学的学习方法。我们可以粗略地把一份中考数学试卷的难度要求比例看成5:3:2，即可简单，中等和难题部分分别约占50%，30%和20%。对你们来说最直接的建议，是百分几百打好基础，搞定那50%的简单题，日常作业、补习努力做好30%的中等题，力所能及的情况下尝试在20%的难题里拿到一点分。然而很遗憾，大部分此类学生基础非常不扎实。

进入初三，知识内容难度会增大，二次函数，圆，和相似这三章内容，都必然会在那20%的难题里面出现。有一个误区是，什么是数学难题？数学的难题主要难在运用灵活，一道题需要调取多个知识来解决。举个例子，哆啦A梦在遇到事情的时候，需要在百宝袋里拿出能够解决这件事情的法宝。

放在数学里，每一件法宝就是你所掌握的对应章节的知识，更复杂的事情是，很多时候一件法宝不能解决，需要多件。所以首先，你的百宝袋（脑袋）里需要有这些一件件的法宝（知识），然后需要通过练习，在考试的时候快速想到应该用哪些法宝组合在一起。

所以，看到没有，所有的问题首先还是基础，放到接下来的初三上学期，那就是每一章你需要掌握一些什么，对应做出来怎样的题目，关于这点，不妨拉到文章第二部分，收藏起来。

除此之外，还有一个比较老土的建议，错题归纳。错题按照重要程度依次是：大考（期末考、期中考、月考）＞普通测验＞作业与教案。

所有大考题目，建议弄明白每一道题，并且专门记下来不断归类，回顾；普通测验，所有不是因为粗心而错，确实是不会做而扣分的题目，记下来，归类，回顾；作业与教案，选择少部分常见却还未掌握的题型归类，回顾。关键词：归类，回顾！近似题型的归类，能够帮助学生快速提高，在有空的时候以及大考之前的回顾，即是最好的考前复习。我们不是做题机器，我反对题海战术，比这更重要的是令每一道题都有收获。

最后，是数学常年达不到及格线的同学。对于这部分学生，先问问自己，还想不想学？如果不想，可以省略，神仙也没有救。

如果还想学，那么我明白你们在学校可能连课都听不懂的痛苦。没办法，数学知识是一环扣一环的，如果你只有二三十分，那么说实话，学新知识完全没用。举个例子，九年级上册第一章，一元二次方程，如果你没有掌握一元一次方程（移项）、因式分解，基本没法学。如果没有一元二次方程以及一次函数的底子，二次函数完全没法学。

所以，剩下一年，还想有救，先放下新知识，重构旧知识。

你需要重新认识初中数学。

初中的数学，都在考什么？准确的说，是要学生掌握一些什么能力，才能应付过来？我们需要对初中的数学有一个宏观的重新认识。

数学，可以简单分为代数与几何。我又会把初中学生要掌握的能力分为四个：运算能力、方程能力、几何能力和函数能力。

其中，运算能力和方程能力是基础。

运算能力，指学生掌握所有代数运算、整式、分式、二次根式运算的能力。具体内容及所属学期如下：四则混合运算（小学）、有理数运算、整式加减（初一上）、实数（初一）、整式乘法、因式分解、分式（初二上）、二次根式（初二）。

方程能力指学生学过的所有涉及方程和不等式的解答能力。具体内容及所属学期如下：一元一次方程（初一上）、二元一次方程组、不等式与不等式组（初一下）、分式方程（初二上）、一元二次方程（初三上）。

几何能力和函数能力，顾名思义，学生在处理这两类数学问题中展现出来的能力。

这个水平的学生， 可以说是非常痛苦的，他们在学校即便想听，也是根本难以听进去的。因为基础的缺失，会导致后面的雪球越滚越大，听课，做作业对于他们来说已经是不可能完成的任务。对于这部分的学生，唯有先重新认识游戏规则。

为什么叫重新认识游戏规则？我会这么和学生说：你们玩任意一个游戏，不熟悉游戏规则怎么玩？以王者荣耀为例，大到按键操作，胜负规则，小到某个英雄的技能有什么作用，怎么使用，你必须先懂，才能开始玩。

同理，比如最简单的一元一次方程，你必须要知道什么叫一元一次方程，什么是移项，移项要变号等等这些规则，才能开始去解方程。所以，首先是要让他们按照知识的先后顺序，先认识并记住游戏规则，哪里不知道，就回到哪里开始。

比如上面提到的运算能力，就应该按照这个步骤先检测：小学四则混合运算（整数、小数、分数）→有理数运算（引入负数）→整式加减→实数运算→整式乘法→因式分解→分式→二次根式。其中每一个环节，确保学生知道是怎么计算得到结果的，然后进行下一个内容，否则就从这一部分开始重新认识。

回到王者荣耀，在知道某个英雄的特点，以及技能怎么使用之后，如何玩得溜？不断玩玩玩！在一局又一局的游戏里，摸索出技能释放时机，风骚的跑位，以及和哪些英雄配合最好等等。也就是从纸上谈兵，变成熟能生巧。

同理，掌握了一元一次方程的运算规则，接下来就是从简单到复杂的，反复不断地练习，完成这一类问题从单纯准确率，到追求速度、计算复杂度、准确率的同时提升。注意，这只要停留在纯计算层面，暂时不需要加入例如应用题等其他问题

运算与方程的所有内容完成上述两步后，比起分数上的提高外，更重要的是他们会回到正常的数学学习轨道上，即可以正常听课，完成作业，在涉及物理、化学等的计算问题上不再害怕，对数学找回一定的信心。

2

初三上册的五章书，我也拆开来讲讲吧，觉得枯燥的可以直接跳过，或者收藏起来等学这个章节的时候拿出来瞧瞧，有个大致印象。

第二十一章：一元二次方程

基础部分

1. 一元二次方程的定义

2. 四种方法解一元二次方程（直接开方法、配方法、公式法、因式分解法）

3. 充分掌握根的判别式（即△）

4. 充分掌握一元二次方程的的根与系数的关系（韦达定理），以及几条相关拓展的式子

5. 实际问题中的增长率问题、握手/送礼问题、病毒感染问题

进阶部分

实际问题中的矩形面积问题

利润问题

总结

★即使最差的学生，也必须掌握公式法解一元二次方程，这是万能的方法；其余学生则都应该要掌握所有解方程的方法，基础较好的学生，最好对十字相乘法有足够的熟练度。十字相乘广州中考非必考，但是高中会大量使用并默认已经掌握。

★关于根的判别式，即△的题目，要条件反射地知道，看见哪些字眼（两个不相等实数根、两个相等实数根、没有实数根），则肯定是要列出△求解。

★韦达定理基础2条公式需要非常熟练，另外几条拓展公式都是可以推导的，实在基础差的同学死记硬背也要记下来。

★实际问题共可分为五类，其中前三类较基础，进阶部分的两类则变化较多，较为灵活。一般握手/送礼或病毒感染不会在大考里面出大题，其余三类都有可能出现大题。

★一元二次方程学不好，二次函数会非常吃力，因此一元二次方程是所有二次问题的基础。

第二十二章 二次函数

基础部分

1. 熟练掌握二次函数顶点式的图像（开口、顶点、对称轴、最值）

2. 熟练掌握二次函数一般式的图像与性质

3. 知道a相同的任意二次函数如何通过平移得到

4. 熟练解决求二次函数的解析式（顶点式、一般式、交点式）相关问题

进阶部分

1. 利用二次函数的图像及性质解决较难的题目，如给出一个二次函数图像，判断一些含a、b、c的代数式的正负

2. 二次函数与一元二次方程的关系，非常灵活的一类题型

3. 建系，利用二次函数解决某些应用问题

4. 二次函数综合性大题（动点问题）

总结

★二次函数是中考占比最高的单个章节，能够达到35分以上，题目难度跨度大，一定会在压轴题里面出现，并且对高中函数能否学好有着深远的影响，可以说是整个初中阶段最应该重视的章节。

★二次函数顶点式在使用的时候，对称轴x=h的符号非常容易出错。

★图像对解决函数问题非常有帮助，不可逃避，借助图像才能深入地理解函数。学生要习惯看图，作图解决问题，尤其是解决一些比较灵活的题型时。

★压轴题需要长时间，系统的练习，在基础部分没搞定之前，不宜花费过多时间。另外学校也会有所选择，一般的学校或者班级，几乎不会讲压轴题型的二次函数问题，而优秀学校或者尖子班却会把大量时间用在这里，这也是无奈之举，老师需要根据大部分学生的实际情况授课，因此如果在确保基础完全过关的情况下，学校如果不讲或少讲，是应该找课外辅导机构去加强压轴题型训练的。

第二十三章：旋转

基础部分

1. 旋转作图题

2. 判断中心对称图形

3. 利用旋转前后图形全等解决部分几何问题

进阶部分

以旋转作为工具，解决较复杂的几何问题

总结

★旋转这一章知识点不多，学生要记住并不难，中考也有关于这章节的送分题（选择题会出现问什么哪些中心对称图形）但是，考题会通过旋转这个工具在几何证明题里面考学生辅助线的运用，难度会很大，本质上是几何的综合运用。

★期中考期末考必然会考旋转作图，而中考作图也有不低的概率出现旋转，因此作图是每个学生都要过关的。

第二十四章：圆

基础部分

1. 与圆有关的定义（半径、弦、弧、圆心角、圆周角）

2. 垂径定理

3. 圆心角、圆周角相关定理

4. 点与圆、直线与圆的位置关系

5. 切线相关题目

6. 正多边形与圆

7. 与圆有关的计算（扇形、圆锥）

进阶部分

圆的综合证明大题

总结

★圆的学习与多边形有不一样的地方，整个关于几何题的思维形式会有改变，与圆有关的题目，必须考虑圆周角与圆心角，这是多边形所没有的，学生在寻找条件的时候容易忽视这点。

★这是知识点非常零散的一章，也是需要记忆的比较多的一章，个别经常不记公式或定理的学生，要采用默写的形式去记住定理和公式。

★圆的综合证明题，非常灵活，尤其多会出现圆心角、圆周角关系，以及切线的证明，往往是中考中压轴题之前一题（22、23题）的存在，存在一定区分度，需要多加练习。

第二十五章：概率初步

基础部分

1. 充分了解必然事件、随机事件与不可能事件的含义

2. 会用列举法（列表、树状图）求概率

3. 充分了解什么是用频率估计概率

总结

★比较简单的一章，但却又是必考的一章，期末考肯定会出现大题，中考也有极大概率出现大题，因此对学生来说是非常划算的，简单却必考，那不是送分的形式存在吗？

★本章重点要放在列表或者画树状图求概率上，注意两点，一是依据题目表述，确定是放回还是不放回；二是要非常强调格式，越简单的题目，改卷者越会在格式上面抓得严，因为格式丢分是非常可惜的，但是不少学生却总是忽略这一点。

3

数学是枯燥的，这篇文章有6000字，很枯燥，也很纸上谈兵。哪怕你全部记住了，不实践，不坚持，也完全没有什么帮助。

和学生一样，课堂上除了知识点外，我还喜欢一遍又一遍地讲一些小方法和技巧，站在出题人角度讲题目的注意事项，讲大家看到某个条件时应该有的第一反应。

这些不是为了在课堂上会做一道题，而是希望大家在任何时候的学习（主要是学校课堂和课后作业）中，能够想起我说过的这些话，能够记住，能够用起来。唯有这样，学到的才是自己的。

好，就啰嗦到这里。

有拉到最后看到这段文字的家长，如果有需要，可以进区老师的中考通群，和全市各地的初中生家长以及区老师本人交流更多。另外，下周开始将重新开放少量线下面谈名额，有什么学习、政策方面想了解的，或者想进群的，欢迎扫描下方海报二维码添加小助手。

也可以在公众号对话框回复【私微】，添加区老师本人微信，添加请注明年级哦。

如果觉得本文有帮助，不妨在下方点【赞】和【在看】，或者直接分享给有需要的家长或者班级群，谢谢大家的认可。