数学为什么如此有效？也许这是科学最深的秘密

1928年，英国青年物理学家保罗·狄拉克提出了后来被称为"狄拉克方程"的理论，希望建立一个同时符合量子力学和狭义相对论的电子理论。分析这一方程时，他发现它不仅存在描述电子的正能量解，还不可避免地出现了另一类负能量解。

这些负能量解究竟意味着什么？起初连狄拉克自己也感到困惑，后来他大胆提出：也许它们并非毫无意义的数学结果，而是对应一种尚未被发现的新粒子，这种粒子应该与电子质量相同，却带有相反的电荷。

四年后，美国物理学家卡尔·安德森在宇宙射线实验中发现了这种粒子——正电子，也就是电子的反粒子。这是人类发现的第一种反物质粒子。

这是科学史上最神奇的时刻(之一)：不是实验发现了新的理论，而是数学方程本身的答案先一步指向了尚未被观测到的自然现象。

类似的故事，在科学史上不断重演。

19世纪，出于纯粹几何问题发展起来的黎曼几何，后来成为广义相对论描述时空的语言；为研究热传导而建立的傅里叶分析，今天支撑着医学成像、通信和音频处理；最初用于讨论方程根的群论，最终进入粒子物理，成为描述基本对称性的核心工具。

为什么会这样？人类头脑中创造出的抽象数学，为什么总能在意想不到的地方，精准地描绘出真实的世界？

1960年，物理学家尤金·维格纳（三年后，他因原子核结构理论获得诺贝尔物理学奖）把这个问题写成了一篇影响深远的论文：《数学在自然科学中不可思议的有效性》。

而六十多年过去，这篇论文依然没有过时。因为维格纳所提出的问题，至今没有答案。

数学为什么会有这么大的用处？

很多人认为，数学是为了研究自然才发展出来的。

但历史上有不少重要的数学分支，走的却是相反的路径。

数学家研究许多问题，最初只是因为纯粹的好奇，而与自然现象毫无关系。

复数刚出现时，曾被许多数学家质疑它是否真实存在，认为它只是求解方程时不得不引入的一种虚构出来的数；非欧几何诞生时，被认为只是对欧几里得几何的另类游戏；矩阵、群论、拓扑、黎曼几何，都曾长期停留在纯数学领域，看不出有什么实际应用。

如果把时间拨回十九世纪，很少有人会相信：这些抽象得近乎脱离现实的理论，未来会成为现代物理的基础。

然而历史一次次证明，数学似乎总是在等待属于自己的时代。

黎曼几何等待了半个世纪，遇见了阿尔伯特·爱因斯坦；群论等待了几十年，遇见了量子物理；数论沉寂了上千年，最终成为现代密码学的根基。

数学的发展轨迹确实有点奇怪，很多分支好像是提前几十年、上百年就打下了基础，就等着后来的物理或工程需要用的时候正好用得上。真正让人费解的是，为什么这种"正好用得上"会一次又一次地发生。

数学为什么能描述自然？

维格纳首先提醒我们，不要把科学理解成对现实世界的简单复制。

现实世界充满细节。每一片树叶都有不同的纹路，每一颗石头都有不同的形状，每一滴雨雪都有不同的轨迹。

科学做的事情，却恰恰相反。它主动忽略无关细节，只保留那些能够反复出现的规律。 苹果落地、月球绕地、彗星运行，这些看似毫无关系，却都服从同一种引力规律。

数学最擅长做的，就是表达这种抽象关系。它不关心研究对象是什么，函数也不关心描述的是电流、气流还是星系，它们只关心变量之间如何变化。

因此，一套数学工具能够不断跨越不同学科，被反复使用。

但维格纳认为，这只是问题的一半。真正不可思议的，并不是数学能够描述规律，而是自然界居然存在如此丰富而稳定的规律，可以被数学描述的结构。

数学为何能解释不同现象？

科学史上还有一种现象，维格纳尤其感到惊讶：同一种数学结构，经常会出现在彼此毫不相关的领域。

描述振动的微分方程，可以研究钟摆，也可以研究电路、声波、量子系统；傅里叶分析既能分解一段音乐中的频率，也能帮助重建医学扫描图像；矩阵既可以表示空间变换和量子态，也是现代机器学习不可缺少的基础工具。

这些对象会在数学层面呈现相似的结构。原因之一是，世界虽然复杂，变化的基本方式却可能没有想象中那么多。只要不同系统具有相近的约束、对称性或演化关系，它们就可能服从形式相同的方程。

于是，一种理论可以离开它最初诞生的领域，在完全陌生的地方再次出现。数学不像一把只配一把锁的钥匙，更像一种研究结构的语言：只要结构相同，它就可以被反复使用。

数学是发明还是发现？

维格纳没有急着回答这个问题，而是把读者带向一个更古老的哲学争论。

数学究竟是什么？

一种观点认为，数学像国际象棋，是人类制定规则后形成的体系，因此它是发明。

另一种观点则认为，人类只能发现数学，而不能创造数学。就像没有人发明圆周率，也没有人创造质数。

持"发现说"的人会说：即使地球上从未出现过人类，勾股定理依然成立，欧拉公式依然成立。

如果数学是发明，那么自然为何如此配合我们的创造？如果数学是发现，那么这些数学对象又存在于哪里？

对于这些问题，维格纳没有给出答案，他只是坦率地承认：我们不知道。

这种诚实与克制，也许正是科学精神最重要的一部分。

科学为什么能够成功？

在论文结尾，维格纳写下了一句极具哲理的名言：“数学在自然科学中的巨大成功，是一份我们既不理解、也不配拥有的奇迹般的礼物。”

这绝非物理学家的谦辞，而是对科学基础最深沉的反思。

科学之所以能够存在，本身就依赖一个容易被忽略的前提：自然界是有规律的。

假如今天苹果向下落，明天随机飞向天空；假如电子每天都改变质量；假如同一个实验永远无法重复，那么再高明的数学，也无从建立科学。

科学不仅依赖人的理性，也依赖宇宙本身具有着秩序。

从这个意义上说，人类能够理解世界，本身就是一件值得惊讶的事情。

今天，我们离答案更近了吗？

今天，数学已经深入现代文明的每一个角落。

从天气预报、卫星导航，到量子计算、蛋白质结构预测，再到人工智能，这些都建立在数学模型之上。尤其是近年的大语言模型，本质上仍然运行在线性代数、概率论、优化理论和高维几何之中。

技术不断刷新我们的能力，却没有削弱维格纳的问题。恰恰相反，它让那个问题变得更加尖锐。

为什么世界能够被构建成数学模型？为什么那些看似冰冷的符号，能够预测天气、设计芯片、发现新材料，甚至帮助机器理解语言？

我们越依赖数学，就越难忽视这个疑问。

一个至今没有答案的问题

有人说，数学是一门追求确定性的学科。在证明里，只要前提明确、推理无误，结论就不容含糊。

维格纳却告诉我们，数学最深刻的地方，恰恰在于它保留了一个巨大的未知。

我们知道如何使用数学，却不知道为什么它如此有效。我们知道公式能够预测世界，却不知道世界为什么愿意对应这些公式。

这正是维格纳那篇论文历经六十多年仍被反复讨论的原因。它没有提出新的物理定律，也没有建立新的数学理论，只是让科学停下来，回头看了一眼自己脚下的地基。

法国数学家亨利·庞加莱曾表达过类似的思想：科学家探索自然，不只是因为它有用，也是因为其中蕴含着值得认识的秩序与美。

维格纳的论文，则像是在这层思想后面补上了另一层含义：数学之美，不仅来自它自身的严谨，更来自它与宇宙之间那种不可思议的契合。

我们依靠这种契合认识世界、改造世界，却至今不知道它为什么存在。

也许，这才是科学最深的秘密(之一)。

来源：遇见数学

编辑：可去奇点

转载内容仅代表作者观点

不代表中科院物理所立场

如需转载请联系原公众号