量子态是如何量化的

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原创：雷丰图

校对：牧夫天文校对组

后期、责任编辑：王启儒

上篇文章我们说到，所有微观粒子都具有波粒二象性，物理学家把这种“既是波又是粒子”的状态，起了一个专门的名字——量子态。

很多科普讲到这里就停了，仿佛“量子态”是一个用来终结话题的魔法词汇。但你心里一定还有疑问：量子态到底是个什么东西？它是真实存在的，还是数学家的脑内剧场？为什么它一被测量就“坍缩”？光子究竟是怎么“同时走两条缝”的？

要回答这些问题，首先我们要了解一下量子态的住处—— 一栋名叫希尔伯特空间的房子里。

希尔伯特空间：一个形容“状态”的向量空间

先看一个生活中的例子。普通的三维空间，每个向量用三个数字 (x, y, z) 就能描述。

但现在想象你要描述一根琴弦的形状。琴弦不是三个点，它是连续的一条线。要完整描述它在某一瞬间的形变，你需要给出这条线上每一个点的偏移量——无穷多个点，就需要无穷多个数字。

希尔伯特空间，就是这种需要无穷多个数字才能描述的状态所组成的空间的一种，同时也是最规整、最适合做物理的那一种。量子态就可以看作是希尔伯特空间里模长为1的向量。

在双缝实验里，我们只关心两种可能：走左缝、走右缝。于是整个无穷维空间被简化成一个二维子空间，两条缝分别对应两个正交的基向量：

|左⟩：光子确定走左缝的状态

|右⟩：光子确定走右缝的状态

这就像平面直角坐标系里的x轴和y轴，互相垂直、互相独立。

光子的任何状态，都可以写成这两个基向量的组合：

∣ψ⟩=a∣左⟩+b∣右⟩

这里 a 和 b 是复数，叫概率幅。叠加不是“不知道走哪边”，而是“本质上同时具备两种可能性的成分”——这就像“东北方向”同时包含“东”和“北”两个分量，你不会觉得东北方向有什么神秘。

既然光子的状态向量可以被写成这个形式，我们又如何计算 a 和 b 具体的值是多少呢？

这里我们就要运用到向量的内积。首先我们知道，状态“左” 和状态“右”在向量空间中为正交（内积为0）。而一个向量与自己（复共轭）的内积为1。从而我们得出

这就完美了——如果|a|²是光子出现在左缝的概率，|b|²是光子出现在右缝的概率，加起来刚好是1，符合总概率守恒。概率规律不是硬贴上去的，它是希尔伯特空间里“向量长度为1”这个条件的自然结果。理论上，任何满足|a|²+|b|²=1的复数对(a, b)都对应一个合法的量子态。自然界中有无数种不同的量子态，每种都有一组不同的(a, b)。光子究竟处于哪一种叠加态，取决于它是怎么被制造出来的。

举个例子：

如果让一束光直接照射两条完全对称的缝，入射波前是平的，左右缝被同等激发。这时候光子态大致是 |ψ⟩ = (1/√2)|左⟩ + (1/√2)|右⟩，a = b = 1/√2。此时|a|² = |b|² = 1/2，走左缝和走右缝的概率各占50%。

如果你在左缝前面加一片薄玻璃，改变左缝的光程，左边分量的相位会被推迟，a 仍是1/√2，但b变成了 (1/√2)·e^(iφ)，a 和 b 大小不变，相对相位不同。

如果直接把右缝遮住，制备出的光子态就是 |ψ⟩ =

|左⟩，a = 1, b = 0，没有叠加。

a 和 b 的数值，是你制备量子态时“写”进去的。实验装置决定了它们。

由此，一个东西同时处于两种状态——翻译成希尔伯特空间的词汇，只是一句话：两个向量相加，得到一个新向量。

如何确定一个量子态

那么我们观测到叠加态吗? 例如，我们能直观的看到一团概率云同时飞过左缝和右缝吗？

上期我们提到，在未被测量前，光子处于叠加态。而测量，迫使它“做出选择”。也就是说在测量后，光子的状态从|ψ⟩ = a|左⟩ + b|右⟩ 坍缩成了 |ψ⟩ = 1 |左⟩ 或 |ψ⟩ = 1 |右⟩。也就是经典的观测结果。该过程是真随机的，由概率决定，但你没法从一个结果反推 a 和 b。

但如果你重复同一个实验很多很多次（比如发射100万个光子），统计“左”出现的频率，这个频率会趋近于|a|²；“右”的频率趋近于|b|²。通过大量统计，你可以反推 a 和 b 的模（即|a|和|b|）。

你还可以设计干涉实验——改变两条路径的相位差，观察干涉条纹的移动，这就是量子态层析（quantum state tomography）的基本思路，暂时超出了本文的初衷。

小结

1. 量子态是希尔伯特空间里长度为1的向量。

2. 双缝实验的两个可能路径构成基向量|左⟩和|右⟩。

3. 叠加态是这两个基向量的线性组合 a|左⟩ + b|右⟩。

4. 内积的正交归一规则自然导出 |a|² + |b|² = 1，概率解释水到渠成。

5. a 和 b 由制备方式决定，它们的模可以通过大量测量统计得到，相位可以通过干涉实验恢复。

所以，希尔伯特空间不是什么高深莫测的抽象概念——它只是把我们熟知的向量、长度、投影、正交这些几何直觉，搬到了一个能容纳无限多种可能性的空间里，然后量子力学所有的“反直觉”现象，都变成了几何学的自然推论。

下一篇文章，我们会更深入地探讨“测量” 这一概念以及它在希尔伯特空间中的数学表达，从而严谨地推导出“坍缩”这一现象。与叠加态一样，在希尔伯特空间中，坍缩这一反直觉的现象也将显得顺水推舟。

——The End——

『天文湿刻』 牧夫出品

微信公众号：astronomycn

那么，希尔伯特本人和量子力学到底什么关系？

答案是：他没搞量子力学。

大卫·希尔伯特是20世纪初哥廷根的一位数学巨匠。他在1900年巴黎国际数学家大会上提出了著名的23个问题（其中第二个问题包含了对算术系统一致性的证明要求，后来被哥德尔不完全性定理打破）。他主要研究积分方程和无穷维空间，纯粹出于数学兴趣打造了一套关于“具有内积的完备向量空间”的理论。这套理论后来被冠以他的名字——希尔伯特空间。

然后他做了一件事：把它封存，继续干活。

二十多年后，物理学家们撞上了量子力学。海森堡搞出了矩阵力学——奇奇怪怪的无穷维矩阵。薛定谔搞出了波动力学——奇奇怪怪的偏微分方程。两边互相看不上，谁也不知道谁的框架更根本。

1927年前后，数学家冯·诺依曼介入。他看了看两边，说了句让所有人安静下来的话：“你们俩说的是一回事。都是希尔伯特空间。”

从那以后，希尔伯特空间的框架成了量子力学的标准语言。态矢量、内积、算符、本征值、幺正演化——这一整套概念，把量子力学的所有“怪异”都收进了一个严格、自洽、可计算的体系里。

Image Credit: jstor.org

牧夫

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