【解题研究】寻找失落的线——构造手拉手模型

【解题研究】寻找失落的线——构造手拉手模型

在解几何压轴题的过程中，“试线”是常事，即尝试作辅助线，未必会一次成功，但每次尝试前，需要有目的，和下棋一样，不是胡乱落子，而是深思熟虑后再动手。我们在课堂上给学生讲解题目思路的时候，也应该采用同样的“试线”过程，毕竟一道略有思维难度的题目，一眼就看出辅助线在哪，未免太假，因此学生感兴趣的不仅是题目的解法，而是“你是如何想到的？”

题目

在等边△ABC中，BD是AC边上的高，E为边BD上一动点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转60°交BC的延长线于点F.

(1)如图1，当∠EAC=30°时，求证：AF=6DE；

(2)如图2，过E作EG⊥AF于点G，若BC=2CF，用等式表示EG与FG的数量关系，并证明.

解析：

01

(1)在条件∠EAC=30°加持下，图1中全是特殊直角三角形，例如△ABD、△ADE、△ABF，它们均含30°角，还得到含120°角的等腰△ABE，于是AE=2DE，AB=√3AE，AF=√3AB，结合起来，容易得到AF=6DE；

02

(2)有很多学生在第一时间连接了EF，并观察△EFG可能是个特殊直角三角形，如下图：

对于△AEF来讲，确实存在一个特殊角，∠FAE=60°，但想借这个条件得到∠AEF=90°却遇到困难，但并不意味着猜想的数量关系不对，我们继续改进思路.

由共顶点的两个60°角，且还有等边三角形条件，我们是很容易构造出全等三角形的，至少有两种方式.

方法一，如下图：

延长AE至点M，使AM=AF，连接BM，这样可得到△ABM≌△ACF，于是BM=CF，而BC=2CF，且点D为AC中点，因此可推导出BM=DA，再由∠ACF=120°得∠ABM=120°，进而AD∥BM，借助这一组平行线，我们又能够得到新的全等三角形，如下图：

此时我们可证明AE=ME，即点E是AM中点，再连接FM，对于△AFM而言，这是一个等边三角形，由三线合一可知EF⊥AM，在Rt△AEF中，求得∠AFE=30°，最后转到Rt△EFG中，得到FG=√3EG.

方法二，如下图：

在AF上截取AH=AE即可，这样可得△ABE≌△ACH，所以∠ABE=∠ACH=30°，这样∠BCH=90°，得到Rt△FCH；

显然思维不能仅止于此，我们利用条件BC=2CF，可推导AD=CF，它们恰好又位于另一对三角形中，它们不太容易被一眼看出，如下图：

在这一对三角形中，我们除了AD=CF这个已经推导出来的条件之外，还有∠FCH=∠ADE=90°，继续观察∠DAE，它可以写成60°-∠FAC，而对于∠F，它是△ACF的一个内角，而△ACF的外角∠ACB=60°，因此∠F=60°-∠FAC，所以我们得到了全等的最后一个条件，∠DAE=∠F，可证△ADE≌△FCH；

利用这些全等三角形，我们可进行数量关系推理，在Rt△AEG中，EG=√3AG，而AE=2AG，且AE=FH，于是EH=2AG=2GH，可得FG=3GH，EG=√3AG=√3GH，最后可推导出FG=√3EG.

解题思考

从学生答题情况来看，多数学生想到方法一中的连接EF，试图证明△EFG是一个含30°角的直角三角形，但是在构造手拉手模型的时候，选择的是中线倍长，即延长AE至点M，使EM=AE，这就令构造出来的△ABM与△ACF缺少全等的条件，学生认为中线倍长也是常见辅助线作法，但没理解中线倍长使用场景是方便构造“X”型全等，对手拉手模型帮助并不大，而反过来，构造AM=AF之后，不仅构造出全等，还得到一个新的等边三角形，更有利于后面线段数量关系的转化.

本题中的手拉手模型，向外延长或向内截取都可以，但向内截取时，第二对全等三角形不容易看出来，方法各有优劣，但都考察了学生对图形的观察和理解.

在解几何压轴题的时候，遇到困难是很正常的，要从困难中突破，需要细致观察习惯以及扎实的图形理解能力，习惯和能力均来自于我们平时的数学课堂，在部分数学课堂上，老师明显给予学生的时间不足，例题讲解的时候，很快给出解题思路，学生还未来得及深入思考便被打断，这样的讲题方式，一节课讲再多题目，学生也只能机械记忆，作为数学思维的培养者，类似我们农业中的作物，得给时间才能看到成长，当我们在课堂上被教学进度、课件PPT绑架时，其实就是在拔苗助长.

多给学生思考的空间，多一点耐心等待思维的生长.