新定义“性质Pθ”——海淀区八上数学第25题

新定义“性质P θ ”

海淀区八上数学第25题

以“性质”作为新的定义，意味着这一题型又出现了新的变化形式，在数学中，性质是非常普遍的，例如分数的基本性质，全等三角形的性质等，我们可以理解为一种既定条件下的数学现象，我们的数学课堂充满了这些数学现象，当我们研究它们，归纳它们之后，我们就理解了数学现象，从而掌握了它们的规律。

题目

解析：

01

(1)解读新定义是非常重要的一环，在平面直角坐标系环境下，有两条线段AB和CD，存在点P与它们之间的关联，分别连接点P和某条线段两端点，得到两个角，大小均不超过θ，那么点P可能在何处？如下图：

通过观察上图，我们发现在△ABP内部（含边PA，PB）的点均符合∠PAB，∠PBA均不超过θ，进一步点P也可能在线段AB下方，我们将点P关于AB轴对称，如下图：

此时我们可以认为，两个等腰三角形（底边重合）即菱形APBP'内部（含四边）的点均符合要求；

为叙述方便，后文均称菱形，因为八年级上学期还未学习特殊平行四边形，所以我们借助这个名称简化过程。

解决了一条线段，我们再增加另一条线段CD，用同样的方式可以作出第二个菱形CEDE'，这两个菱形若有公共部分，则称AB和CD具有性质P，如下图：

反之，若这两个菱形没有公共部分，则称AB和CD不具有性质P；

基于以上理解，我们再来看第1小题的要求，就容易理解了，对于线段AB，存在点P，使∠PAB=∠PBA=45°，这样的点P有两处，即以AB为对角线构造一个正方形，同理，我们分别以C1D1，C2D2，C3D3为对角线也构造出三个正方形，若这三个正方形与前一个正方形有公共部分，则这个公共部分即为点P可能的位置，如下图：

除以C2D2为对角的正方形外，均有公共部分，因此和AB具有性质P45°的是C1D1和C3D3；

02

(2)①AB和CD具有性质P60°，即分别以AB和CD为边在两侧作两个等边三角形，这两个等边三角形构成一个菱形，对角线分别为AB和CD，看这两个菱形有没有公共部分，如下图：

图中的菱形AEBF是固定的，菱形CGDH大小会随着点D位置不同而变化，点C是固定的；由条件0

在八年级上学期，我们还没学习到勾股定理和特殊平行四边形的相关知识，可用的只有等边三角形性质，以及含30°角的直角三角形，因此在求图中各点坐标时，需要构造不同的特殊三角形；

∠AOC=60°，而等边△ABE中∠EAB=60°，可知AE∥OC；在等边△CDH中，我们过点D作DK⊥CH，可得点K是CH中点，并且CK=1/2CD，这样我们就知道u和v之间的关系是v=u+CK=u+1/2CD=1/2CH，而为了求得CH，我们分别过点C和H向x轴作垂线CI和HJ，易得△OCI≌△AHJ，于是可证CH=OA=2，这样就能求出v=3/2；当v≥3/2时，如下图：

所以结果是v≥3/2；

②AB和CD具有性质P90°，先解读这一半，如下图：

当θ=90°时，不妨过线段AB端点作它的垂线，夹在这两根垂线之间的部分即满足条件的点P位置，同样过线段CD端点作它的垂线，两垂线之间的部分即点P位置，不妨将这两组垂线所夹部分看作两条“通道”，它们交汇的部分即线段AB和CD具有性质P90°的点所在区域；

可以看出，两条“通道”始终有交汇处，即在条件0

那么不具有性质P60°如何理解呢？

前一个小题我们探索过线段AB和CD具有性质P60°的情形，用图形语言解读，分别以AB和CD为对角线的菱形，存在公共部分；

因此，不具有性质P60°的意思，就是分别以AB和CD为对角线作菱形，这两个菱形没有公共部分，如下图：

对于菱形CGDH，若想让它与菱形AEGF没有公共部分，则红色菱形要“足够小”，离菱形AEBF“足够远”，

若“足够小”，则无论它在何处，都没有公共部分，那么，我们需要确定最小的菱形边长CH是多少；由于菱形CGDH的大小取决于边长，而这是个特殊菱形，其边长等于对角线CD的长，而对角线CD始终在一条固定的直线上，这条直线与AE之间的距离也是固定的，因此我们就有办法确定这个最小值；

当点H在边AE上时，得平行四边形OAHC，则CH=OA=2，所以CD=2，根据前面探究的经验，此时点C，D的横坐标相差1，即v-u=1，当这个菱形“足够小”时，即v-u<1；

若“足够远”，无论菱形CGDH有多大，都不会与菱形AEGF存在公共部分，仍然由前面的探究经验，当CH所在直线位于点E上方时，如下图：

此时根据前面所得经验，CE=OA=2，可知点C横坐标为1，只要u>1即可；

因此，u和v还应满足的条件是u>1或v-u<1.

解题思考

实际上在给学生讲这道题的时候，还是少出现菱形字眼比较好，用等边三角形更合适一些，而对于图中各点坐标，我们集中研究的是其横坐标，因为在八下勾股定理和特殊平行四边形之前，学生能够理解比较好的，是特殊三角形，此时也不宜引入一次函数概念，甚至斜率。

用通俗一点的语言，学生能够理解“足够远”和“足够小”，然后就是用数学语言去描述，包括图形语言，理解的难点在于最后一小题“不具有性质P60°”，它是“具有性质P60°”的否命题，所以我们在理解的时候，借助前面“有公共部分”的否命题是“没有公共部分”，直观呈现这种关联，原理则是“具有性质P60°”等价于“菱形有公共部分”，同样的“不具有性质P60°”等价于“菱形没有公共部分”，当然，关于等价命题的概念，初中阶段暂时不涉及。