2026数学教育讲座系列——数学基础能力的重要性及提升路径（by Anna Stokke）——EMS欧洲数学会

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欧洲数学会（EMS）非常高兴地宣布其数学教育讲座系列，汇聚顶尖专家，共同探讨数学教学、课程设计和政策制定中的关键问题和创新方法。这些一小时网络研讨会将于2026年1月至6月的每个月第二个星期五晚上7点（中欧时间）举行，由Tom Crawford博士主持。

本系列讲座面向以下人群：

• 数学教师

• 教师教育者及教育研究者

• 高等教育及科研领域的数学家

• 课程开发者、教育主管部门及政策制定者

YouTube直播链接参与讲座：

https://www.youtube.com/c/EuropeanMathematicalSociety/live

讲座日程1月9日安娜・斯托克（Anna Stokke）：

《数学基础能力的重要性及提升路径》

数学具有严密的知识层级性，若学生未能熟练掌握数感、算术、分数等基础能力，在高阶数学学习中必将遭遇瓶颈。教学内容的选择与教学方法的运用，直接决定学习成效。

《运用人类认知原理优化数学学习》

探索检索练习、间隔学习、例题示范等高效认知科学策略，帮助学生夯实知识熟练度，构建深度理解。

《何为学校数学？》

深入剖析学校数学课程的连贯性，探讨如何为教师配备必备的数学专业知识，助力教学成功。

分享五种经实证验证的有效策略，为有特殊数学学习需求的学生提供支持。

揭示代数教学中的常见陷阱，学习如何引导学生正确理解变量的核心内涵。

聆听菲尔兹奖得主的见解，探讨如何规范使用人工智能工具，培养健康高效的学术思维习惯。

加入我们，共同塑造数学教育的未来！

本期第1讲（1月9日），演讲人：
安娜・斯托克（Anna Stokke）

温尼伯大学数学与统计系教授，她获得了阿尔伯塔大学的数学博士学位。她的研究领域是代数（群表示论）和代数组合学。 斯托克博士是加拿大儿童优质数学教育的倡导者。 她接受了200多场关于数学教育的媒体采访，并为本地和全国报纸撰写了大量社论。 此前，她共同创立了一个倡导组织 WISE Math。 她是非营利组织阿基米德数学学校的校长兼联合创始人。她主持了热门的数学教育播客《粉笔与讲台》（

Chalk and Talk

作者：EMS（欧洲数学会）2026-1-10

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-1-11

《数学基础能力的重要性及提升路径》

数学具有严密的知识层级性，若学生未能熟练掌握数感、算术、分数等基础能力，在高阶数学学习中必将遭遇瓶颈。教学内容的选择与教学方法的运用，直接决定学习成效。

主持人：

现在英国时间是下午6点，欧洲中部时间是晚上7点，我想我们可以开始了。大家好，欢迎来到欧洲数学会教育数学系列讲座的第一讲。感谢大家在周五晚上抽出时间参与。在接下来的六个月里，我们将举办六场这样的讲座，每月一场，间隔大约四到五周。大家可以留意一下日程安排，所有讲座都会在周五晚上的这个时间点进行。

我是本场讲座的主持人汤姆・克劳福德（Tom Crawford）博士，是一名常驻英国的数学家。目前我在牛津大学和剑桥大学任教，同时也运营着个人网站和名为 “汤姆玩转数学”（Tom Rocks Maths）的 YouTube 频道，在网络上分享数学相关内容。

在介绍今天的主讲嘉宾之前，作为系列讲座的开篇，我想先简要说明一下本系列讲座的创办宗旨 —— 毕竟这是欧洲数学会全新推出的一项活动。举办这些线上研讨会的核心目的，是为数学教育工作者提供一个学习交流的资源平台。我们将邀请该领域的顶尖专家，共同探讨数学教学、课程设计与政策制定中的关键问题与创新方法。正如教育委员会主席安妮・杜姆斯向我阐述的那样：“当前专业数学教师资源短缺，我们应当尊重并重视选择投身数学教育事业的从业者，同时为他们提供更有力的支持。” 我认为，这正是本系列讲座绝佳的宗旨与初衷。

本系列讲座将聚焦数学基础能力与知识体系的重要性，探讨我们究竟该如何学习数学，尤其是中小学阶段的数学学习；分析数学教学大纲的内容选取依据与背后逻辑；研究如何帮助在数学学习初期遇到困难的孩子；之后还会有一场讲座专门讲解代数入门阶段常见的认知误区；最后，我们将探讨人工智能对数学教育产生的影响。在每一场线上研讨会中，都会设置专门的提问环节，我们非常欢迎大家踊跃提问。讲座尾声会预留15到20分钟的时间，由我来收集大家的问题，并请主讲嘉宾解答，今天就是请安娜为大家答疑。我们准备了一个谷歌表单，稍后会以某种方式分享对应的二维码，大家可以通过表单提交问题。麻烦大家积极提问，这样我们才能在最后环节进行集中解答。

好了，主持人的开场白就说到这里。接下来，我非常荣幸地向大家介绍今天的主讲嘉宾 —— 安妮・斯托基教授。抱歉，是安娜・斯托基教授。安娜任职于加拿大温尼伯大学，主要研究方向为代数学与代数组合学。同时，她对数学教育抱有极高的热情，这也正是她今天要和大家分享的主题。安娜主持的播客节目《粉笔与讲台：数学教育漫谈》（Chalk and Talk Maths Education）曾登顶美国、加拿大、澳大利亚、新西兰等多个国家的教育类播客排行榜。此外，她还凭借卓越的教学水平、突出的社会服务贡献以及杰出的教育领导力，斩获了无数奖项。今天她演讲的题目是《为什么数学基础能力至关重要？以及如何提升数学基础能力？》。安娜，现在把时间交给你。

谢谢主持人的热情介绍。我现在身处加拿大曼尼托巴省的温尼伯市，大家应该能感受到，这里阳光明媚，但气温很低，现在是中午12点整。今天我想和大家聊聊数学基础能力的重要性。能受邀担任欧洲数学会教育数学系列讲座的首位主讲人，我感到十分荣幸，我相信这必将是一个精彩纷呈的系列讲座。特别感谢安妮・杜姆斯和努诺・克雷多的邀请。

我是以一名数学家的身份来探讨这个主题的。我并非教育研究者，但过去十五年间，我一直投身于数学教育推广工作，在这个过程中，我也主动学习了大量数学教育领域的研究成果。先简单介绍一下我的个人经历，以及我是如何投身数学教育领域的。我的孩子上小学时，我开始关注数学教育，当时我对学校里的数学教学方式感到既担忧又无奈。另一方面，在大学任教的过程中，我发现很多学生在学习高阶课程时举步维艰，究其根本，是因为他们欠缺必备的数学基础能力。

这两件事促使我开始参与数学普及的公益活动，比如我曾在加拿大创立过一个数学教育倡导组织，致力于推动数学知识的公众传播。我还为小学四、五、六年级的学生开办了一个非营利性的课后数学辅导项目。正如主持人刚才提到的，我最近还推出了《粉笔与讲台》这档播客节目，在节目中，我会与数学教育领域的研究者和一线教师对话，探讨有实证依据支撑的有效教学方法。

今天我的演讲将围绕数学基础能力展开，内容包括（下列编号为译者所加，供结构化参考，重点结论已作下划线加粗高亮标记，译者注）：

一、基础能力的重要性及薄弱现象

为什么如此多的学生存在数学基础薄弱的问题；我认为当前数学教育的症结在哪里。

二、基础能力提升路径

可以采取哪些措施来改善现状；我们能从那些已经成功扭转数学教育困境的国家身上学到什么经验。

首先我想说，

一、基础能力的重要性及薄弱现象

0.1 数学学习困难是一个全球性的问题

从国际学生评估项目（PISA）和国际数学与科学趋势研究（TIMSS）的结果来看，许多国家的学生数学成绩都出现了下滑，尤其是东亚地区以外的国家。北美、欧洲大部分地区、澳大利亚、新西兰等国家和地区都呈现出类似的下降趋势。需要强调的是，这一趋势并非由新冠疫情引发 —— 疫情确实让情况雪上加霜，但早在疫情之前，学生的数学成绩就已经开始下滑，而且在很多国家，这种下滑态势已经持续了十年甚至更久。

那么，我们为什么要重视这个问题？

大家可以先思考一下，接下来我谈谈我的看法。

首先，学生如果在学前至二年级阶段的数学学习中遇到困难，那么他们日后选修代数、微积分、统计学等课程，或是其他需要运用数学知识的课程（比如物理、化学等）的可能性会大大降低。这一点至关重要，因为数学是众多高薪职业领域的基础，无论是科学、技术、工程、数学（STEM）领域，还是经济学、金融学、信息技术、工程学、健康科学，甚至是对数据处理能力要求较高的社会科学领域，以及技能型行业，都离不开扎实的数学基础。

除此之外，数学基础薄弱还会导致人力资本的流失和个人潜能的埋没。我坚信，许多学生其实完全有能力学好数学，也完全有机会在数学领域深耕，但薄弱的基础让他们失去了这样的机会。此外，大量研究表明，早期的数学学习表现与后续的学业成就以及未来的收入水平呈正相关关系。事实上，可能很多人会感到惊讶，研究发现，早期数学能力对后续学业成功的影响，甚至比早期阅读能力的影响更为显著。

0.2 数学知识体系具有极强的层级递进性

这就引出了数学基础能力的重要性，也是我今天如此关注这个主题的原因 —— 因为数学知识体系具有极强的层级递进性。

大家可以看一下我展示的这张阶梯示意图。数学就像一个庞大而紧密相连的知识网络，任何一个知识点，你都能追溯到它在小学阶段对应的基础内容。如果没有熟练掌握前期的基础知识点，就根本无法理解和掌握高阶的数学概念，这就像爬梯子一样，如果梯子的某些台阶缺失了，后续的攀爬就会变得举步维艰。缺乏必备的基础知识，是无法通过逻辑推理来弥补的。而且，知识漏洞会随着时间的推移不断累积，越往后，学生的学习难度就会越大。

举个例子，学生在学习代数时，如果连分数运算都不会，那么代数学习对他们来说会异常困难 —— 毕竟代数是通往高阶数学的必经之路。而学生之所以不会分数运算，很可能是因为他们连基本的加减法或乘法口诀都没有掌握。因此，我们必须时刻牢记：数学具有极强的层级递进性，并非所有学科都是如此。数学知识的累积性特点，决定了学生一旦在学习过程中掉队，后续的追赶将会非常困难。

0.3 美国加州大学圣地亚哥分校的案例

接下来我想分享一个近期引发广泛关注的案例，这个案例来自美国加州大学圣地亚哥分校。可能有些观众已经看过或读过相关报道，我先简单介绍一下事件的背景，再展示该校给学生出的测试题。加州大学圣地亚哥分校数学系发现，需要参加补习数学课程的学生数量大幅增加。这些学生入学时参加了数学分级考试，最终被分到了一门名为 “数学 2” 的补习课程。授课教师发现，这些大学生竟然连初中数学知识都掌握得一塌糊涂。

于是在2023年秋季学期，该校为这些补习课程的学生组织了一场简短的诊断测试，测试内容涵盖算术、分数、四舍五入、简单代数等基础知识点，共有100多名学生参加了测试。接下来我会展示部分测试题目以及对应的正确率。需要说明的是，参加测试的这些学生，大多都已经学完了预科微积分，甚至有些学生已经学过微积分课程。大家可以看屏幕右侧的数据，这些就是学生答对各题的百分比。

看着这些数据，着实令人忧心。更值得警惕的是，加州大学圣地亚哥分校并非普通院校，而是一所极具竞争力的顶尖大学。你会发现，就连 “7+2=？+6” 这样简单的题目，也只有 75% 的学生能够答对；而到了分数运算题，正确率更是惨不忍睹；至于基础代数和指数运算这类知识点，学生们的表现更是一塌糊涂。

这份报告的内容非常详实，研究者在报告中分析了造成这种现象的原因。但我想探讨一个更宏观的问题：为什么这些学生明明连初中数学基础都没打好，却能顺利从高中毕业，甚至考入大学？我认为加州大学圣地亚哥分校的情况并非个例，这至少是北美地区普遍存在的教育问题。如果我们非要等到学生进入大学，才去弥补他们从小学、初中就遗留下来的知识漏洞，那就真的为时已晚了。

学生理应在中小学阶段就掌握这些数学基础能力，避免知识漏洞的不断累积，因为基础薄弱会对他们未来的学习和发展产生严重的连锁反应。建议大家找来这份报告仔细读一读，报告中还提出了针对性的解决方案。我之所以在演讲中提到这个案例，就是想让大家正视这个严峻的现实：许多学生即便高中毕业，数学水平也远远达不到基础要求。

接下来我们看看基础薄弱会引发哪些后续问题。学生进入大学后被划入补习数学课程，会产生一系列严重的后果。最直接的影响是，补习课程的学生挂科率和退课率要高得多。即便他们勉强完成了补习课程，在后续高阶数学课程的学习中，表现也往往不尽如人意。这一现象并非只在加州大学圣地亚哥分校存在，相关研究已经对此进行了充分验证。

补习课程试图弥补的知识漏洞，往往已经大到难以填补的地步。要想熟练掌握这些缺失的基础技能，需要大量的练习和巩固 —— 这就像爬梯子，缺少的台阶必须一个个补齐，否则学生永远无法在高阶课程的学习中取得成功。此外，补习课程还会耗费学生大量的时间和金钱成本：他们可能需要多花几个学期的时间，学习这些不计学分的补习课程，导致学业进度严重滞后，同时还要承担额外的学费和生活费。

加州大学圣地亚哥分校的这份报告中还有这样一句话，值得我们深思：“数据显示，几乎没有任何被划入‘数学 2’补习课程的学生，最终能够顺利完成工程学学位。” 可见，正是因为数学基础薄弱，许多学生不得不放弃自己心仪的专业。这一现象反映出数学教育领域存在深层次的结构性问题，亟待我们解决。

更不用说那些因为数学成绩不佳，连大学都没能考上的学生，他们的人生发展道路，从一开始就因为数学基础薄弱而变得更加狭窄。因此，我始终认为，预防胜于补救。

接下来，我想梳理一下：

1、导致数学教育陷入困境的四个核心问题

我们必须追根溯源，思考这些问题的根本成因。

第一个问题是课程体系

一套优质的数学课程体系，应当具备清晰的内容框架和完善的设计逻辑。除了课程评估之外，我会对其他三个问题展开详细论述。

第二个问题是教师培养

教师需要具备扎实的专业素养，既要精通数学知识，又要掌握科学的教学方法。

第三个问题是教学方法

教学的核心目标是帮助学生真正掌握知识，教学方法的选择至关重要。

第四个问题是考核评估

通过科学的评估方式，检验学生是否真正掌握了应具备的数学技能。

1.1 课程体系

我们先从课程体系说起。一套优质的数学课程体系，应该是一份循序渐进、目标明确的知识培养蓝图。它需要清晰界定学生在不同阶段应该掌握的具体内容，避免模糊不清的教学目标或空泛的能力要求 —— 否则教师会无从下手，家长也不清楚孩子应该学什么。

1.1.1 循序渐进的知识培养蓝图

由于数学知识具有层级递进性，内容的编排顺序至关重要。此外，课程体系还应当优先保障对后续学习至关重要的核心内容的教学。并非所有知识点的重要性都是均等的，有些数学内容需要投入更多的时间和练习才能熟练掌握，因为它们是后续大部分知识点的基础，比如分数运算。

小学阶段的数学教学，应当通过夯实数字运算、分数等基础技能，为学生后续学习代数做好铺垫。如果低年级的基础没有打牢，学生在接触代数时就会遭遇瓶颈。因此，当我们发现大量学生连基础技能和代数知识都掌握不好时，首先应该反思的就是课程体系是否存在问题。

1.1.2 模糊的课程目标和清晰的课程目标之间的差异

下面我举两个例子，对比一下模糊的课程目标和清晰的课程目标之间的差异。这两个例子分别来自苏格兰的 “卓越课程”（Curriculum for Excellence）和英格兰的国家课程标准。大家可以先看一下这两个案例。

第一个案例是苏格兰的课程目标：“我能够与他人交流想法，探索估算计算结果或解决问题的方法。” 这个目标表述非常模糊，教师很难明确把握具体的教学方向，也不清楚应该培养学生哪些具体能力。

第二个案例是英格兰的课程目标：“学生应当学会将任意数字四舍五入到最近的十、百或千位数。” 这个目标就非常明确，清晰界定了学生需要掌握的具体数学技能，教师知道该教什么，也能通过考核检验学生是否真正学会了。

1.1.3 不宜推迟基础知识点的教学

此外，我还发现一个现象 —— 至少在加拿大，这种情况非常普遍 —— 一些地区的课程体系存在缺陷，它们会推迟核心知识点的教学时间，或是弱化核心知识点的教学要求，甚至直接删除某些重要内容。

例如，令人震惊的是，加拿大许多省份的学生要到七年级或八年级才开始学习分数运算，这就导致他们没有足够的时间去练习和巩固这项关键技能。

在数学这种层级递进的学科中，推迟基础知识点的教学，意味着学生练习该技能的时间会大幅减少，进而导致他们在学习依赖这些基础的高阶知识点时，变得手足无措。

1.2 教师培养

接下来我们谈谈教师培养的问题。大家可以先看一下屏幕上的内容，稍后我会展开论述。首先我想强调的是，这绝不是在否定教师的努力和敬业精神。教师这份工作非常辛苦，也肩负着重大的社会责任，绝大多数教师都尽职尽责。我想探讨的是一个结构性问题，即我们的教师培养体系，是否为教师提供了足够的支持，让他们能够胜任数学教学工作。毕竟，每一位教育工作者都应该得到充分的资源和培训，以便更好地开展教学。

尤其是在小学至八年级阶段 —— 我不确定欧洲各国的情况是否如此，但以加拿大的情况为例 —— 这个阶段的教师大多是全科教师，需要教授所有学科。他们可能本身就没有扎实的数学功底，甚至对数学教学存在畏难情绪。

如果再遇上一套模糊不清的课程体系，教师既不清楚应该优先教授哪些知识点，也不了解微积分等高阶课程对基础知识点的要求，那么在教学过程中，他们不仅难以判断学生的认知误区，更无法合理规划教学重点。

毕竟，教师无法教授自己都不懂的知识；如果连教学重点都无法明确，那么教学质量自然会大打折扣。

另一个问题在于，教师培养项目往往没有优先传授那些经过实践验证、能有效提升数学教学效果的教学理论。稍后我会详细展开这个话题。

我常常将这种情况称为 “完美风暴”：教师本身数学基础薄弱，面对的又是一套漏洞百出、目标模糊的课程体系，同时还被要求采用效果不佳的教学方法 —— 多重不利因素叠加，最终导致学生的数学学习效果一落千丈。

1.3 教学方法

刚才我提到了教学理论，接下来我想深入探讨一下教学方法的问题。

具体来说，就是当前的教学方法与学生的认知规律之间的脱节，以及这种脱节的成因和具体表现。

当前，许多数学教学理念都受到建构主义（Constructivist Approaches）的影响。可能有些观众不太了解建构主义，简单来说，这种理论的核心观点是：学生应当自主建构知识体系，比如自主探索和总结运算方法。建构主义催生了探究式学习（Inquiry-based Approaches）、发现式学习（Discovery-based Approaches）等教学模式，大家可能也听过 “21 世纪学习法” 这类说法。

接下来我会通过几张幻灯片，展示这种教学理念在实际课堂中的应用。

影响数学教学方法的因素还有很多，比如教育者普遍希望培养学生的概念理解能力、问题解决能力，同时激发学生的学习兴趣，让学生喜欢上数学。我和所有教育者一样，也希望实现这些目标 —— 作为一名数学家，我甚至比任何人都更看重这些目标。我当然希望学生能够真正理解数学，能够运用数学知识解决实际问题，能够热爱数学这门学科。

1.4 教学评估

1.4.1 概念理解

但问题在于，很多人存在一个误区：他们认为要实现这些目标，就必须减少教师的讲授和学生的练习。此外，关于 “概念理解”，我发现存在很多认知偏差，说实话，我现在甚至不确定这个词的准确定义到底是什么。

接下来我会解释，为什么这些初衷良好的教学方法，最终反而可能削弱学生的理解能力、问题解决能力和学习积极性。

下面我将具体分析这类教学方法在实际应用中的表现。需要说明的是，这些只是我长期观察到的一些现象，并非所有课堂都是如此。

大家可以先看一下这张幻灯片上的内容。这类教学方法通常有以下特点：过分强调项目式学习、小组合作学习，或是依赖具象教具 —— 比如十进制积木、披萨模型等实物道具。这些教具在引入新概念时确实能起到辅助作用，但很多时候，教师会过度依赖这些工具，甚至将其作为常规的计算工具使用。

同时，这类教学更倾向于向学生展示多种解题策略，而非明确教授高效的标准算法。其核心理念是让学生自主探索解题方法，或是从多种策略中自主选择。结构化的练习则往往被弱化，甚至被贴上 “死记硬背” 的标签，认为大量练习会阻碍学生的理解。

教学过程也常常采用 “自上而下” 的模式：从解决复杂问题入手，期望学生通过自主探索，自然而然地掌握相关的知识、技能和算法。此外，技术手段的使用也很普遍，试图借助科技工具替代学生对基础技能的熟练掌握。

教师的角色定位也发生了转变，从传统的 “讲台上传道授业的智者”，变成了 “课堂旁引导探索的伙伴”。

平心而论，这些教学理念听起来似乎不错，但如果将其作为默认的、唯一的教学模式，尤其是在面对新手学习者或学习困难的学生时，就会产生严重的问题。

a) 加拿大的数学教材案例

我举个具体的例子。这个例子来自加拿大一本非常流行的数学教材，当然这种情况并非加拿大独有，我在美国的教材中也见过类似的内容。这个例子可以很好地说明，所谓的 “多种解题策略” 理念，是如何将简单的基础算术变得异常复杂的。

这个例子的教学目标是教学生计算两位数乘法，以 21×13 为例，教材中介绍了三种解题方法。

第一种方法，是莱米用十进制积木演示的算法。他画了一个 21×13 的矩形阵列，然后将其拆解为 2 个百、7 个十和 3 个一，最后相加得到结果 273。

这种方法看起来很直观，似乎能帮助学生理解乘法的原理，但大家要注意，我们的教学对象是刚接触乘法的新手学生。在进行实际计算之前，学生需要完成大量的认知工作，这会给他们带来沉重的认知负担。

但问题不止于此，教学过程并没有就此结束。

第二种方法，是凯莎用方格纸演示的算法。莱米画的是 21 行 13 列的矩形，而凯莎画的是 13 行 21 列的矩形。她通过数方格的方式，得出结果为 60 加 3，最终也得到 273。

第三种方法，是塞缪尔不借助十进制积木和方格纸，直接运用分配律进行计算 —— 但教材并没有明确指出这就是分配律。

学生被要求掌握所有这些方法，十进制积木等教具甚至被当作常规计算工具使用。即便学生最终学习了标准的竖式乘法算法，也只是被当作众多算法中的一种，其高效性并没有得到凸显。

这种教学方式不仅耗时，还会给新手学生造成极大的认知负荷。

我之前提到了 “概念理解”，并给这个词加上了引号，我认为问题的根源之一，就在于人们对 “概念理解” 的误解，其二则是大家没有意识到，这种教学方式会导致学生认知过载，最终什么也学不会。

接下来我想深入探讨一下 “理解” 这个概念，我将其称为

b) 对“理解”的误解

首先，存在一种错误的二元对立观点，即将概念理解与算法掌握对立起来。Hung Woo教授也会参与本系列讲座，他曾写过一篇非常精彩的文章，专门批判这种将概念理解与算法掌握对立的错误观点。

很多人认为，教授算法就必然会牺牲概念理解。我自己也经常因此受到指责：因为我主张学生应当掌握基础技能，熟练运用算法，就有人批评我不重视概念理解。这种指责在我看来十分荒谬 —— 作为一名数学家，概念理解对我而言至关重要，这是我的核心工作。

但问题的关键不仅在于这种二元对立的错误观点，更在于“概念理解” 这个术语本身就缺乏清晰的定义。没有人能准确说清它到底指什么，既然无法准确定义，自然也就无法衡量学生是否达到了 “概念理解” 的目标。最终，这个术语被等同于具象化的教学活动 —— 比如使用教具、画图、尝试多种解题策略、自主探索学习等。

例如，有些人认为，学生必须能用三种不同的方法解题，或是能借助具象教具演示解题过程，才算达到了 “概念理解” 的水平。如果学生做不到这些，就被认为是缺乏概念理解。

此外，还有一种常见的误区：认为学生必须先理解概念，再学习技能，而且要花费大量时间去 “理解概念”—— 这让 “概念理解” 变成了一个复杂冗长的过程。

但我想强调的是，“先理解后技能” 的假设并不成立。

事实上，理解完全可以在掌握技能之后产生。就我个人的经验而言，当学生通过大量练习熟练掌握算法之后，自然会逐渐发现其中的规律，理解算法背后的原理。也就是说，理解可以滞后于技能的掌握。

在我看来，数学中的 “理解”，指的是学生能否准确把握定义的内涵，能否熟练运用定理，能否解释算法的原理。而向学生解释这些内容，是教师的职责所在。数学中的每一个知识点都有其逻辑依据，绝非凭空而来，我们也不是在盲目地套用公式 —— 这一切都需要教师向学生讲清楚。我认为，学生不必反复去复述这些原理，因为这对他们来说难度太大，而且正如我所说，理解可以在后续的练习中逐步形成。

c) 挪威的例子

我再举一个例子，这个例子来自挪威2022年12月发表的一篇文章。我也接受了这篇文章的采访，这是一次很有趣的经历。我姓斯托基，这是一个挪威姓氏，源自我的岳父 —— 他从挪威移民到了加拿大。不过现在我们的发音已经和挪威本土的发音不太一样了。

大家可以先看一下这篇文章的片段。文章中提到，研究者走访了特隆赫姆市的一所小学二年级课堂，课堂上的问题是：“15+3 和 3+15 的结果是否相同？” 学生们围绕这个问题，独立或分组使用实物道具进行了一个半小时的探索。

授课教师表示，现在的教学方式和她上学时相比，已经发生了翻天覆地的变化：“我们小时候学的是算法和规则，而现在，我们让学生自主探索发现数学规律。”

但让我感到担忧的是文章的最后一句话：“2019 年的一项调查显示，在四年级数学教师中，只有不到三成的教师表示，他们在大部分课堂上会向学生讲解新的数学知识，或是教授具体的计算方法。”

这种现象正是建构主义教学理念影响下的产物。而且，用一个半小时的时间来探索加法交换律，耗时实在太长了 —— 我能想到很多更高效的教学方法。

这就引出了一个概念 ——

d) 机会成本

大家可以先思考一下我写在幻灯片上的内容。

首先，回到刚才挪威课堂的例子：学生用一个半小时探索加法交换律，这段时间本可以用来做什么？如果课堂上充斥着这类简单知识点的过度探索活动，学生就没有足够的时间进行练习。

大量的画图、解释、尝试多种策略、运用复杂教具的时间，都是以牺牲核心技能的练习时间为代价的。而要学好数学，练习是必不可少的，学生需要通过大量练习才能熟练掌握知识。

其次，这些过于复杂的解题方法和多种策略，会导致学生认知过载。学生还没有掌握基础技能，就要同时应对图表、分解步骤、语言解释等多重任务，认知负担可想而知。

如果缺乏清晰的直接教学或显性教学，很多学生根本无法真正学会数学知识。当然，确实有部分学生 —— 比如成绩优异的学生 —— 能够通过自主探索学会知识，但对大多数学生而言，他们需要教师明确的指导，需要教师示范解题方法，需要充足的支持和练习。

在我看来，这种教学方式最终造成了大量教学时间的浪费，错失了宝贵的学习机会。

我必须再次强调，这并非教师的过错。我的孩子上学时，我就发现过类似的问题：有时候孩子在学校一整天，几乎没学到什么数学知识。我和丈夫都是数学家，所以我们会在家辅导孩子。但我不敢想象，如果没有我们的辅导，孩子的数学学习会变成什么样子。

正如我之前所说，基础的知识漏洞不会一直停留在初始状态，它们会逐年累积，让数学学习变得越来越困难、越来越缓慢、越来越令人沮丧。

1.4.2 问题解决能力

前面我们讨论了概念理解的问题，接下来谈谈问题解决能力。

我们都希望学生具备解决问题的能力，而不仅仅是熟练掌握算法 —— 毕竟，学习算法的最终目的，是为了用它来解决实际问题。

很多人认为，培养问题解决能力的最佳方式，就是让学生直接面对复杂问题。这个观点本身没错，但有一个重要前提：学生必须具备解决问题所需的工具 —— 也就是扎实的基础知识。

问题解决能力和批判性思维，并非脱离具体内容的通用技能。数学领域的问题解决能力，是高度依赖具体知识内容的。

扎实的数学基础知识，首先能降低学生的认知负荷。

举个例子，如果学生在解决一个问题时，需要计算 6×8，而他们并不知道 6×8=48，还要花时间去摸索计算方法，那么他们的注意力就会被分散，无法专注于解决核心问题，最终会落后于其他同学。

其次，基础知识能为学生提供思考的素材，让他们真正成为高效的问题解决者。

问题解决能力不是我们一开始就能拥有的，而是在学生掌握了足够的知识和技能之后，才会逐渐形成的。知识就像是我们思考的引擎，没有知识作为基础，一切思考都无从谈起。

教学层级理论（Instructional Hierarchy）

这并非我的个人观点，而是我从教育心理学领域的朋友那里学到的理论 —— 也就是教学层级理论（Instructional Hierarchy）。大家可以先看一下这个理论的内容，我会简单解释一下。

这个理论认为，无论任何人，学习任何新知识或技能，都要经历四个阶段。这一规律适用于所有人，无论是大学生还是小学生，无论是学习数学还是学习游泳，都概莫能外。

我常用冰球运动来举例 —— 因为我是加拿大人，这个例子在这里很容易被理解。

第一个阶段——习得阶段（Acquisition Stage）

在这个阶段，学生刚开始接触新知识或技能，会频繁犯错。比如学习滑冰时，学生穿上冰鞋后会不断摔倒，需要成年人手把手教他们如何保持平衡。学习数学也是如此，学生需要教师的指导，需要清晰的显性教学，需要大量的支持和及时的反馈。

经过一段时间的学习，学生进入

第二个阶段 ——准确阶段（Accuracy Stage）

此时，学生已经能够准确完成任务，比如滑冰时不会再频繁摔倒，做数学题时也能得出正确答案。但这个阶段的问题是，学生的速度很慢，而且只能在特定的场景下完成任务。这时候就需要通过大量练习，帮助学生进入第三个阶段。

第三个阶段——流畅阶段（Fluency Stage）

在这个阶段，学生虽然能准确完成任务，但速度较慢。练习的目标就是让学生的操作变得更快、更熟练，最终达到自动化的程度，就像本能反应一样。这就像滑冰时，学生虽然能站稳，但动作还很笨拙，这时候还不能让他们参加冰球比赛 —— 否则比赛肯定会一团糟。

当学生达到流畅阶段，既能准确又能快速地完成任务之后，就会进入

第四个阶段 ——适应阶段（Adaptation Stage）

学过数学的人应该都有这样的经历：当学生遇到一个全新的问题，超出了他们以往的学习范围时，往往会不知所措。而适应阶段的目标，就是让学生学会在新的情境中运用所学知识，比如接触不同类型的题目。

只有到了这个阶段，学生才真正具备了创新解决问题的能力。也正是在这个阶段，引入探究式学习等教学方法，才是合适的。

1.4.3 创造力

最后，我想谈谈创造力。我的播客最近刚更新了一期节目，嘉宾是一位认知神经科学家，我们聊到了创造力的话题。他问我：“你认为什么是创造力？”

他给出的答案是：创造力，就是将不同的知识碎片整合起来，创造出新的事物。数学领域的创造力也是如此。打个比方，我不会下棋，如果现在让我去下棋，我肯定下不好 —— 哪怕有人告诉我规则也不行。但经验丰富的棋手，能一眼看出棋局的规律和下一步的走法。

数学创造力也是同理：当你掌握了大量的数学知识，见过各种各样的题型，做过足够多的练习之后，你的脑海中就会形成一种直觉，能够预判解题的思路，能够将不同的知识模块整合起来 —— 这就是数学创造力。

因此，我们不能跳过基础技能的学习，因为基础技能是数学创造力的前提。

1.4.4 学习积极性

我还想谈谈学习积极性的问题。之前我提到，很多教育者希望激发学生的学习兴趣，让学生喜欢数学。我和大家的想法一样，但关键在于，激发兴趣的方式并非是淡化数学知识，也不是开展那些几乎不含数学内容的项目式学习。

提升数学能力，才是激发学习积极性的根本途径

当学生在数学学习中取得进步，感受到成就感时，他们自然会对数学产生兴趣；而兴趣又会促使他们投入更多时间学习数学，进一步提升能力 —— 这是一个良性循环。

研究者的结论也印证了这一点：并非是兴趣带来了数学能力的提升，而是数学能力的提升，反过来激发了学生的学习兴趣。因此，要让学生更主动地学习数学，关键是帮助他们打好基础，提升数学能力。

关于教学方法，我最后再补充一点 ——

2、显性教学（Explicit Instruction）

有时也被称为直接教学（Direct Instruction）

显性教学的作用至关重要。莎拉・鲍威尔教授也会参与本系列讲座，她在显性教学的研究领域有着深厚的造诣。

我想引用经合组织（OECD）的安德里亚斯・施莱歇尔的一句话：“PISA 的一项最具争议的研究结果显示，教师主导的教学模式，比学生主导的学习模式，更能有效预测学生的学业成绩。”

之前我们提到的那篇挪威文章也指出，只有不到三成的教师会在课堂上进行显性教学。而 PISA 的研究数据一直显示，无论是在东方还是西方，教师主导的教学模式都与学生的优异成绩密切相关。

当然，这只是相关性数据，但实验研究也得出了相同的结论：对新手学习者和学习困难的学生而言，通过示范、例题讲解、练习和反馈等方式进行的显性教学，效果通常优于探究式学习。

需要明确的是，探究式学习并非毫无用处，它更适合在 “适应阶段” 使用。

2.1显性教学的五个核心要素

为了让大家更清楚显性教学的内涵，我总结了五个核心要素：

第一，教师示范。

教师用清晰简洁的方式，向学生演示概念和解题方法。

第二，分解步骤。

将复杂的概念拆解成易于掌握的小步骤。比如之前提到的 21×13 的多种算法，就不是将内容拆解成简单步骤，反而增加了认知负担。分解步骤的目的，就是为了降低学生的认知负荷，让他们更容易理解和掌握。

第三，逐步撤去支持。

随着学生能力的提升，教师逐渐减少指导，让学生慢慢学会独立完成任务。

第四，提供练习与反馈。

为学生创造练习机会，并及时给予针对性的反馈。

第五，设计有目的的练习。

通过精心设计的练习，帮助学生实现知识的融会贯通，最终达到精通的程度。

以上就是我对教学方法的一些看法。

2.2 数学教育改革案例

接下来，我想介绍两个国家的数学教育改革案例，我认为这两个案例非常有借鉴意义。

a) 英国

这张幻灯片展示的是英国学生在 TIMSS 测试中的成绩。我个人认为，TIMSS 测试比 PISA 测试更能反映学生的数学水平，因为它更侧重于考查学生的课程内容掌握情况，能更好地预测学生未来的数学学习潜力。

从数据中可以看到，英国学生的 TIMSS 成绩呈上升趋势。当然，新冠疫情期间成绩有小幅下滑 —— 这是意料之中的现象，图中展示的应该是九年级或五年级的成绩。在其他很多国家成绩下滑的大背景下，英国的表现十分亮眼，几乎可以和一些东亚国家比肩，这一点非常值得关注。

另一个有趣的现象是英国和苏格兰的成绩对比。图中红色代表苏格兰，蓝色代表英国。可以看到，疫情期间两地的成绩都有所下滑，但在疫情之前，苏格兰的成绩呈下降趋势，而英国的成绩则持续上升。从 PISA 排名来看，2009 年英国排名第 27 位，苏格兰排名第 21 位；到了 2022 年，英国跃升至第 11 位，而苏格兰则下滑至第 30 位。

为什么会出现这样的差异？这就像一场天然的教育实验。虽然我既不住在英国也不住在苏格兰，但我找到了一手资料 —— 我邀请了英国前学校事务大臣尼克・吉布参加我的播客节目，我问他：“英国到底做对了什么？”

英国和苏格兰在教育领域采取了截然不同的发展路径，这也造就了截然不同的结果。尼克・吉布在他的著作《改革课堂》（Reforming Lessons）中详细阐述了相关改革措施，我也拜读了这本书。接下来我会分享他在播客中提到的，英国在数学教育领域推行的几项关键改革。

第一，重视小学数学教育

这和我之前强调的观点一致，小学数学是整个数学知识体系的基础，数学的层级递进性决定了打好小学基础的重要性。

第二，借鉴新加坡的课程体系

尼克・吉布曾亲自到访新加坡、上海和中国香港，考察当地的数学教学模式，并在英国推行了一套以知识为核心的清晰课程体系。相比之下，苏格兰采用的是基于能力的课程体系，这种体系和加拿大不列颠哥伦比亚省的课程类似，都存在目标模糊的问题。

第三，开展教师交流项目

英国派遣教师前往上海学习，同时也邀请上海的教师来英国观摩授课，近距离学习上海的数学教学经验。

第四，设立教育捐赠基金会（Education Endowment Foundation）

该基金会的主要职责是对各类教育研究进行评估筛选。当前教育领域的一个普遍问题是，任何教学方法都被冠以 “基于研究” 的标签，但 “基于研究” 的定义却缺乏统一标准。在医学领域，“基于研究” 通常意味着经过了随机对照试验和重复验证，可信度很高；但在教育领域，“基于研究” 有时甚至只是指一篇观点文章。这就导致教师很难判断，哪些教学方法才是真正有实证依据的。

还有一个典型的例子：有些教学方法声称 “基于研究”，但当你去查阅相关研究时会发现，研究者根本没有衡量该方法对数学成绩的影响 —— 按理说，评估一种数学教学方法是否有效，提升数学成绩应该是核心指标，但他们却只衡量了 “学习积极性” 这类难以量化的指标。

尼克・吉布还提到了很多其他改革措施，这里我只列举了几个印象最深刻的。如果大家感兴趣，可以去听那期播客节目。

b)葡萄牙

我希望我的好朋友努诺・克雷多正在收看这场讲座 —— 我是他的忠实粉丝，也邀请过他参加我的播客节目。努诺曾担任葡萄牙的教育部长，他本人也是一名数学家 —— 我觉得这太棒了，或许让数学家来担任教育部长，就能解决很多数学教育的问题。

这张图表的数据来自经合组织，图中蓝色代表法国，绿色代表葡萄牙 —— 不知道为什么，经合组织总是把法国作为参照国。从图表中可以看到，葡萄牙学生的成绩在一段时间内有了显著提升，之后又出现了较大幅度的下滑。

在播客节目中，努诺向我分享了葡萄牙的教育改革经验。和英国一样，葡萄牙也推行了以知识为核心的课程体系，制定了清晰的教学目标。努诺说，在改革之前，葡萄牙的教育过于强调项目式学习和公民教育等内容。他还强调：“一切改革都始于一套优质的课程体系。优质的课程体系会明确教学目标，告诉我们要去向何方；然后通过考核评估，检验这些目标是否达成。”

此外，葡萄牙还为学习困难的学生提供了额外的辅导支持，致力于提升优等生的成绩，同时减少学困生的数量。这些改革措施和英国有很多相似之处。

在与尼克・吉布和努诺・克雷多的交流中，我还发现了一个共同点：他们都主动学习了基于实证的教育理论，尤其是认知心理学领域关于认知负荷的研究成果。

推荐大家两本书：一本是埃德・赫希（Ed Hersh）的《我们需要的学校》（

The Schools We Need

Why Don't Students Like School

接下来我对今天的演讲内容做一个总结：

总结

第一，数学知识具有极强的层级递进性，学生一旦缺失关键的基础知识和技能，漏洞会随着时间的推移不断累积，后续学习会越发困难。

第二，扎实的数学基础至关重要。基础是解决问题的前提，是学习高阶数学的基石；熟练掌握基础技能能够降低认知负荷，让学生有更多精力投入高阶思维活动。

第三，我们已经知道了一些能够有效提升数学教育质量的方法，包括：构建清晰严谨的课程体系、设计与课程目标一致的考核评估方式、采用显性教学法（尤其是针对新手学习者）。

第四，国际案例已经证明，当一个国家的教育系统有意识地推行这些改革措施时，学生的数学成绩能够实现大规模的提升。

我的演讲到此结束，谢谢大家。现在我很乐意回答大家的问题。

主持人：谢谢安娜。好的，该从哪里开始提问呢？刚才的演讲真是太精彩了，非常感谢你。我相信直播前的每一位观众，都和我一样听得津津有味。我特别喜欢你举的英国和苏格兰的例子 —— 毕竟我是在英国工作的人，这个例子让我很有共鸣。

好的，我们已经收到了一些观众的提问，我稍后会逐一请安娜解答。首先再跟大家重申一下提问方式：我们已经把谷歌表单的链接放在了视频描述框里，就在大家观看直播的 YouTube 页面下方。由于今天 YouTube 的系统有些不稳定，大家可能需要复制链接后在浏览器中打开。如果大家还有其他问题，欢迎继续通过表单提交，我会在接下来的15分钟左右，挑选一些问题请安娜解答。

现在我来看一下已经收到的问题。第一个问题来自乔希，他希望安娜能

Q1进一步解释 “问题解决能力并非独立技能，而是依赖于具体知识内容” 这一观点，以及这个观点的理论依据。

乔希的问题很好。我的意思是，要解决某个领域的问题，你必须掌握该领域的相关知识。问题解决能力并不能跨领域迁移 —— 比如，我擅长解决代数组合学领域的问题，但在泛函分析领域，我就无能为力。除非我去系统学习泛函分析的知识，否则我永远无法解决该领域的问题。因此，问题解决能力具有很强的领域特异性，必须以该领域的知识为基础。

乔希还提到，他之前看到的文献认为，问题解决能力是一种可以通过练习独立提升的技能，而且能够跨学科、跨领域迁移。我不太认同这个观点。

确实，问题解决能力的某些要素可能存在迁移性，但我认为，它绝不可能完全从一个领域迁移到另一个毫不相关的领域。

我完全同意你的看法。我认为，掌握知识是解决问题的门槛—— 如果连最基础的知识都没有，一切问题解决都无从谈起。

谢谢乔希的提问。现在收到的问题越来越多了，我有点应接不暇，但还是非常欢迎大家继续提问。

下一个问题很有意思，有几位观众的提问都围绕这个主题。这个问题来自保罗 —— 他是一位退休的数学教师，抱歉我刚才误把这个问题归到了巴里名下，保罗和巴里如果还在观看直播的话，非常抱歉。保罗的问题很长，核心是想请教：

Q2 对于九年级到十二年级已经出现数学基础薄弱问题的学生，你认为最有效的帮扶措施是什么？

这个问题是老师们最常问我的，因为这确实是他们日常教学中面临的最大困境 —— 很多高中生连乘法口诀都没掌握好。我的建议是，必须针对性地弥补知识漏洞。可以给学生布置额外的练习任务，或者如果学校有资源教师，可以让资源教师专门辅导这些学生，帮助他们补齐短板。

具体来说，首先要明确，学生要学习的高阶知识点，需要哪些基础技能作为支撑；然后通过诊断测试，找出学生的知识漏洞；最后针对性地进行辅导练习。

我在一所文理学院任教，我们的学生在学习微积分时，常常因为不会因式分解而遇到困难。针对这种情况，我会在讲解微积分相关内容之前，专门安排课时，让学生集中练习因式分解。这是一个很实用的方法，可以帮助学生为学习新知识做好准备。

另外，还要区分两种情况：学生是从未掌握这些基础技能，还是已经遗忘了。如果是遗忘，那么只需要通过一些练习和简单讲解，就能帮助他们重新掌握；如果是从未掌握，那就需要更系统的辅导，比如提供微课视频等学习资源，帮助他们从头学起。

谢谢保罗的提问。回到知识漏洞的话题，下一个问题来自乔纳森。他问：

Q3 既然数学具有极强的层级递进性，那么我们该如何判断学生的知识漏洞已经严重到需要留级的程度？比如，分数运算能力直接关系到代数学习的成败，如果一个学生连分数运算都不会，我们是否应该让他留级，直到他掌握这项技能？

乔纳森的问题核心是，是否应该通过留级的方式，让学生补齐知识漏洞。

在加拿大，我们几乎不会让学生留级，这种做法在社会文化层面是不被接受的。所以我的观点是，我们的目标应该是及时发现并弥补漏洞，而不是等到漏洞大到无法弥补时，再考虑留级。只要干预及时，方法得当，绝大多数知识漏洞都是可以弥补的。

但问题在于，如果学生连基础技能都没掌握，他们根本无法理解高阶知识，更谈不上解决相关问题。针对这种情况，我认为弹性分组教学是一个很好的方法。让存在相同知识漏洞的学生组成一个小组，接受针对性的辅导，帮助他们尽快跟上教学进度，进入更高水平的班级学习。

此外，在某个阶段之后，实施分层教学也是很有必要的。我不太确定留级是否是最佳方案，但如果学生的知识漏洞确实非常严重，留级或许是一个合理的选择。

在九年级到十二年级阶段，学生的数学水平差距会变得非常大，如果将所有学生放在同一个班级上课，教学效果会大打折扣。这时候分层教学的优势就显现出来了。你们英国把这种教学模式叫做什么？

我们称之为 “按能力分班”（setting）。我记得我11岁的时候，学校就开始按能力分班了 —— 在英国的教育体系中，对应的是七年级，相当于美国的八年级。

没错，这个阶段正好是学生从小学升入中学，从全科教师授课转向分科教师授课的关键时期。在这之前，可以在班级内部实施弹性分组，针对学生的薄弱环节进行辅导，帮助他们提升能力，为后续的分层教学做好准备。

下一个问题来自凯利，她的例子很有趣。凯利说，

Q4 在柔道等体育项目中，大家都会让最优秀的教练去指导年纪最小的孩子。那么在数学教育中，我们是否也应该让最优秀的数学教师去教授低年级学生？

这个想法非常好，而且完全具备可行性 —— 我们没有任何理由不这么做。但从现实角度来看，一个顶尖的数学家，是否愿意去教小学生呢？这可能是一个需要考虑的问题。

就我个人而言，我非常喜欢教低年级学生。正如我之前提到的，我开办了一个针对四到六年级学生的课后数学项目。我喜欢教小学生的原因是，他们对数学充满了好奇心和热情。而到了大学阶段，很多学生是因为专业要求才不得不学习数学，他们本身对数学并没有兴趣。作为教师，我们需要花费大量精力去激发他们的学习兴趣。

但小学生不一样，他们就像一张白纸，对数学充满了向往。不过你说得对，确实可能存在这样的问题：很多数学水平很高的人，并不愿意去小学任教。

凯利的问题还有后半部分：我们

Q5 是否应该通过提高薪资待遇，吸引优秀的数学人才投身小学教育？

没错，提高薪资待遇，绝对是一个有效的激励手段。

下一个问题来自严，他是一位学校管理者。他问：你认为，

Q6 基于实证的教学方法和以知识为核心的课程体系，是否有可能在全球范围内推广？教育部门是否会接受这些理念，还是说会面临强烈的阻力？

你在演讲中提到了很多政策层面的内容，这个问题很有探讨价值。

这个问题问得很好。在演讲中，我确实提到了不少政策相关的内容，也看到了一些积极的趋势。比如在瑞典，我邀请了一位教育学院的教授参加我的播客，他提到，瑞典即将在教师培养项目中，强制要求纳入认知负荷等认知科学原理的教学内容。这是一个非常积极的信号。

澳大利亚也出现了很多积极的改革动向。我希望这些理念能够在全球范围内得到推广。如果教师培养项目能够系统地传授这些基于实证的教学理论，那将是教育领域的一大进步。

最后一个问题，正好作为今天问答环节的收尾。这个问题还是来自不丹的观众 —— 他之前问了那个 “如果只能改变一件事” 的有趣问题。他的第二个问题是：你认为，

Q7 一名优秀的数学教师和一名卓越的数学教师，最大的区别是什么？

这个问题很有意思。优秀的数学教师和卓越的数学教师，差距在哪里？

我认为，一名卓越的数学教师，首先必须

1、精通数学知识，而且要了解所教内容与后续高阶知识的关联 —— 这样才能明确教学重点

当然，我并不是说，非数学专业出身的教师就无法成为优秀的教师。优质的教材和教学资源，能够为教师提供很大的帮助，弥补他们专业知识的不足。

其次，卓越的教师必须

2、对数学充满热情

这种热情是会传染的，能够感染学生，让学生也爱上数学。我们都希望自己的老师是真正热爱所教科目，而不是仅仅把教书当作一份工作。

第三，卓越的教师必须

3、掌握科学的教学方法

他们懂得如何将复杂的知识拆解成简单的步骤，懂得如何搭建教学支架，如何进行示范教学，如何提供及时的反馈。他们的课堂互动性很强，不是教师单方面的灌输，而是师生之间的双向交流。他们会通过各种方式，持续检验学生的学习效果，确保学生真正掌握了知识。

我刚才还想到了一点，现在突然忘了…… 哦，想起来了！

第四，卓越的教师会

4、关注每一位学生

他们既关心学习困难的学生，也关心成绩优异的学生。很多时候，我们过于关注学困生，却忽略了优等生的需求 —— 优等生同样需要额外的挑战，才能不断进步。

没错，我完全同意 “热情” 这一点。作为一名教师，我深有体会。

非常感谢安娜的精彩分享。也感谢所有观众的参与和提问。我看到还有很多问题没有来得及解答，安娜表示，大家可以通过邮件和她联系，她可能需要几天时间来回复，但一定会认真回答每一个问题。

本场讲座的完整视频 —— 包括今天的问答环节 —— 稍后会经过剪辑（去掉开头一些尴尬的沉默片段），在YouTube上永久发布。

我们的下一场讲座将在四到五周后举行，我快速看一下日历 —— 是 2 月 13 日。欢迎大家届时继续收看本系列讲座的第二讲。

再次感谢大家的参与，也再次感谢安娜带来的精彩演讲。相信和我一样，大家都受益匪浅。我们下次讲座再见！

参考资料

https://euromathsoc.org/news/ems-lecture-series-on-mathematics-education-190

https://www.youtube.com/watch?v=bguwdtkXndA&t=9s

https://www.annastokke.com

https://www.youtube.com/watch?v=OE8AHCHvuX0

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