期末来了：《微分方程》求解思路方法与内容大盘点

一、 一阶微分方程 ( )

核心思路：识别类型 变形 套公式/积分

1. 可分离变量方程

• 形式：

• 解法：两边同时积分

1. 齐次方程

• 形式：

• 解法：

  (1)令

  (2)代入原方程，化为可分离变量方程：

3.一阶线性微分方程

• 形式：

• 解法（通解公式）：

4.伯努利方程 (Bernoulli)

• 形式：

• 解法：

  (1)两边同除 ：

  (2)换元：令 ，则

  (3)化为一阶线性方程求解 ，最后回代。

5.全微分方程(一般高数下曲线积分部分讨论)

• 形式：

• 判定：

• 解法：凑全微分 或利用积分与路径无关沿折线积分。

核心思路：通过换元，把高阶降为低阶

1.型

• 解法：两边连续积分 次。

2.型（缺 ）

• 解法：

  (1)令 ，则

  (2)原方程变为 （关于 的一阶方程）

  (3)求出 后，再由 求 。

3.型（缺 ）

• 解法：

  (1)令 ，则（这是关键！）

  (2)原方程变为 （关于 的一阶方程）

  (3)求出 后，分离变量 再积分。

形式：

1. 齐次方程 ( ) 求解步骤

(1)写出特征方程：

(2)求特征根 ，根据判别式 分类：

• (两不等实根)：

• (两相等实根)：

• (共轭复根 )：

2. 非齐次方程 ( ) 求解步骤

通解结构： (对应齐次通解) (特解). 待定系数法求特解 ：

类型 I：

设 , 的取值：看 是不是对应齐次线性方程的特征根。

• 不是特征根

• 是单根

• 是重根

类型 II： ,

设 （ ）, 的取值：看 是不是特征根。

• 不是

3.欧拉方程

• 形式：

• 解法：

  (1)换元：令 或 ，则

(2)化为常系数的线性方程求解 ，最后回代 。

1、如果微分方程不具有以上结构，则通过改写微分方程，如同齐次方程、伯努利方程和欧拉方程，通过换元转换为标准方程求解，或者通过交换因变量与自变量的地位，即视当前方程的因变量（函数符号）为自变量，自变量为因变量来考察方程的结构探索期求解思路与方法。

2、对于二阶变系数线性微分方程，一般使用待定函数法求其通解，一般是在求得（或已知）齐次线性微分方程一个特解的基础上，设所求解为该特解乘以各待定函数u(x)后，代入原方程即可直接求得通解。

3、线性微分方程解的五个基本结构性质

• 性质1如果函数 与 是方程 的两个解，则 也是它的解，其中 是任意常数．

• 性质2如果函数 与 是方程 的两个线性无关的解，则 也是它的解，其中 是任意常数．

  注：如果两个函数相除恒为常数，则两个函数线性相关；如果两个函数相除为函数，则两个函数线性无关。

• 性质3设 是二阶非齐次线性方程

的一个特解． 是其对应的齐次方程 的通解，则 是二阶非齐次线性微分方程 的通解．

• 性质4设 , 是二阶非齐次线性方程

的两个特解，则 是其对应的齐次方程 的解．

• 性质5设 与 分别是方程

的特解，则 是非齐次线性方程

的解。

往期推荐阅读

1、

2、

3、

4、