1925年的物理学“地震”之后，一座矩阵力学的思想城堡缓缓升起

20世纪初，物理学正处在一场危机之中。牛顿力学和麦克斯韦电磁学曾在宏观世界纵横无敌，却在原子内部显得捉襟见肘。电子为何不会因辐射而跌入原子核？原子光谱为何呈现神秘的离散线条？经典理论对此束手无策。玻尔的原子模型虽然取得了一些成功，却仍带有半经典色彩——它依赖人为的“量子化条件”，缺乏统一而自洽的数学框架。物理学迫切需要一次突破。

在这片科学的迷雾中，一个年轻人的身影逐渐显现。他年仅二十四岁，却已决心彻底抛弃不可观测的电子轨道，开创一种全新的理论框架。他就是沃纳·海森堡（Werner Heisenberg）。在1925年，他提出了矩阵力学——量子力学的第一个完整数学形式。这一突破，不仅解开了原子物理的困境，也宣告量子理论进入了成熟阶段。

图1 沃纳·海森堡在1933年的个人照片

（图片来源：Wikipedia）

01 从维尔茨堡少年到赫尔戈兰岛——矩阵力学的诞生

1901年，海森堡出生于德国维尔茨堡。他的父亲是一名古典语言教师，母亲也出身学术家庭。自小耳濡目染，他对数学与自然规律展现出惊人的敏感。少年时，他常常沉迷于高斯的《算术研究》和康托尔的集合论。课堂上，他能用复杂的推导解决问题，以至于老师怀疑他“作弊”。

1920年，海森堡进入慕尼黑大学，师从阿诺德·索末菲。索末菲学派强调数学的精确与物理的直觉，培养了大批未来的物理巨匠。海森堡在此接受了严格训练，并逐渐将研究兴趣转向原子光谱与能级问题。1922年，他又来到哥廷根，在玻恩、泡利的学派中活跃。至此，他站在了当时量子理论研究的最前沿。

1925年夏天，因严重的花粉过敏，海森堡前往北海的赫尔戈兰岛疗养。小岛孤悬于海，几乎与世隔绝。海浪与海风陪伴着他彻夜思索，远离书籍和资料的束缚，他决定走一条彻底不同的道路——既然电子轨道无法观测，那就完全舍弃它。理论必须只依赖那些可直接测量的量，比如光谱的频率与强度。

在孤灯下，他把能级跃迁的数据排成二维表格，定义了一种全新的运算规则。这种陌生的方法，居然完美再现实验结果。回到哥廷根，他把成果呈给玻恩。玻恩立刻惊呼，这正是“矩阵”的形式。由此，矩阵力学应运而生。

1925年9月，海森堡发表了《关于运动学与力学关系的量子论重新诠释》（参考文献[1]）。论文极为艰涩，当时几乎无人能看懂。连泡利都调侃说：“我完全不知道你写了些什么。” 但玻恩看到了它的潜力，很快与海森堡、约尔当合作，发表了更系统的“B-H-J”论文（参考文献[2]）。这篇文章首次完整建立了矩阵力学的结构，量子力学终于有了坚实的数学支柱。

图2 海森堡于1925年发表的矩阵力学原始论文

（图片来源：参考文献[1]）

02 自旋的谜题——从假设到数学化

就在矩阵力学初露锋芒的同一时期，另一个困扰物理学界的谜题浮出水面。实验表明，原子光谱中某些能级会出现“双重态”现象——即能级分裂为两条非常接近的谱线。旧量子论和矩阵力学都无法合理解释这一细节，这种“多出来的两条谱线”让人百思不得其解。

1925年秋天，两位年轻的荷兰物理学家——乌伦贝克（George Uhlenbeck）和古兹米特（Samuel Goudsmit）提出了一个大胆的想法：也许电子本身像地球一样在自转，从而带来一种内禀的角动量。

这个设想可以自然解释谱线的双重性。可是，问题接踵而来：如果电子真的在自转，那么它的表面速度几乎要超过光速！这一点显然与相对论不符。

图3 “自旋”的艺术示意图

（图片来源：Wikipedia）

当时，许多物理学家对此假设嗤之以鼻，甚至泡利也一度讥讽道：“这是我听过的最愚蠢的主意。” 但事实很快证明，年轻人直觉中的确隐藏着真理。

1927年，泡利自己提出了著名的二维矩阵（后来被称为“泡利矩阵”），它为自旋提供了精确的数学描述：自旋并不是电子真的在空间里“转动”，而是一种内禀的量子属性，用2×2矩阵就可以优雅地表达。这一突破不仅挽救了乌伦贝克和古兹米特的假设，也让电子自旋从“异想天开”变成了严肃的物理概念。

在这一过程中，海森堡发挥了关键作用。他敏锐地意识到，自旋并不是孤立的，而应当与矩阵力学的框架统一起来。他把自旋自由度纳入矩阵算符的体系，使得量子跃迁、能级分裂等问题能够自然得到解释。这种整合让“电子自旋”从一个孤立的假设，变成了量子力学的有机组成部分。

自旋的引入最终取得了辉煌成果：它不仅解释了光谱的“二重性”之谜，还为后来的量子场论、凝聚态物理和固体能带理论奠定了理论基础。今天，人们已经无法想象没有自旋的量子物理世界，而这一切，都可以追溯到1920年代那场年轻物理学家们的灵感碰撞。

03 海森堡所建造的“矩阵王国”的意义与遗产

矩阵力学的问世，被许多人视为物理学的一次“思想地震”。它不仅是一套新的计算工具，更像是打开了一扇大门，把物理学带进了一个完全陌生的世界。

1920年代中期，学界对海森堡的工作反应各不相同。薛定谔看到矩阵力学时，坦言自己“完全无法忍受这种丑陋的数学”，于是转身提出了波动力学。相比之下，泡利虽然嘴上不饶人，但在内心却认可海森堡的才华，并在随后的研究中不断推动其发展。至于玻恩，他是最早理解矩阵力学真正潜力的人，他称赞海森堡的成就是“一种全新的物理语言”。这种不同的声音本身，就映照出矩阵力学的革命性。

随着时间推移，矩阵力学的力量逐渐显现。它不仅解释了氢原子的能级结构，还在复杂光谱和原子跃迁的计算中展现出独特优势。年轻的狄拉克在阅读“B-H-J”论文后，深受启发，进而发展出更一般化的算符形式，把矩阵力学和波动力学统一在更高层次。可以说，没有海森堡的“矩阵王国”，就没有狄拉克的《量子力学原理》。

图4 玻恩、海森堡和约尔当合作发展矩阵力学的“B-H-J”论文

（图片来源：参考文献[2]）

1932年，诺贝尔委员会终于把物理学奖授予海森堡，以表彰他“创立量子力学并应用于氢原子理论”。那一刻，这位三十出头的年轻人站在斯德哥尔摩领奖台上，成为欧洲学术界最耀眼的明星。人们甚至调侃说：“量子力学的王国里有两座宫殿——一个是薛定谔的波动殿堂，一个是海森堡的矩阵城堡。”

图5 海森堡于1932年获得诺贝尔物理学奖

（图片来源：参考文献[6]）

更重要的是，矩阵力学留下的遗产远不止于当年的争鸣。它奠定了量子力学的“语言”，让算符、非对易关系、本征值问题，成为后来所有物理学家的日常工具。今天，无论是量子计算机中的量子门，还是凝聚态物理里的能带理论，甚至是高能物理中的量子场论，都依然在使用海森堡当年开创的数学语汇。

因此，矩阵力学不仅是1920年代的辉煌，它更像是一条暗流，贯穿了整个20世纪物理学的发展。它让人们认识到，数学的抽象不仅能解释自然，更能创造出理解自然的新方式。而这一切，源自1925年那个年轻人，在北海孤岛上的孤独思索。

结语

沃纳·海森堡凭借矩阵力学，彻底改变了人类对自然的理解。他以惊人的直觉和数学创造力，为微观世界开辟了全新天地。矩阵力学不仅解决了旧量子论的困境，还塑造了量子力学的基本语言，成为现代物理大厦的基石。

然而，海森堡并未因此停下脚步。他很快意识到，量子世界的真正挑战并不仅仅在于构建一个新的数学框架，而在于回答一个更尖锐的问题——在微观世界里，我们究竟能知道多少？

1927年，他提出了一条震撼人心的定律——不确定性原理。它不再只是数学上的创新，而是直指人类认知的极限。若说矩阵力学建立了量子力学的“王国”，那么不确定性原理就是这片王国深处的秘密法则，它宣告：自然界本身，在最微小的层面，就存在着无法回避的模糊性。

当海森堡把这一定律写进论文时，整个物理学界都为之震动。而这一故事，也才刚刚开始。

参考文献：

[1] Heisenberg W. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen[M]//Original Scientific Papers Wissenschaftliche Originalarbeiten. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1985: 382-396.

[2] Born M, Heisenberg W, Jordan P. Zur quantenmechanik. II[J]. Zeitschrift für Physik, 1926, 35(8): 557-615.

[3] Goudsmit S, Uhlenbeck G E. Spinning electrons and the structure of spectra[J]. Nature, 1926, 117(2938): 264-265.

[4] Pauli W. Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren[J]. Zeitschrift für Physik, 1925, 31(1): 765-783.

[5] Schrödinger E. Quantisierung als eigenwertproblem[J]. Annalen der physik, 1926, 385(13): 437-490.

[6] Nobel Foundation. The Nobel Prize in Physics 1932 – Werner Heisenberg[EB/OL]. NobelPrize.org. Available at:

出品：科普中国

作者：栾春阳 王雨桐（清华大学物理系博士）

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