《人类科学技术史-084》阿基米德的数学工作与贡献

阿基米德的数学工作与贡献

阿基米德(公元前287～前212)是西西里岛叙拉古人，当时叙拉古是希腊的一个殖民城市。他青年时代到亚历山大城求学，后来返回叙拉古从事研究，但始终与亚历山大学派的学者们保持联系。阿基米德兴趣广泛，才智高超，他在数学、力学和天文学上都有重大贡献。他还具有非凡的机械技巧，有一些发明创造。由于他的一系列成就，使得阿基米德在古希腊学术界十分有名。以至后世流传了许多关于他的传说和故事，而且这些传说都和他醉心于科学有关。据说，阿基米德在临死关头仍不忘他的数学研究。阿基米德死后，人们在他的墓碑上刻了一个球内切于圆柱的图形，以作纪念。因为阿基米德生前曾证明了球的体积和表面积分别是其外切圆柱体积和表面积的2／3。阿基米德在数学上的主要工作和贡献有这么几个方面：

1.用穷竭法求出面积和体积

这是阿基米德最重要，也是最有特色的工作。他做出了穷竭法最巧妙的应用，并且他的方法最接近于现行的积分法。他在《抛物线的求积》一书中，求抛物线弓形的面积就是一个精彩的例证。

阿基米德在他的主要著作《论螺线》中，定义了一种新的曲线。设有一直线将其一端固定后，在一平面内绕定点作匀速运动；同时直线上有一点从定点沿直线作匀速运动，那么这个动点将描出一条螺线。这就是著名的"阿基米德螺线"。这部著作中最深刻的结果是用类似于积分的方法确定了螺线一圈所围的面积。这里，同样用的是穷竭法，但与求抛物线弓形面积时靠增添越来越多的三角形相比，新颖之处是阿基米德选取了越来越小的扇形。这种做法对后人是极有启发的，尽管阿基米德的证明中没有明确的极限步骤，但是他的证明过程中已经有了微积分思想的萌芽。

在《论球和圆柱》的著作中，阿基米德利用穷竭法还证明了许多命题，其中有：任一正圆柱(不计上、下底）的表面积等于一圆的面积，该圆半径是圆柱高与底直径的比例中项；任一球的面积等于球大圆面积的4倍；以球的大圆为底，以球的直径为高的圆柱，其体积是球体的3／2，其包括上、下底在内的表面积是球面积的3／2。(这就是刻在他墓碑上的那个著名定理）。

2.用近似计算得到π值

在《圆的度量》中，阿基米德证明了3个命题。

第1个命题是圆的面积与直角三角形AOB的面积相等，直角边AO等于半径，另一直角边AB等于圆的周长。

第2个命题是圆的面积与由它们的直径构成的正方形的面积之比大约是11∶14。

第3个命题是圆的周长与其直径的比小于3又1/7而大于3又10/71，这第三个命题已经产生了圆周率π的近似值，它是阿基米德通过计算圆的外切与内接正96边形的周长的近似值得出的。这在科学中，第一次提供了带有误差估计的π的数值结果，而且整个求值的过程表现了阿基米德近似计算的高超技能。在阿基米德之前，比例是以几何形式出现的。但是，阿基米德为了得到对实际有用的结果，把算术运算运用于确定量的比例，这为数学实数理论的发展打下了基础。

3.用力学的方法解决数学问题

阿基米德不仅是一位伟大的数学家，同时还是一个伟大的力学家。在力学上，他有非常重要的贡献。他计算出了许多种平面形和立体形物体的重心；总结出了杠杆的一般原理；关于浮力的研究，他发现了比较不规则物体重量的方法，使后人将浮力定律与他联系起来。据说，他曾豪迈地表示，"给我一个支点，我能掀翻地球。"他的力学成就与他的数学工作密切相关，这不仅表现为他的一些力学结论是以数学为基础的，而且还表现为他用力学的思想得出正确的数学定理，解决了一些数学问题。

1906年，阿基米德写的一个短文被后人发现了。在文中，他提出了一种借助于力学原理研究数学问题的方法。这种方法的要点是，把所求的面积和体积都看作是有重量的东西，而且体积是由面积构成的，面积是由彼此平行的直线构成的。这样，为了求得面积和体积，可以先将相应的面积或体积分成很多小长条或小薄片，它们都有重量；然后找出它们的重心和支点，就可以用杠杆平衡定律算出它的面积或体积。阿基米德用这种方法得到抛物线弓形的面积、球和球冠的面积、抛物体旋转截体的体积等成果，他把这种方法看作是发现数学真理的主要方法。不过，阿基米德也仅仅把它作为发现方法，得到结果后还要进行证明，用的还是双归谬法。他的这种发现方法虽然含有把一个量当作是由许多微小部分组成的思想，但是，由于这种方法中没有积分求和的计算，因此不能视为积分法。不过，有的数学史专家则把这看作是通往积分的迂回之路。

阿基米德在数学领域中作出了重要的贡献，他既长于严格论证，又精于巧妙的计算，尤其是他能够将理论与实际密切结合，将数学成功地应用到力学方面，在古希腊数学家中还难以找到第二位。

当然，由于时代的局限，阿基米德的数学研究中还有一些不完善的地方；他的方法也是几何式的而不是代数的；同时也缺乏有力的分析工具，这限制了他的进一步创造。另外，由于没有方便的代数符号，使得他的著作读起来也比较艰涩。但是，这种状况并未能阻止阿基米德的工作和成就的传播。13世纪，阿基米德的著作全部被译成拉丁文，从而成为西欧学者的经典著作；17世纪，他的著作被介绍到中国。这使得阿基米德对后人产生了深刻的影响。后人也给予阿基米德以极高的评价，"任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两位通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。"

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