《人类科学技术史-082》毕达哥拉斯学派的数学研究

毕达哥拉斯学派的数学研究

毕达哥拉斯学派认为宇宙的本原是数，可见他们对数的重视。在对宇宙结构的研究中，他们还发现了其中的一些数学关系，这对他们试图建立一种以数解释宇宙现象的哲学，无疑是一种鼓舞。因此，毕达哥拉斯学派使数学的研究发生了重大的变化。在巴比伦和埃及，对数学的研究基本上还是处于经验的阶段。而从毕达哥拉斯开始，产生了数的抽象概念，进而由研究个别的抽象的数过渡到研究它们的一般规律。这种与自然运算的一般性质有关的研究被称为算术的一个分支——理论算术。

毕达哥拉斯学派最早大概是用沙粒或石子来计算的，因为他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并且按照它们所能排列而成的形状进行了数的分类。1、3、6、10，这些数叫三角形数，因为相应的点可以排列成正三角形；1、49、16，这些数叫做正方形数，因为相应的点能排成正方形。这样，他们就把数和三角形数与正方形数形联系起来了，而且使得数的一些性质变得比较明显。比如，划了一条斜线后，就可以得出：两个相继的三角形数之和是正方形数；再如三角形数与正方形数的关系示的方法可以从一个正方形数得出另一个正方形数。毕达哥拉斯还得到了五边形数、六边形数和其它多边形数。

毕达哥拉斯学派通过数与数之间的某种关系，对数进行了分类。如果一个数等于它的所有因数(能除尽该数的数，包括1而不包括该数本身）的和，他们称这个数为完全数。6就是一个完全数，6＝1＋2＋3，还有28，496等也是完全数。如果一个数大于其因数之和的叫盈数，小于其因数之和的叫亏数；如果有两个数，一个数是另一个数的因数和，则这二个数称为亲和数(如　284与220)。

毕达哥拉斯学派还搞了一个法则，用这个法则可以求出直角三角形三边的三元数组。用现代的记法，可以将这一法则表述为：若m是奇数，则m、(m2.1）／2及(m2＋1)／2就是这种三元数组。如今人们把形成直角三角形三条边的三个整数所构成的数组统称为毕达哥拉斯三元数组。

毕达哥拉斯所说的数指的是整数，而实际上直角三角形边长之比却不能总用整数表达，也就是存在着不可公度比。毕达哥拉斯学派把那些能用整数表达的比称为公度比，含义是对相比较的两个量可以用公共度量单位量尽；而把那些用公共度量单位量不尽的量之比称为不可公度比。正是这个"不可公度"问题，使得毕达哥拉斯学派未能在理论算术这一分支取得更进一步的成果，而把注意力转向了几何学。

毕达哥拉斯学派遇到的"不可公度"问题，实际上就是发现了2开方是一个不能用整数或分数来表达的数。用现代数学的语言讲，就是2开方是不能用十进有限小数来表达的数。2开方不可公度问题的来源可能有三个因素：①在几何中，求正方形对角线与边的公共度量；②在算术中，某一数的平方为另一数平方的2倍，即X2＝2a2，求X，则X＝2a；③在音乐理论中，将八度音对半地分开时，归结为求1和2之间的几何平均数。

毕达哥拉斯可能主要是由于发现等腰直角三角形斜边与一直角边之比或正方形对角线与其一边之比，不能用整数表达而发现不可公度问题的。因为，"直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方之和"，在西方就称为毕达哥拉斯定理。关于这个定理，中国人、巴比伦人、埃及人和印度人早已知道这个定理的部分情况。而一般认为是古希腊人予以证明了的，是毕达哥拉斯学派用比例和相似三角形的理论证明的。传说，毕达哥拉斯在证明出这个定理以后，心情特别激动，宰了一百头牲畜来祭缪斯女神(神话中掌管文艺、科学的女神），进行庆祝。然而，不可公度问题使毕达哥拉斯学派感到十分震惊。明明是一个固定的量，却不能用整数或整数之比来表示。这使他们企图用数来表示宇宙万物的想法受到了挫折。传说，毕达哥拉斯学派不仅对这个发现严格保密，而且揭露了不可公度事实的那个毕达哥拉斯学派的门徒，竟然在一次航海中被其他门徒扔进了大海。这个传说反映了，不可公度量在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的思想混乱与恐慌。2开方是一个实际存在的量，它虽然不能用整数或分数来表达，却可以用几何方法做出来，两个直角边为1的直角三角形的斜边的长度就是2。这样一个情况，使毕达哥拉斯学派在数量研究的方向上发生了很大的转折。从此，毕达哥拉斯学派回避用算术和代数方法来解决实际问题，而是尽可能地用几何方法来解决实际问题。

在几何学方面，毕达哥拉斯学派还发现平面可以用等边三角形、正方形和正六边形填满，空间可以用立方体来填满；三角形内角之和等于180°。他们曾用正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体来表示火、土、气、水这四大元素；后来又发现了正十二面体，于是用来表示宇宙全体。据说，有关三角形、平行线、多边形、圆、球和正多面体方面的一些定理，也是毕达哥拉斯学派发现和证明的。但是，目前还没有找到这方面的原始资料。

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